attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 27 Пар 19 ГАРМонич функции

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

v u u v dx

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

262.69 Кб

Скачать

☆

§19. Гармонические функции

Определение 19.1. Пусть G ─ область в	n . Функция u : G называ-
ется гармонической в области G, если u(x) 0	для всех x G.

Далее нам понадобятся некоторые формулы и факты, касающиеся оператора Лапласа .

Из формулы Гаусса – Остроградского (см. теорему 1.1) с помощью формулы интегрирования по частям в кратном интеграле

v	w	dx w	v	dx v x w x cos n x , xk dS
	xk		xk
G		G		G

выводятся следующие «формулы Грина для оператора Лапласа»:

А) первая формула Грина для оператора Лапласа:

v udx (gradu,grad v)dx			v	u dS
G	G	G		n

Б) вторая формула Грина для оператора Лапласа:

u udx		gradu	2 dx		u	u dS

				G		n
G	G

В) третья формула Грина для оператора Лапласа:

(Г1)

(Г2)

(Г3)

Теорема 19.2 (Об интегральном представлении). Пусть G ─ ограни-

ченная область в

n с кусочно гладкой границей G , u(x) ─ функция класса

. Тогда

C2 G C1 G

Случай n 3. Для любого x G имеет место формула (161):

u( y)

u(x) (n 2) n

x y

n 2 dy

(n 2) n

x y

n 2 n

u( y) n

x y

n 2 dS

где n ─ площадь поверхности сферы радиуса 1 в

n (в частности, 3 = 4 ).

Случай n 2 . Для любого x G имеет место формула

u(x)

u( y) ln

u( y)

dS . (162)

x y

2 G

x y

Доказательство. Мы ограничимся случаем n 3. Во всех остальных рассуждения аналогичные.

Будем считать точку x G фиксированной, обозначим r x y . Рассмотрим самый первый интеграл в формуле (161). Ясно, что при y x знаменатель будет обращаться в нуль, стало быть, мы имеем дело с несобственным интегралом, т.е.

u( y)dy lim

u( y)dy ,

s 0

G\U (x,s)

где U x, ─ шар с центром в точке x и радиуса 0 .

Поскольку

–

гармоническая функция, то есть

(про-

x y

верьте!), то правую часть можно переписать в виде

lim

u( y) u( y)

dy (Г3)

0 G\U (x, )

u 1

u( y)

dS lim

u( y)

dS .

(*)

G n r

n r

x y

n r

Найдѐм последний предел в (*). Заметим, что

(r )

n r

r r

2)Так как функция u(y) непрерывна, то на (компактной!) сфере

xy r она равномерно непрерывна, а потому

() : max	u( y) u(x)	0 .
() : max	u( y) u(x)	0 .
r		0
		0

Следовательно,

					1		1											1
						u( y)dS						u( y)dS										u(x)dS				u( y) u(x) dS
						u( y)dS						u( y)dS										u(x)dS				u( y) u(x) dS
			n r				2											2
	x y		n r				2		x y									2	x y						x y
	x y								x y										x y						x y
								u(x)			42					1					u( y) u(x) dS
											42										u( y) u(x) dS
									2							2
									2							2	x y
																	x y
Убедимся, что последнее слагаемое стремится к нулю при 0:

		1			u( y) u(x) dS					1				u( y) u(x)							dS	1	max	u( y) u(x)				dS
		1								1												1
		2								2												2
		2								2												2
				r								r											r				r	.
				r								r															r	.
													1		( )42					0
															( )42					0
													2						0

Далее, рассмотрим интеграл		u	1	dS . Непрерывная функция	u

	x y	n r			n

ограничена на (компактной !) сфере r = : u M const . Значит,

dS M

4 2

0 .

n r

Таким образом, предел в (*) равен 4u(x) . Поэтому

u 1

u( y)dy

u( y)

dS u(x)

■

4 G r

G n r

n r

f x не-

Лемма 19.3. Пусть x0 ─ внутренняя точка области G , функция

прерывна в замыкании G , причем f x0 0 . Тогда решение u(x) уравнения Пуассона u f не может достигать максимума в точке x0 .

