attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 17 Пар 12 Фурье Обобщ (испр)

Из предыдущей лекции нам уже известно, что если f(x) S

n , то и

F f (x)

f x ei x, dx S

n (теорема 12.4). Тем более, F(f) – ло-

n

кально интегрируемая функция, и потому еѐ можно рассматривать как регу-

лярную обобщенную функцию (из S

n ). Применим еѐ тогда к S

n :

F f (x) ,

f (x) ei x, dx

d

n

n

f (x)

ei x, d dx f x , F ( ( )) x .

n

n

Теперь становится оправданным такое общее определение:

Определение 12.7. Преобразование Фурье F : S

n S

n опре-

делено формулой

F f , f , F .

(87)

Корректность определения следует из того, что F S и

f S '.

Фурье обобщенных функций можно рассматривать как продолжение преоб-

разования Фурье, определенного на пространстве S

n .

определений 8.1 и 12.7.

■

1

F f x ,

Теорема 12.9. F 1 f (x)

f S .

2 n

Доказательство. Обозначим G f (x) 2 n F f x и покажем,

что G F F G I , т.е. что оператор G – обратный к F. Имеем

G F f ( ) ( ), ( ) 2 n F F f ( ) ( x) ,

2 n F f ( ) x , F ( ) x 2 n F f ( ) x , F ( ) x

F f ( ) x , 2 n F ( ) x F f ( ) x , F 1 ( ) x

.

f ( ), F F 1 ( ) x ( ) f ( ), ( ) ,

то есть G F I.

Аналогично, доказывается равенство F G I .

■

ei ,x0 d ei ,x0

,

.

n

лок. инт.

F x x0 ei ,x0 .

(88)

При x0 0 будет

F x 1.

(89)

Отсюда

x F 1 1( ) x 2 n F 1( ) x .

(90)

F ( ) f (x) ( ) F ix f x ( )

(91)

12б. Преобразование Фурье производной:

F f ( ) (x) i F f (x) .

(92)

12в. Преобразование Фурье сдвига:

F f x x0 F f x ei x0 , .

(93)

12г. Сдвиг преобразования Фурье:

F f (x) 0 F ei x, 0 f x

(94)

12д. Формула подобия:

F f c x

1

F f (x)

, где c 0 .

(95)

n

c

c

12е. Преобразование Фурье прямого произведения:

F f x g y , F f x F f y .

(96)

Доказательство. Ниже обозначим кратко = ( , ).

Так как x, y , , x1 1

xn n y1 1

ym m , то

Доказательство.

F f g , f g, F f x , g y , y F x y

f x

, g y , y

ei x y, d

n

f x , g y , y ei x, ei y, d

n

g y , y ei y,

f x ,

ei x, d

n

R

F g λ , по 12.11