attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 22 Пар 17 Св-ва ФУНД РЕШ

§17. Основные свойства фундаментальных решений

П.1. Оператор теплопроводности

Напомним, что в этом случае фундаментальное решение имеет вид

Изучим свойства этой функции.

Теорема 17.1. Функция E x,t является локально интегрируемой функцией, которая бесконечно дифференцируема всюду при t 0 .

Доказательство. Бесконечная дифференцируемость E x,t при t 0

очевидна. Также очевидна интегрируемость этой функции на любом компакте, не содержащем точки 0. Остается показать ее интегрируемость на компактах, содержащих точку 0.

1

Функция e s имеет предел 0 при s 0 и 1 при s . Во всех промежуточных точках она бесконечно дифференцируема. Ее примерный график выглядит следующим образом:

В частности, любая еѐ производная в нуле равна 0, следовательно, она стремится к 0 быстрее, чем s для любого 0 . Отсюда следует, что для каждого0 существует константа C 0 такая, что

Воспользуемся этим неравенством:

Теперь выберем число так, чтобы

Из левой части неравенства (**) следует, что n2 1. Значит, n2 1 ,

где 0 . Из правой части неравенства (**) вытекает, что 2 n , то есть 2 n , где 0 . Поэтому, неравенство (*) можно переписать в виде

Доказательство. По теореме 17.1 функция E t, x является локально интегрируемой, поэтому

Далее ограничимся рассмотрением случая n 2. Перейдѐм к полярным координатам

x1 cos ,x2 sin .

Тогда