Доказательство. Пусть u(x) ─ решение уравнения Пуассона. Вспомним необходимые условия максимума в точке x0 :

1.	ux x0 0 для всех i 1,	,n ;
	i
2.	ux x x0 0 для всех i 1,	,n .
	i i
Из пункта 2 получаем ux x x0			ux x	x0 u(x0) 0 .
	1 1		n n
Таким образом, 0 u x0 f x0			0 . Противоречие.		■

Теорема 19.4. (Принцип максимума) Пусть G ─ ограниченная область

вn . Функция u(x) ─ гармоническая внутри области G и непрерывная на за-

мыкании G (которое компактно!). Тогда u(x) достигает своего наибольшего и наименьшего значения на (компактной!) границе области G .

Доказательство проведем от противного и для случая наибольшего значения. Допустим, что существует внутренняя точка x0 области G , в которой

функция u(x) принимает свое наибольшее значение. В частности, мы тогда можем записать

u x0 M max u x .

x G

Ясно, что можно выбрать число 0 столь маленьким, что будет выполнено неравенство

u x0 M .

Выберем, далее, число 0 столь маленьким, чтобы

Определим теперь функцию

v x u x	x x	2 .
v x u x	x x	2 .
	0
Тогда

v x0 u x0	M M		max u x max		x x0


		2
			x G	x G

2 max v x .

x G

Последнее означает, что наибольшее значение функции v(x) достигается где-то внутри области, но не на его границе. Кроме того,

v u x x0 2 0 2n 2n .

Определим теперь функцию f x 2n . По лемме 19.3 заключаем, что

наибольшее значение функции v(x) не может достигаться во внутренней точке области G , что противоречит выше сделанному выводу.

Для того, чтобы доказать теорему для случая «наименьшего значения» достаточно рассмотреть функцию –u(x). Она тоже является гармонической и ее максимумы соответствуют минимумам функции u(x). ■

Замечание. Для неограниченных областей утверждение теоремы не может быть верным. В самом деле, возьмем n 1. Тогда любая линейная функция на прямой будет гармонической. Если она не константа то она не имеет вообще ни наибольшего, ни наименьшего значения.

Следствие 19.5. Пусть функция u(x) является гармонической внутри ограниченной области G и непрерывна на G . Если u(x) = 0 на границе G , то u(x) = 0 всюду на G . ■

Соседние файлы в папке attachments_26-06-2014_11-15-27

#
30.05.2015207.11 Кб14Лекц 22 Пар 17 Св-ва ФУНД РЕШ.pdf
#
30.05.2015255.46 Кб13Лекц 23 Пар 17 Св-ва Ф Р продолж.pdf
#
30.05.2015274.02 Кб31Лекц 24 Пар 18 Обобщ Задача Коши.pdf
#
30.05.2015303 Кб18Лекц 25 Пар 18 продолж.pdf
#
30.05.2015295.42 Кб16Лекц 26 Пар 18 ПРОпродолж.pdf
#
30.05.2015262.69 Кб15Лекц 27 Пар 19 ГАРМонич функции.pdf
#
30.05.2015388.32 Кб13Лекц 28 Пар 20 Мет Функ ГРИНА.pdf
#
30.05.2015511.69 Кб14Лекц 29 Пар 20 продолж.pdf
#
30.05.2015230.03 Кб15Лекц 30 Пар 21 Кр Задачи ЛАП ПУАС.pdf
#
30.05.2015249.34 Кб14Лекц 31 Пар 22 Прос СОБ и нер ФРИДР.pdf
#
30.05.2015237.13 Кб16Лекц 32 Пар 23 СЛЕД.pdf