attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 23 Пар 17 Св-ва Ф Р продолж

1

at

E

t, x

at

x

,

suppE

t, x

t, x

;

x

,

1

2a

1

x

at

x

E2 t, x

,

suppE2 t, x t, x ;

at

x

– конус,

2 a

a2t2

x

2

at ≥ |x|

t

E3

t, x

t

Sat .,

suppE3 t, x t, x ;

a2t2

x

2

– поверхность конуса.

4 a

2

t

at = |x|

t

x

x

x3

x2

x1

Заметим, что E

t, x и E

t, x − локально интегрируемые функции,

1

2

Зависимость функции En t, x от t .

Определение 17.4. Пусть f t, x D '

n 1 . Зафиксируем

x D

n . Зададим на пространстве D

функцию f (t) правилом

def

f t , t f t, x , x , t f t, x , x t

, где

def

f t, x , x k t ,

f t, x , x

lim

k

где k t D

и k t 1, t k, k .

По теореме 8.7 о полноте пространства D ' функция f (t) является ли-

нейным непрерывным функционалом, т.е. обобщенной функцией на D

.

Определение 17.5. Скажем, что функция f x,t C1

, если для любого

t

x D

n функция f (t) − регулярная обобщенная функция класса C1.

Аналогично определяются условия f t, x

Cn

и

f t, x C .

t

t

Лемма 17.6. f (t) k

ft k (t, x), x .

Доказательство.

f t ,

1

f t, x , x ,

t

k

1

k

k

t

k

k

f (t)

, t

1

k

f t, x

, x

k

k

■

t

ft

t, x , x , t .

Теорема 17.7. Для n 1,2,3 выполнено E t, x C

. Кроме того, при

n

t

1

1

at

t 0

2a

f

t

E t, x

, x

x

dx 0 ,

at

1

t 0

f

t

at

a

at

a

0

x

,

x

,

2a

1

t 0

t

' at

a a ' at 0 .

f

2

Случай n 2 – рассмотреть самостоятельно.

Пусть n 3 .

x1 at 1,

x2 at 2 ,

1

x3 at 3.

t

f

t

E

t, x

,

x

x

dS

2

2

2

at

dS

2

3

Sat :

1

4

4 a t

S

at

1 2

3

S

1

dS a2t2dS

Имеем

t 0

0 dS 0 4 .

at dS

S1

S1

f t

t 0

Следовательно,

0 . Кроме того,