Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 18 Пар 13 Преобр ЛАПЛ

.pdf
Скачиваний:
13
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
254.97 Кб
Скачать

§13. Преобразование Лапласа (операционное исчисление)

 

 

 

 

Определение 13.1. Пусть функция f :

локально интегрируема,

f(t) = 0 при t < 0, а также удовлетворяет неравенству

 

f t

 

A eat при доста-

 

 

точно больших A > 0 и a > 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда функция f называется оригиналом, а функция

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L

 

f

 

:

 

p i

: Re p a

, заданная правилом

 

 

 

 

 

 

 

 

f t e ptdt ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L f p

(99)

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

называется преобразованием Лапласа оригинала f или изображением f.

 

Теорема 13.2. L f p – аналитическая

Re p > a

функция в полуплоскости Re p a , причем

a

L f p равномерно сходится к нулю при

 

Re p .

 

Доказательство. Функция L f p за-

дана как интеграл, зависящий от параметра (см. (99)). Еѐ аналитичность выте-

кает из аналитичности функции e pt и из теоремы о дифференцировании по параметру под знаком интеграла. Далее

f t e pt f t e iw t f t e t A e a t .

Следовательно,

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f t e pt dt

 

A e a t dt A

 

 

 

e a t

 

 

 

 

0 . ■

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

0

 

0

 

a

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Теорема 13.3. L f p F f t e t .

 

 

 

 

 

 

 

Тот факт, что f(t) – оригинал, а L f p – его изображение часто записы-

вают в виде

 

f t L f p ,

 

или

 

 

 

 

f t

 

( p) .

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

Свойства преобразования Лапласа

 

 

 

12 а) Линейность преобразования Лапласа:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

L f g p L f p L g p , или

 

 

 

 

f (t) g(t)

 

 

p g p .

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

f t

1

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

12 б) Подобие

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Свойства 12а) и 12б) выводятся непосредственно из формулы (99).

12 в) Дифференцирование оригинала: f ' t p f p f 0 .

a

 

 

 

 

 

a

 

 

a

 

 

 

 

 

 

Доказательство. f t e pt dt f t e pt

 

p f t e pt dt

 

0

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

f a e pa f 0 p f t

e ptdt .

 

Устремив a , получим: L f

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

(t) p f ( 0) p L f (t) p .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12 г) Дифференцирование изображения: t f t L

 

 

f p .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d

 

 

 

 

Доказательство. Ясно, что

t f t e ptdt

 

f t e ptdt .

dp

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

Нетрудно по индукции обобщить формулы 12 в) и 12 г) на производные

порядка n:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f n t pnL f p f 0 pn 1 f ' 0 pn 2

 

 

f n 1 0 .

(100)

1

n

t

n

f t L

n

p .

 

 

(101)

 

 

f

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

 

L f p

 

 

12 д) Интегрирование оригинала:

f u

du

.

(102)

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

Доказательство. Обозначим F t f u du (заметим, что F 0 0 ). Тогда

0

F t L F p . Применим теперь формулу п. 12 в):

F ' t f t p L(F) p F 0 p L(F) p .

С другой стороны f t L f p . Следовательно, L F p L f p . ■ p

12 е) Интегрирования изображения: Если

f t

– оригинал, то

 

 

 

 

 

 

 

 

 

t

 

 

 

f t

 

 

 

 

 

 

 

 

L f q dq .

(103)

 

 

 

t

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Доказательство. Дано, что f t L f p . Обозначим F t

f t

. При-

t

 

 

 

 

 

 

 

меним к F(t) формулу п. 12 г): t F t L F p . С другой стороныt F t f t L f p . Следовательно, L F p L f p . Проинтегрировав последнее равенство от p до , получим:

 

 

 

 

 

L F L F p L F p .■

 

 

 

 

 

 

 

L f q dq

L F q dq L F q

 

p

 

 

 

p

p

12 ж) Формула запаздывания: f t t0 Доказательство. Применим к f t t0

s = t t0. Получим формулу (104).

e pt0 L f p .

(104)

формулу (99) и сделаем в ней замену

12 з). Формула сдвига: e t f t L f p .

 

(105)

Доказательство.

 

 

 

 

 

 

 

L e t f t p e t f t e ptdt f t e p tdt L f p . ■

0

0

 

 

12 и) Преобразование Лапласа свѐртки:

 

 

 

L f g p L f p L g p .

 

(106)

Доказательство. По теореме 11.3 f g t f g t d . Учитывая,

что f (t) 0, g t 0

при t < 0, заключаем, что f s 0

при s 0

и g t s 0

 

t

 

 

при t s . Тогда f g t f s g t s ds f s g t s ds

(см. рисунок).

 

0

 

 

s

 

 

 

f s g t s 0

t

 

 

t

 

 

pt

 

 

 

 

 

pt

 

L f g p

 

 

f s g t s ds

 

e

dt

 

f s

 

g t s e

dt

 

 

 

 

 

 

0

 

0

 

 

 

 

0

 

 

s

 

 

 

 

 

t s u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

s

 

g u e p u s du ds

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dt du

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

s

 

e psds

 

 

g

 

u

 

e pudu

L

 

f

 

p

 

L

 

g

 

p

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ds

12 к) Формула обращения: f t

1

 

a i

L f p e ptdt .

 

 

 

(107)

2i

 

 

a i

 

 

(для непрерывно дифференцируемых оригиналов f t ).

 

Доказательство. Функция e at f t тоже непрерывно дифференцируема. Еѐ преобразование Фурье равно

def

 

 

 

 

F e at f t b

 

e at f t e ibtdt

f t e a ib tdt

 

a bi .

f

 

 

0

 

 

 

Следовательно, e at

Тогда f t

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

f t F 1

 

a bi b

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

f

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a bi e a bi tdb

 

p a bi

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

f

 

 

 

dp i db

 

 

2 i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a bi eibtdb .

ai

f p e ptdp .■

a i