Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 25 Пар 18 продолж

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

303 Кб

Скачать

☆

§18 (продолжение).

Так же непосредственно из 18.10 вытекает

Теорема 18.12. Потенциалы простого и двойного слоя существуют и заданы формулами:

V1(0) (t, x)

V2(0) (t, x)

V3(0) (t, x)

V1(1) (t, x)

V2(1) (t, x)

V3(1) (t, x)

(t)

u (x )d ,

(t)

u1(x )

d ,

2 a

a2t2

(t)

u1(x )dS ,

4 a t

(t) at

u0 (x )d ,t 2a at

(t)

u0 (x )

2 a

2 2

a t

(t)

u0 (x )dS .

4 a

(144)

(145)

(146)

(147)

(148)

(149)■

Замечание 18.13. Имеет место формула V (1)

V (0)

, но вместо функ-

t n

ции u1(x) нужно записывать u0(x).

Также из 18.10 непосредственно выводится

Теорема 18.14. (а) Пусть функция f (t, x) C2

(t 0)

(при n = 1 доста-

точно

f (t, x) C1

(t 0) ), причем f (t, x) 0 при t 0 . Тогда

V (t, x) C2

(t 0) и

(150)

V (t, x)

max

f (u, z)

2 u,z Qn

где Qn− некоторый компакт, зависящий от t и x.

(б)	V (0)	(t, x)	t sup	u ( )	,	(151)
(б)	V (0)	(t, x)	t sup	u ( )	,	(151)
	n		Qx	1

(в)

V (1)

(t, x)

sup

u ( )

(152)

V (1) (t, x)

sup

( )

at sup

gradu

( )

(153)

n = 2, 3,где Qx есть шар в

n с центром в точке x, радиуса at при n = 1, 2 и

сфера этого же радиуса и с тем же центром при n = 3.

Доказательство. (a) Рассмотрим случай n = 1. В формуле (141) сделаем

замену x – y = z, t – s = u и получаем

t x au max

f (u, z)

dzdu

max

f (u, z)

0 x au

где область G1

есть следующий треугольник:

x-au	x	x+au	z

(б) Рассмотрим случай n = 2. Применяя стандартный приѐм внесения модуля под знак интеграла и оценивая функцию u1, получим из (145)

sup

u1( )

V2(0) (t, x)

a2t2

Последний интеграл найдѐм, перейдя к полярным координатам:

2 at

rdr

0,5 d

a2t2 r2

d 2

2at .

a2t2

0 0

a2t2 r2

a2t 2 r 2

(в) Рассмотрим случай n = 3. Заметим, что в (149)

u0 (x

поэтому V3(1) (t, x)

)dS at a2t2

	(t)
		2 2	u0 (x

t	2	a t
	4 a t			1

u0 (x at )dS ,

at )dS

		(t)
		(t)			u	(x at )dS t									u			(x at ) dS .						(**)
					u	(x at )dS t									u		0	(x at ) dS .						(**)
					0												0
		4		1									1 t
		4		1									1 t
	u (x at )								u (x at , x at											, x at				)
	u (x at )								u (x at , x at										2	, x at			3	)
Но t		0						t		0	1	1		2					2		3		3	.
Но t								t																.
							a grad u0(x at ),
			(t)					0													0
Значит, (**)								0										gradu			0	), dS
Значит, (**)								u (x at )dS at										gradu			(x at	), dS			,
			4				1									1
							1									1
откуда и следует неравенство (153).																								■

П.4 Тепловые потенциалы.

Мы видели (теорема 18.5), что классическая задача Коши сводится к уравнению (139) в пространстве обобщенных функций:

vt a2 v (t) f t, x u0 (x) (t) .

Определение 18.15. Функция вида V t, x E t, x (t) f t, x , где

f t, x – регулярная обобщенная функция, называется объемным тепловым потенциалом.

Теорема 18.16. Пусть f t, x − локально интегрируемая функция,

которая является ограниченной на множестве 0,T Rn для каждого T 0 . Тогда функция V t, x E t, x (t) f t, x существует и является

локально интегрируемой, ограниченной на каждой полосе вида 0,T n и удовлетворяет следующим условиям:

t d ,

V t, x

f , e

(154)

0 2a

n Rn

V t, x

sup

f ,

(155)

0,T

V t, x 0

при t 0 .

(156)

Если потребовать, чтобы f t, x C2 t 0 , то V t, x C2 t 0

C1 t 0 .

Доказательство. По условию

f t, x

− локально интегрируемая

функция. Кроме того, мы знаем, что функция E t, x также является

локально интегрируемой функцией (см. §17). Значит, их свертка может быть записана в виде

t
E t, x f t, x d f , E t , x d
0	n

Если подставить в последнюю формулу явный вид для фундаментального решения E t, x , то получим формулу (154). Учитывая, что функция E t, x

неотрицательна и интеграл от нее по x по всему n

равен 1, получаем

E t, x f t, x

f ,

E t , x d

sup

f ,

d E t , x d

sup

f ,

0,T ,

т.е. формулу (155). Теперь пусть t 0 . По условию

sup

f ,

−

0,T ,

величина конечная, следовательно, из неравенства (155)

получаем

t, x

0 , т.е. условие (156).

Заметим также, что V t, x 0

при t 0 , поскольку подобным

свойством обладают функции f t, x и E t, x . Из неравенства (156) следует

V t, x	T	max	f x,t	при 0 t T . ■
V t, x	T	max	f x,t	при 0 t T . ■
		0 t T , x Rn
		0 t T , x Rn

Соседние файлы в папке attachments_26-06-2014_11-15-27

#
30.05.2015195.68 Кб16Лекц 20 Пар 15 Фунд Реш Оп ТЕПЛОПРОВОД.pdf
#
30.05.2015253.9 Кб14Лекц 21 Пар 16 Фунд Реш ВОЛН и ЛАП.pdf
#
30.05.2015207.11 Кб14Лекц 22 Пар 17 Св-ва ФУНД РЕШ.pdf
#
30.05.2015255.46 Кб13Лекц 23 Пар 17 Св-ва Ф Р продолж.pdf
#
30.05.2015274.02 Кб31Лекц 24 Пар 18 Обобщ Задача Коши.pdf
#
30.05.2015303 Кб18Лекц 25 Пар 18 продолж.pdf
#
30.05.2015295.42 Кб16Лекц 26 Пар 18 ПРОпродолж.pdf
#
30.05.2015262.69 Кб15Лекц 27 Пар 19 ГАРМонич функции.pdf
#
30.05.2015388.32 Кб13Лекц 28 Пар 20 Мет Функ ГРИНА.pdf
#
30.05.2015511.69 Кб14Лекц 29 Пар 20 продолж.pdf
#
30.05.2015230.03 Кб15Лекц 30 Пар 21 Кр Задачи ЛАП ПУАС.pdf