Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Томский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 19 Пар 14 Фунд РЕШ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.05.2015

Размер:

295.04 Кб

Скачать

☆

§14. Фундаментальные решения

Пусть G – область в n . Рассмотрим сначала линейный дифференциальный оператор D : Cn (G) Cn k (G) порядка k с достаточно гладкими коэффициентами a (x):

Du x a x u( ) x ,			(108)
		k

Ясно, что такой же оператор D можно рассматривать и в пространстве D G . Поэтому естественно возникают такие два понятия:

Определение 14.1. Классическим решением дифференциального уравнения Du = f будем называть такую функцию u(x), которая при подстановке еѐ в

это уравнение превращает его в тождество в области G n .

Определение 14.2. Назовем обобщенную функцию u(x) обобщенным решением уравнения Du = f, если

Du, f , ,

(39.3)(109)

для всякой основной функции (x).

Выясним теперь, какова связь между этими двумя понятиями.

Теорема 14.3. Пусть коэффициенты a (x) и правая часть f(x) являются непрерывными функциями. Если u(x) − классическое решение уравнения Du = f, то оно будет также его обобщенным решением.

Доказательство. Пусть u(x) − классическое решение уравнения Du = f. Тогда u(x) должно быть k раз непрерывно дифференцируемой функцией в области G. Таким образом, u(x) Ck(G) и f(x) C(G). Вне области G функции u(x) и f(x) положим равными нулю. Тогда равенство Du = f есть равенство двух локально интегрируемых функций, следовательно, они совпадают как (регулярные) обобщенные функции, т.е. Du, f , , D(G) . ■

Обратное утверждение к теореме 13.3 также справедливо:

Теорема 14.4. Пусть f(x) C(G), u(x) Ck(G), причем u(x) − обобщенное решение уравнения Du = f. Тогда u(x) − его классическое решение.

Доказательство. По условию Du, f , , D(G) , или, эквивалентно, Du f , 0 , D(G) . Следовательно, Du f 0 в смысле равенства обобщенных функций. По условию функция Du f локально интегриру-

ема, следовательно, по теореме Дю Буа-Реймона, она равна нулю почти всюду, а так как она непрерывна, то и тождественно равна нулю. ■

Предположим теперь, что коэффициенты a (x) являются бесконечно дифференцируемыми функциями. Тогда

	a x u
Du,	a x u
		k


u() x , a x


		a x u() x , x
() x , x		a x u() x , x
			k


x	u x , 1			a x x ()

обознач.

u x ,

a x x ( )

u, D

Следовательно, оператор
		x	1		a x x ()	(110)

	D
	D
				k

можно рассматривать как сопряженный к оператору D. Если a (x) = a = const, то (110) примет вид:

	x	1	a () x	(111)

D

Определение 14.5. Назовем обобщенную функцию E x фундаментальным решением для оператора D, если DE x x .

Замечание 14.6. (а) Фундаментальное решение не единственно. В самом деле, пусть функция E0 x такова, что DE0 x 0 , то E x E0 x также будет фундаментальным решением.

(б) Слова «фундаментальное решение» будем сокращать до «ф. р.».

Теорема 14.7. Пусть для обобщенной функции f(x) существует свѐртка

E x f x . Тогда уравнение Du = f имеет единственное решение в D ' G , ко-

торое можно записать в виде		u x f x E x
		u x f x E x			(112)
Доказательство. Имеем

D E x f x a E f ()			a E ()		f DE f f f ,
	k			k

т.е. формула (112) действительно определяет решение. Предположим, что u1 x
и u2 x − решения данного уравнения из пространства D ' G . Рассмотрим
u x u1 x u2 x . Тогда Du Du1 Du2	f f 0 . Отсюда
u u u DE D u E Du E 0 E	0 , значит, u1 x u2 x . ■

Ф.р. можно найти с помощью преобразования Фурье.

