Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 26 Пар 18 ПРОпродолж

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

295.42 Кб

Скачать

☆

§18 (продолжение-2)

Определение 18.17. Функция вида V 0 t, x E t, x

t u

x ,

где u0 x является регулярной обобщенной функцией, называется

поверхностным тепловым потенциалом.

Теорема 18.18. Если функция u0 x ограничена и измерима на

n , то

V 0 t, x u0

E t, x d

u0 e

4a2t

d ,

(157)

V 0 t, x

sup

(158)

Если функция u

x непрерывна, то

V 0 t, x C t 0

и выполнено

(159)

t, x

t 0

Доказательство. Докажем сначала (158):

V 0 t, x

E t, x d sup

Отсюда следует, кроме того, что для свѐртки E t, x t u x

выполнены условия теоремы 11.3 и справедлива формула (81). Из (81), (126) и определения 18.17 прямо следует (157).

Допустим теперь, что u0 x − непрерывная функция. Тогда

u0 E

V 0 t, x u0 x	(157)	u0 E t, x d u0 x
	(157)

		n
		n

t, x d u0 x E t, x d

u0 u0 x

E t, x d

u0 u0 x

E t, x d

u0 u0 x

E t, x d .

Зафиксируем теперь точку x . Поскольку u0 x − непрерывная функция, то u0 x u0 для x , следовательно,

V 0 t, x u0 x

E t, x d

u0 u0 x

E t, x d .

Первый интеграл не превосходит 1. Если во втором интеграле сделаем замену

, k 1, , n , то

2a t

V 0 t, x u0

sup

2 dz

n <+ , а значит,

Ясно, что e

2 dz 0

при t 0 .■

2a t

П.5. Классическая задача Коши

В этом пункте выводятся следствия из всей совокупности результатов, полученных ранее в этом параграфе. Эти следствия (теоремы 18.19 и 18.20) говорят о корректности задач Коши для волнового уравнения и уравнения теплопроводности. Из их формулировок ясно, в каком смысле понимается корректность краевой задачи.

Доказательства этих следствий оставляются читателю, потому что они получаются простым комбинированием теоремы 14.7 и фактов предыдущих пунктов §18.

Теорема 18.19. (а) Решение классической задачи Коши для волнового уравнения (136) существует и единственно. Оно задаѐтся формулами:

при n = 1 (формула Даламбера)

u t, x

u x at u x at

x at

y dy

f t s, x y dy ,

x at

при n = 2 (формула Пуассона)

u t, x

f t s, x y

u x y

dy ,

2 a 0

2 a

a2t2

при n = 3 (формула Кирхгофа)

u t, x

f t s, x y

x y ds

4 a2

x at

u x y ds .

(б) Решение задачи (136) непрерывно зависит от еѐ данных в следующем смысле: если кроме (136) рассмотреть ещѐ задачу (136~), где функции f,

u0, u1, u заменены соответственно на функции f , u0, u1, u , причѐм

		f f		,		u u						,	u u				,	grad u grad u		1	,
		f f		,		u u						,	u u				,	grad u grad u		1	,
						0		0		0			1	1		1		0	0	0
то:
			u t, x u t, x						T 2		T 1			0			0 t T		при n 1
									T 2

	u t, x u t, x						T 2		2								0 t T		при n 2,3 .
								T 1 0					aT		01							■


					2

Аналогичная теорема имеет место и в отношении уравнения теплопроводности.

Теорема 18.20. Пусть функции f t, x и u0 x непрерывны и ограничены для всех x n и 0 t T , T . Тогда

(а) Решение классической задачи Коши (138) существует, единственно и может быть записано в виде суммы двух потенциалов (см. (154) и (157)):

u t, x V t, x V 0 t, x .

(160)

(б) Решение задачи (138) непрерывно зависит от еѐ данных, т.е. «малое»

изменение правой части и начального условия приводит к «малому»
изменению решения.	■

Соседние файлы в папке attachments_26-06-2014_11-15-27

#
30.05.2015253.9 Кб14Лекц 21 Пар 16 Фунд Реш ВОЛН и ЛАП.pdf
#
30.05.2015207.11 Кб14Лекц 22 Пар 17 Св-ва ФУНД РЕШ.pdf
#
30.05.2015255.46 Кб13Лекц 23 Пар 17 Св-ва Ф Р продолж.pdf
#
30.05.2015274.02 Кб31Лекц 24 Пар 18 Обобщ Задача Коши.pdf
#
30.05.2015303 Кб18Лекц 25 Пар 18 продолж.pdf
#
30.05.2015295.42 Кб16Лекц 26 Пар 18 ПРОпродолж.pdf
#
30.05.2015262.69 Кб15Лекц 27 Пар 19 ГАРМонич функции.pdf
#
30.05.2015388.32 Кб13Лекц 28 Пар 20 Мет Функ ГРИНА.pdf
#
30.05.2015511.69 Кб14Лекц 29 Пар 20 продолж.pdf
#
30.05.2015230.03 Кб15Лекц 30 Пар 21 Кр Задачи ЛАП ПУАС.pdf
#
30.05.2015249.34 Кб14Лекц 31 Пар 22 Прос СОБ и нер ФРИДР.pdf