attachments_26-06-2014_11-15-27 / Лекц 30 Пар 21 Кр Задачи ЛАП ПУАС
.pdf
§21. Краевые задачи для уравнения Лапласа и Пуассона
Предложение 21.1. Любое решение уравнения Пуассона |
u x f x |
||||||||||||||||||
можно записать в виде u x v x w x , где |
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
w x |
|
|
|
|
f y ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
при n = 2, |
(173) |
|||
|
2 |
|
|
x y |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
w x |
|
|
f y |
|
|
|
|
|
dy, |
при n = 3, |
(174) |
||||||||
4 |
|
|
x y |
|
|
||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а функция v x – гармоническая, то есть удовлетворяет уравнению Лапласа |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
v x 0. |
|
|
||||||||||||
Доказательство. Ограничимся случаем n 3 . Формулу (174) можно переписать в виде
4 w x f (x) 1x .
Применим к обеим частям оператор Лапласа:
4 w x |
f (x) |
|
1 |
|
f (x) |
|
1 |
f (x) 4 x 4 f 4 f |
|
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
или w x f x . Следовательно, v x 0 ■
Вывод: Краевые задачи для уравнения Пуассона сводятся к задачам для уравнения Лапласа.
Пусть G − ограниченная область в n . Основными задачами эллиптического типа (для уравнения Лапласа) являются следующие задачи.
Внутренняя задача Дирихле:
Внешняя задача Дирихле:
Внутренняя задача Неймана:
u 0, x G,u G u0 x .
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u 0, x n \ G |
, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u0 x , |
|||
u |
|
G |
||||||||||
|
||||||||||||
u |
|
x |
|
|
0. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u 0, x G, |
||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
u1 x . |
||||||||
|
n |
|
|
|
||||||||
|
|
G |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
u 0, x |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
n \ G |
, |
|||||||||
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внешняя задача Неймана: |
|
|
|
u1 |
x , |
|||||||||
|
|
n |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
u x |
0. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||||
Теорема 21.2. Решение обеих задач Дирихле единственно и непрерывно |
||||||||||||||
зависит от u0 x , т.е. если |
|
u0 x u0 x |
|
, то |
|
u x u x |
|
. |
||||||
|
|
|
|
|||||||||||
Доказательство. Рассмотрим вначале внутреннюю задачу. Так как функция u x гармоническая, то, по принципу максимума (теорема 19.4),
max |
|
u x |
|
max |
|
u x |
|
max |
|
u0 x |
|
. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x G |
|
|
|
x G |
|
|
|
|
|
x G |
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
max |
|
u x u x |
|
max |
|
u0 x u0 x |
|
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x G |
|
|
|
|
|
|
|
x G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
из чего сразу следуют оба утверждения теоремы.
Рассмотрим теперь внешнюю задачу. Область G ограничена. Возьмѐм произвольное R 0 такое, что G U 0, R . Множество U 0, R \ G является открытым и ограниченным. Его границей является множество G SR 0 .
Снова по принципу максимума для области U 0, R \ G имеем
|
|
|
|
u x |
|
|
|
|
|
|
|
|
u x |
|
max |
|
|
u x |
|
|
|
|
u x |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
max |
|
|
|
max |
|
|
max |
|
|
, |
max |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
0,R \G |
|
|
|
|
x G SR 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x SR 0 |
|
|
|
|
||||
x U |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Осталось заметить, что |
max |
|
u x |
|
|
0 и повторить рассуждения для огра- |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x SR 0 |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ниченной области. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
■ |
||||||||
Теорема 21.3. Если внутренняя задача Неймана имеет решение, то |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 x dS 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
(175) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Доказательство. Применим формулу Грина (Г3) для оператора Лапласа |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
v u u v dx |
|
|
v u |
u |
v |
dS |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
n |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
для решения внутренней задачи Неймана u x |
и v x 1. Тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
udS u |
|
x dS . |
|
|
|
|
■ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Замечание 21.4. Если функция u x является решением внутренней задачи Неймана, то любая функция u x Const также является еѐ решением. Значит, если решение этой задачи существует, то оно заведомо не единственно.
Теорема 21.5. Если решение внешней задачи Неймана существует, то оно единственно.
Доказательство. Предположим, что u1 x и u2 x − решения этой задачи. Тогда функция w x u1 x u2 x является решением задачи
|
w 0, |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
0, |
|
|||||||||
|
n |
|
|
|
|||||||||
|
G |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
w x 0 при |
|
x |
|
|
. |
||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Воспользуемся формулой Грина (Г1): |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
n |
u |
v |
|
|
||||||||
v udx |
dx |
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
G |
G k 1 |
xk xk |
G |
||||||||||
в которой положим u v w . Тогда
0 grad w x 2dx .
(*)
u
v n ds ,
G
Отсюда w x const . Из последнего условия в (*) заключаем, что w x 0 . ■