4.10. Геометрический смысл условий равновесия

Определение 1. Ограничение стандартной задачи линейного программирования   

a_i1 x₁ +  ... + a_in x_n   b_i   (4.24)

называется связным или активным на плане  x',  если на этом плане оно обращается в равенство 

                                     a_i1 x₁' +  ... +  a_in x_n'   b_i  .

    

Определение 2.  Ограничение  (4.24)  называется несвязным (неактивным, пассивным) на плане  x' , если на этом плане оно выполняется как строгое неравенство

                                     a_i1 x₁'  +  ... +  a_in x_n'   b_i .

Геометрически, ограничение, активное в точке x' , проходит через эту точку, а неактивное – не проходит.

 

На рисунке в точке x'   P₁ и P₃ – активные, связные ограничения; P₂ – неактивное ограничение. В точке x"   P₁ , P₂ – активные ограничения; P₃ – неактивное ограничение.

Теперь условиям равновесия можно придать геометрический смысл.

На оптимальных планах двойственных задач: 

• неактивному ограничению одной задачи соответствует  нулевая переменная плана другой задачи;

• положительной переменной оптимального плана одной задачи соответствует активное ограничение другой задачи.

4.11.Экономический смысл условий равновесия

Стандартную задачу линейного программирования будем интерпретировать как задачу о выпуске  n  типов продукции  P₁,…,P_n  из  m  типов ресурсов  R₁ ,…, R_m . Причем известны

a_ij – удельный расход ресурса  R_i   на выпуск единицы продукта P_j ;

b_i – запас ресурса R_i ;

c_j – удельная прибыль от реализации P_j..

Требуется найти такой план выпуска продукции  x^* = (x₁^*,.., x_n^*)  из имеющихся запасов ресурсов, который бы максимизировал суммарную прибыль.

Двойственную задачу можно трактовать как задачу о нахождении теневых цен ресурсов y^*=(y₁^*,..,y_m^*), которые при продаже ресурсов обеспечат прибыль не меньшую, чем от реализации продукции (интерес продавца), но при этом суммарная стоимость ресурсов будет минимальна (интерес покупателя).

Определение 3. Ресурс  R_i   будем называть дефицитным на плане  выпуска  x' = (x₁^',..,x_n^'), если на этом плане он расходуется полностью, то есть расход ресурса на обеспечение выпуска  x' в точности равен его запасу:   

a_i1 x₁' +  ... + a_in x_n'   b_i .

Определение 4. Ресурс  R_i  называется недефицитным на плане  x' , если на этом плане он расходуется не полностью.  Другими словами, расход недефицитного ресурса R_i  на выпуск   x'  строго меньше его запаса:   

a_i1 x₁' +  ... + a_in x_n'  b_i .

Сравнивая эти определения с определениями 1 и 2 , видим, что дефицитному ресурсу соответствует активное ограничение, недефицитному – неактивное.

Дадим теперь экономическую трактовку условиям равновесия  (4.22a), (4.22b), (4.23a), (4.24b).

• Если на оптимальном плане x^* ресурс R_i не дефицитен, то его теневая цена  у_i* равна  нулю. (Условие (5a)).

• Если ресурс R_i  имеет положительную теневую цену (у_i* > 0), то на оптимальном плане он расходуется полностью (то есть он дефицитен). (Условие (5b)).

• Если стоимость затрат на выпуск единицы продукта P_j  больше прибыли от его реализации, то по оптимальному плану этот продукт не выпускается ( x_j* = 0 ). (Условие (6a)).

• Если по оптимальному плану продукт P_j  производится (x_j* > 0), то стоимость ресурсов, затраченных на выпуск единицы этой продукции равна удельной прибыли от ее реализации. (Условие (6b)).

   

Условия равновесия позволяют находить решение одной из пары двойственных задач ЛП по известному оптимальному плану другой задачи.

 

Пример. Найти оптимальный план задачи ЛП 

f(x)=6x₁+4x₂+4x₃   max; x₁+2x₂+x₃  10; 2x₁+x₂+3x₃ 8;  

x_j  0, j=1,2,3, используя условия равновесия. 

Решение. Составим двойственную задачу

g(y)=10y₁+8y₂  min; y₁+2y₂  6; 2y₁+y₂  4; y₁+3y₂  4;        y₁, y₂   0 

Будем решать эту задачу геометрически. Построим граничные прямые.

(p₁) y₁+2y₂  6  проходит через точки   (0, 3) , (6, 0);

(p₂) 2y₁+y₂ 4  проходит через точки   (0, 4) , (2, 0);

(p₃) y₁+3y₂  4  проходит через точки  (0, 4/3), (4, 0).

  

Оптимальный план y^* лежит на пересечении прямых p₁ и p₂.

Решая систему

                        y₁+2y₂ = 6,

     2y₁+y₂ = 4,

находим  y^* = (2/3, 8/3)  и  g(y^*) = 28. 

По условиям равновесия положительной переменной двойственной задачи соответствует активное ограничение прямой. 

Так как   y₁^* > 0 , то x₁^*+2x₂^*+x₃^* = 10 .

Так как    y₂^* > 0, то 2 x₁^*+x₂^*+3x₃^* = 8 .

Пассивному ограничению двойственной задачи соответствует нулевая переменная прямой.

Так как третье ограничение  – пассивное (p₃  не проходит через точку y^*), то  x₃^*= 0. 

Решая систему 

                    x₁^*+2x₂^* = 10 ,

                   2x₁^*+x₂^* = 8 ,

получим x₁^*=2 , x₂^*=4.  То есть оптимальный план x^*  = (2, 4, 0),   f(x^*) = 28. Поскольку на оптимальных планах двойственных задач значения целевых функций совпали ( f(x^*) = g(y^*) = 28 ), то задача решена правильно.