attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 18 Пар 13 Преобр ЛАПЛ
.pdf§13. Преобразование Лапласа (операционное исчисление)
|
|
|
|
Определение 13.1. Пусть функция f : |
локально интегрируема, |
|||||||
f(t) = 0 при t < 0, а также удовлетворяет неравенству |
|
f t |
|
A eat при доста- |
||||||||
|
|
|||||||||||
точно больших A > 0 и a > 0. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Тогда функция f называется оригиналом, а функция |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
L |
|
f |
|
: |
|
p i |
: Re p a |
, заданная правилом |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
f t e ptdt , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L f p |
(99) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
называется преобразованием Лапласа оригинала f или изображением f.
|
Теорема 13.2. L f p – аналитическая |
Re p > a |
функция в полуплоскости Re p a , причем |
a |
L f p равномерно сходится к нулю при |
|
Re p . |
|
Доказательство. Функция L f p за- |
дана как интеграл, зависящий от параметра (см. (99)). Еѐ аналитичность выте-
кает из аналитичности функции e pt и из теоремы о дифференцировании по параметру под знаком интеграла. Далее
f t e pt f t e iw t f t e t A e a t .
Следовательно,
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
f t e pt dt |
|
A e a t dt A |
|
|
|
e a t |
|
|
|
|
0 . ■ |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|||||||||||||||||
|
0 |
|
0 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Теорема 13.3. L f p F f t e t . |
|
|
|
|
|
|
■ |
||||||||||||||
|
Тот факт, что f(t) – оригинал, а L f p – его изображение часто записы- |
|||||||||||||||||||||
вают в виде |
|
f t L f p , |
|
или |
|
|
|
|
f t |
|
( p) . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
f |
||||||||||||||||
|
|
|
|
Свойства преобразования Лапласа |
|
|
|
|||||||||||||||
12 а) Линейность преобразования Лапласа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
L f g p L f p L g p , или |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f (t) g(t) |
|
|
p g p . |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
f |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
f t |
1 |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
f |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
12 б) Подобие |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Свойства 12а) и 12б) выводятся непосредственно из формулы (99).
12 в) Дифференцирование оригинала: f ' t p f p f 0 .
a |
|
|
|
|
|
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. f t e pt dt f t e pt |
|
p f t e pt dt |
|
|||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f a e pa f 0 p f t |
e ptdt . |
|
||||||||||||||
Устремив a , получим: L f |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
■ |
|||||
(t) p f ( 0) p L f (t) p . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 г) Дифференцирование изображения: t f t L |
|
|
||||||||||||||
f p . |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
||||
Доказательство. Ясно, что |
t f t e ptdt |
|
f t e ptdt . |
■ |
||||||||||||
dp |
||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Нетрудно по индукции обобщить формулы 12 в) и 12 г) на производные |
||||||||||||||||
порядка n: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f n t pnL f p f 0 pn 1 f ' 0 pn 2 |
|
|
f n 1 0 . |
(100) |
||||||||||||
1 |
n |
t |
n |
f t L |
n |
p . |
|
|
(101) |
|||||||
|
|
f |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
L f p |
|
|
|||||
12 д) Интегрирование оригинала: |
f u |
du |
. |
(102) |
||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t
Доказательство. Обозначим F t f u du (заметим, что F 0 0 ). Тогда
0
F t L F p . Применим теперь формулу п. 12 в):
F ' t f t p L(F) p F 0 p L(F) p .
С другой стороны f t L f p . Следовательно, L F p L f p . ■ p
12 е) Интегрирования изображения: Если |
f t |
– оригинал, то |
|
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
t |
|
|
||
|
f t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L f q dq . |
(103) |
|||||
|
|
|||||||
|
t |
p |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
Доказательство. Дано, что f t L f p . Обозначим F t |
f t |
. При- |
||||||
t |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
меним к F(t) формулу п. 12 г): t F t L F p . С другой стороныt F t f t L f p . Следовательно, L F p L f p . Проинтегрировав последнее равенство от p до , получим:
|
|
|
|
|
L F L F p L F p .■ |
|
|
|
|||
|
|
|
|||
|
L f q dq |
L F q dq L F q |
|
p |
|
|
|
|
p |
p |
12 ж) Формула запаздывания: f t t0 Доказательство. Применим к f t t0
s = t – t0. Получим формулу (104).
e pt0 L f p . |
(104) |
формулу (99) и сделаем в ней замену
■
12 з). Формула сдвига: e t f t L f p . |
|
(105) |
|
Доказательство. |
|
|
|
|
|
|
|
L e t f t p e t f t e ptdt f t e p tdt L f p . ■ |
|||
0 |
0 |
|
|
12 и) Преобразование Лапласа свѐртки: |
|
|
|
|
L f g p L f p L g p . |
|
(106) |
Доказательство. По теореме 11.3 f g t f g t d . Учитывая, |
|||
что f (t) 0, g t 0 |
при t < 0, заключаем, что f s 0 |
при s 0 |
и g t s 0 |
|
t |
|
|
при t s . Тогда f g t f s g t s ds f s g t s ds |
(см. рисунок). |
||
|
0 |
|
|
s |
|
|
|
f s g t s 0 |
t |
|
|
t |
|
|
pt |
|
|
|
|
|
pt |
|
||
L f g p |
|
|
f s g t s ds |
|
e |
dt |
|
f s |
|
g t s e |
dt |
||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
0 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
s |
|
|
|
|
|
t s u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
f |
s |
|
g u e p u s du ds |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
dt du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
f |
|
s |
|
e psds |
|
|
g |
|
u |
|
e pudu |
L |
|
f |
|
p |
|
L |
|
g |
|
p |
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ds
■
12 к) Формула обращения: f t |
1 |
|
a i |
L f p e ptdt . |
|
|
|
|
(107) |
||||
2i |
||||||
|
|
a i |
|
|
||
(для непрерывно дифференцируемых оригиналов f t ). |
|
Доказательство. Функция e at f t тоже непрерывно дифференцируема. Еѐ преобразование Фурье равно
def |
|
|
|
|
|
F e at f t b |
|
e at f t e ibtdt |
f t e a ib tdt |
|
a bi . |
f |
|||||
|
|
0 |
|
|
|
Следовательно, e at
Тогда f t |
1 |
|
|
|
|
|
|||
2 |
||||
|
|
|
||
|
|
|
f t F 1 |
|
a bi b |
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
f |
|
f |
|
|||||||||||
2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a bi e a bi tdb |
|
p a bi |
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||||||
f |
|
|
||||||||||||
|
dp i db |
|
|
2 i |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a bi eibtdb .
ai
f p e ptdp .■
a i