4.4. Несимметричная пара двойственных задач

Пусть теперь исходная задача – каноническая, то есть  имеет вид:

f(x) = < c, x >  max;	(4.1)
Ax = b;	(4.2)
x  0.	(4.3)

Здесь  x = (x₁ ,…, x_n) , c = ( c₁ , ..., c_n ), b = ( b₁,..., b_m ), так что число уравнений в системе (4.2) равно m.

Для построения двойственной задачи к задаче (4.1)-(4.3) сведем ее к стандартной форме.

Каждое равенство в (4.2) заменим парой неравенств

  Ax  b,

  Ax  b,

или, что то же самое,

Ax  b,

– Ax  – b,

Получим стандартную задачу ЛП с  2m ограничениями 

f(x)=< c, x >  max;

      Ax  b,

   – Ax   – b, 

        x  0 .

Построим к ней двойственную задачу ЛП по известным правилам.

Для этого введем двойственные переменные: 

u = ( u₁ ,…, u_m )  0 ,

v = ( v₁ ,…, v_m )   0 .

Заметим, что, так как в прямой задаче ЛП было 2m ограничений, то в двойственной будет  2m переменных.

Целевая функция двойственной задачи примет вид:

g( u, v )=< b , u > + < – b , v >  min,

а ограничения запишутся так:

A^Tu – A^Tv  c ,

u  0 , v  0 .

Перепишем эту задачу более компактно:

g( u, v )=< b , u – v>   min;

 A^T ( u – v )  c;

u  0 , v  0 .

Введем новый вектор двойственных переменных  y = ( y₁ , y₂ ,…, y_m )  с координатами  y_i = u_i - v_i. Поскольку разность неотрицательных чисел может быть и отрицательной  (например, 2 – 5 = –3), то двойственные переменные  y_i  не имеют ограничений по знаку.

Таким образом,  двойственная задача к канонической будет иметь вид: 

g(y) = < b, y >  min;

 A^Ty  0,

y – переменная любого знака! 

4.5. Таблицы для построения двойственной задачи

 

Для любой задачи ЛП  можно построить двойственную. Для этого нужно свести её к стандартному или каноническому виду. Можно также воспользоваться таблицами, приведенными ниже.   

Прямая задача линейного программирования		Двойственная задача линейного программирования
Целевая функция	< c,x >  max	< b,y >  min	Целевая функция
Тип  i-го ограничения	[ Ax ]i  bi	yi  0	Знак  i-й переменной
	[ Ax ]i  bi	yi  0
	[ Ax ]i = bi	yi – любого знака
Знак  j-ой переменной	xj  0	[ ATy ]j  cj	Тип  j-го ограничения
	xj  0	[ ATy ]j  cj
	xj  свободная переменная	[ ATy ]j = cj

Прямая задача линейного программирования		Двойственная задача линейного программирования
Целевая функция	<c,x> min	<b,y>max	Целевая функция
Тип  i-го ограничения	[ Ax ]i  bi	yi 0	Знак  i-ой переменной
	[ Ax ]i  bi	yi  0
	[ Ax ]i = bi	yi – любого знака
Знак j-ой переменной	xj  0	[ ATy ]j  cj	Тип j-го ограничения
	xj  0	[ ATy ]j  cj
	xj  свободная переменная	[ ATy ]j = cj

Задание. Составить  двойственные задачи к следующим задачам ЛП.

 

1. f(x) = 2x₁ – 2x₂+ 3x₃ – 6x₄  max;

              –2x₁+ x₂ – 2x₃ + x₄ = –10;

                 x₁ – 5x₂ – x₃ + 2x₄ = 35;

                 x_j  0, j = 1,2,3,4 .

 

 2. f(x) = – x₁ – 3x₂ + x₃  min;

                 x₁ + x₂+ x₃  6;

                 x₁ – x₂+ x₃  8;

                 x_j   0, j=1,2,3.

 

3. f(x) = 9x₁+ 2x₂+ 3x₃+ 2x₄  min;

              –x₁ + x₂+ 2x₃        = 2;

              3x₁+ x₂ – x₃ – 4x₄ = –1;

                 x_j   0,  j=1,2,3,4.

 

4. f(x) =  x₁ – 2x₂  max;

               x₁ + x₂  4;

             3 x₁ – x₂  8;

              4x₁+ x₂  0;

                    x₂  0.