Теорема 14.8. Пусть E x S '

n . Функция E x − ф.р. для оператора

D тогда и только тогда, когда F E (x) ( ) удовлетворяет уравнению:

a i F E (x) () 1,

(113)

Доказательство. ) Из определения пространства S '

n легко следует,

что E S ' DE S ' . Применим преобразование Фурье к обеим частям равен-

ства DE x x . Получим F

DE F

1 и

( )

F DE F

( )

F E .

a E

F E

a i

) Применим к обеим частям равенства (113) обратное преобразование Фурье.

Получим DE F 1 1 .				■
	Если D – оператор вида (108) с производными по координатам вектора
x	n 1, x x ,	, x	, то обозначим через Dl аналогичный оператор, полу-
	1	n 1

ченный из D удалением слагаемых с производными по координате xl . Обозна-

чим также xl x ,	, x	, x	, x		n .
1	l 1	l 1		n 1
Опишем способ получения ф.р. оператора Dl по ф.р. D (метод спуска).
					n 1	существует предел
Предположим, что для u x D						существует предел
		lim		u x , xl	k xl ,		(114)
		k
где xl D n , k D , k t 1, t k,k . Ясно, что k t k 1. По

теореме о полноте пространства обобщенных функций, формула (43.1) опреде-

ляет новую обобщенную функцию u xl

. Итак,

u xl , xl

def

u x , xl k xl .

lim

(115)

Определение 14.9. Скажем, что функция u xl

в формуле (115) получена

из u(x) методом спуска по переменной xl.

Теорема 14.10. Если u x f xl xl , где

f xl D '

n , то

u xl f xl .

def

lim u x , xl k xl

Доказательство. u xl , xl

lim

x ,

lim

lim f

xl , xl k 0 f

xl , xl .

■

Теорема 14.11. Пусть u x D '

n 1

− решение уравнения

Du x f xl xl ,

и существует u xl . Тогда u xl − решение уравнения

Dlu xl f xl .

Доказательство. Заметим, что для всех функций k xl из (114) произ-

(q)

на отрезках k, k . Тогда k xl

xl 1 на этих

водные k

равны 0

отрезках. Следовательно, функции k xl можно заменить на k xl k

в формулах (114) или (115). Поэтому получаем

u x , x

lim

u x

, x

u x , x

u xl , xl

u xl , xl 0

(116)

для всех q 1. Отсюда

(116)

u x

, x

, D

lim u x , D

k xl

lim

u x ,

lim

Du x ,

(115)

lim

f xl xl , xl k xl

f xl , xl .

■

Следствие 14.12. Пусть ф.р. E x

оператора D допускает спуск по пере-

менной xl

, то есть существует E xl . Тогда E xl − ф.р. оператора Dl.

■

Соседние файлы в папке attachments_26-06-2014_11-15-27

#
30.05.2015449.3 Кб16Лекц 12 Пар 10 Прям произв об ф.pdf
#
30.05.2015338.29 Кб16Лекц 13 Пар 10 Осн свва прям пр.pdf
#
30.05.2015326.76 Кб15Лекц 17 Пар 12 Фурье Обобщ (испр).pdf
#
30.05.2015326.65 Кб14Лекц 17 Пар 12 Фурье ОБОБЩ.pdf
#
30.05.2015254.97 Кб14Лекц 18 Пар 13 Преобр ЛАПЛ.pdf
#
30.05.2015295.04 Кб14Лекц 19 Пар 14 Фунд РЕШ.pdf
#
30.05.2015195.68 Кб16Лекц 20 Пар 15 Фунд Реш Оп ТЕПЛОПРОВОД.pdf
#
30.05.2015253.9 Кб14Лекц 21 Пар 16 Фунд Реш ВОЛН и ЛАП.pdf
#
30.05.2015207.11 Кб14Лекц 22 Пар 17 Св-ва ФУНД РЕШ.pdf
#
30.05.2015255.46 Кб13Лекц 23 Пар 17 Св-ва Ф Р продолж.pdf
#
30.05.2015274.02 Кб31Лекц 24 Пар 18 Обобщ Задача Коши.pdf