attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 24 Пар 18 Обобщ Задача Коши

§18. Обобщённая задача Коши

П.1. Обобщённая задача Коши для волнового уравнения

Классическая задача Коши для этого уравнения имеет вид:

Правая часть f t, x определена при t 0 и решение u t, x должно быть функцией, определенной при t 0 и удовлетворяющей условиям задачи (136). Будем считать функцию f t, x непрерывной. От решения требуем,

чтобы u(x,t) C1(t 0) C2(t 0) .

Задачу Коши (136) нельзя напрямую рассматривать в пространстве обобщѐнных функций, т.к. для обобщенной функции не определено значение при t 0. Следующая теорема описывает «перевод» задачи (136) на язык обобщенных функций.

Теорема 18.1. Пусть функция u t, x является классическим решением задачи (136). Тогда функция

v t, x t u t, x

является обобщѐнным решением уравнения

vtt a2 v t f t, x t u1 x t u0 x . (*)

Доказательство. Предположим, что u(x,t) C1(t 0) C2(t 0) и удовлетворяет задаче (136). Применим теорему 9.7 (точнее, формулу (69)):

vt vt t u 0, x ut t t u0 x .

u0 x

vtt utt t t u1 x ' t u0 x .

v t u .

Отсюда

Тогда решение обобщенной задачи Коши (137) существует и оно может быть записано в виде v E F , где E t, x есть фундаментальное решение оператора теплопроводности. ■

П.2. Обобщённая задача Коши для уравнения теплопроводности.

Классическая задача Коши для уравнения теплопроводности имеет вид:

должно быть функцией, определенной при t 0 и удовлетворяющей условиям задачи (138). Будем считать функцию f t, x непрерывной. От

решения требуем, чтобы u t, x C t 0 C2 t 0 .

Заметим снова, что задачу Коши нельзя напрямую рассматривать в пространстве обобщенных функций, т.к. для обобщенной функции не определено значение при t 0.

Теорема 18.5. Пусть функция u t, x является классическим решением задачи (138). Тогда функция

v t, x t u t, x

является обобщѐнным решением уравнения

Доказательство. По условию функция u t, x является классическим решением задачи (138) и, в частности, она непрерывно дифференцируема по t при t 0 и дважды непрерывно дифференцируема по x . Функция v t, x

имеет по переменной t разрыв первого рода, применим теорему 9.7 (точнее, формулу (69)):

vt vt t v t 0 ut t t u0 x ,

так как

С другой стороны, очевидно, что v t u . Из приведенных формул легко

Пусть существует свѐртка v E F , где E t, x есть фундаментальное

решение оператора теплопроводности. Тогда v – решение обобщенной задачи Коши (140). ■

П.3 Волновые потенциалы.

Определение 18.9. Решение уравнения (137) мы будем обозначать:

а) Vn (t, x) , если F(t, x) (t) f (t, x) , б) Vn(0) (t, x) , если F(t, x) (t) u1(x) ,

в) Vn(1) (t, x) , если F(t, x) (t) u0(x) , и называть

Теорема 18.11. Пусть f(t,x) − локально интегрируемая функция такая, что f(t,x) = 0 при t < 0. Тогда функция Vn (t, x) является локально интегрируе-

мой и при n = 1,2,3 справедливы формулы:

Доказательство. Формулы получаются непосредственным вычислением свѐрток из 18.10. Докажем локальную интегрируемость, например V2 t, x . Зафиксируем положительные числа T, R, и рассмотрим компакт

(Мы воспользовались взаимной независимостью пределов интегрирования в интегралах по dxdt и dyds). Рассмотрим теперь внутренний интеграл по dxdt и