Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1261 вуз, 4603 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Томский Государственный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 20 Пар 15 Фунд Реш Оп ТЕПЛОПРОВОД

.pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
195.68 Кб
Скачать
☆

§15. Фундаментальное решение оператора теплопроводности

 

Рассмотрим сначала обыкновенный линейный дифференциальный опера-

 

D : Ck

 

 

 

 

 

тор

 

 

C

 

порядка k с постоянными коэффициентами:

Du u k a u k 1

a

u ' a u .

1

k 1

k

Рассмотрим вспомогательную задачу Коши

Du x 0;

 

 

(l) 0 0

 

u

при 0 l k 2;

 

 

 

 

 

 

0 1.

u k 1

 

 

 

 

(117)

(118)

(119)

(120)

Из курса ОДУ нам известно, что задача (118–120) имеет единственное решение. Обозначим его u(x).

Теорема 15.1. Функция E x x u x есть ф.р. оператора D.

Доказательство. Рассмотрим функции x u(l) x , где l = 0,1,…, k – 1.

Они равны 0 при x < 0 и равны u(l) x при x 0. Поэтому, по формуле (72), учитывая условие (119), имеем

 

 

x

 

x u(l) x x u(l 1) x u(l) 0 (x) x u(l 1)

 

для l = 0,1,…, k – 2. Также, в силу (120), имеем

 

 

 

 

 

(x) .

x u(k 1) x x u(k ) x u(k 1) 0 (x) x u(k ) x

Следовательно,

 

 

 

DE x D x u x ak u x x ak 1 u x x ...

 

 

 

... a u(k 1) x x u(k ) x x (x) (x) Du(x) (x)

(118)

 

 

 

(x)

1

 

 

 

 

 

 

■

Пример 15.2. Рассмотрим оператор D, заданный правилом

 

 

 

Du t ut (t) a u t ,

(121)

Найдем ф.р. этого оператора. Составим задачу (118–120):

 

 

 

ut a u 0;u 0 1.

Ее решением будет функция u t e at . Следовательно, ф. р. оператора (121) является функция E t t e at .

Пример 15.3. Рассмотрим оператор D, заданный правилом

Du t utt (t) a u t .

(122)

Найдем ф.р. этого оператора. Составим задачу (118–120):

utt a2 u 0;u 0 0;

u ' 0 1.

Ее решением будет функция u t

sin at

. Следовательно, ф. р. оператора (122)

 

 

 

 

 

 

a

 

является функция E t t

sin at

.

 

 

 

 

 

a

 

Пример 15.4. Оператор теплопроводности.

 

Оператор теплопроводности задан следующим образом:

 

 

 

Du u a2 u ,

(123)

 

 

 

 

t

 

где u u t, x , x x ,

, x

n . Найдем его ф. р. E t, x . По определению

1

n

 

 

 

 

 

14.5 должно выполняться:

 

 

 

 

 

 

DE t, x t, x (t) (x) .

 

То есть

 

 

 

 

 

 

E t, x a2 E t, x (t) (x)

(124)

 

t

 

 

 

 

 

Применим, используя известные нам (из §12) свойства, преобразование Фурье F по переменной x к обеим частям равенства (124):

 

 

 

 

12.7

 

 

 

 

 

 

 

89

t 1( ) .

F t x (t, ) t

F x ( )

 

 

 

F Et (t, x) (t, ) F E (t, x) (t, ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

Ниже пишем E вместо E t, x . Продолжаем:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2 E

 

x x

 

 

x x

 

x x

 

 

 

 

 

 

92

F

 

 

 

(t, )

 

 

 

(t, ) a2F E

E

 

E

 

 

 

 

 

1 1

2

2

 

n n

 

 

 

 

 

 

.

a2 i 1 2 F E (t, ) ... i n 2 F E (t, ) a2

 

 

 

 

 

 

 

2 F E (t, )

 

 

Следовательно,

 

 

 

F E t, a2

 

 

 

2 F E t, t 1( ) .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таким образом, в силу следствия 14.12, F(E ) является фундаментальным решением обыкновенного дифференциального оператора из примера 15.2 (по переменной t). Согласно примеру 15.2,

F (E ) t, t e a2

 

 

 

2 t .

(125)

 

 

 

 

Очевидно, что данная функция является локально интегрируемой. Применим теперь обратное преобразование Фурье к обеим частям равенства (125):

E t, x F 1

F E (t, ) t, x

т. 12.9

t

 

e a

2

 

 

 

2

t e i ,x d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

2

2

 

 

 

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e a

1 t e i 1x1 d 1

 

 

 

e a

nt e i n xn d n .

(*)

 

 

 

 

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В скобках перемножаемые интегралы одинаковы. Вычислим такой интеграл:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

x2

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

a i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e a

 

t e i xd

 

e

 

 

 

 

 

2a

 

4a2 d e 4a2

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

2a d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

a i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ds

 

 

 

 

 

 

e 4a

 

 

e

 

 

 

2a

 

d s a i

 

 

 

 

,

d

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

i

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4a2

 

 

 

 

 

 

 

e s2 ds

 

 

4a2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(**)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

i

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С учѐтом (**) получаем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4a2t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4a2t .

 

 

 

 

 

 

(*) =

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

 

 

 

 

2 n

 

 

 

 

 

 

 

2a

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Итак, фундаментальное решение оператора теплопроводности (123) задаѐтся формулой

E t, x

t

 

 

x

 

2

 

 

 

 

 

4a2t .

 

e

(126)

2a

 

n

 

t

 

 

 

 

 

 

 
Соседние файлы в папке attachments_26-06-2014_11-15-27
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности