§2. Нижние и верхние интегральные суммы

Пусть f ограничена на отрезке [a;b], a<b. Возьмём произвольное разбиение отрезка [a;b] на частичные отрезки [x_k-1;x_k], . Т.к.f ограничена на отрезке [a;b], то она ограничена на каждом частичном отрезке [x_k-1;x_k]. Следовательно, f имеет нижнюю и верхнюю грани на каждом отрезке: ,.

Составим суммы:

(1)

(2)

Суммы (1) и (2) называются соответственно нижней и верхней суммами Дарбу.

Суммы (1) и (2) зависят только от разбиения Т. Наряду с ними будем рассматривать интегральные суммы.

(3)

Для любого фиксированного разбиения Т отрезка [a;b] существует только одна нижняя сумма и только одна верхняя сумма и бесконечно много интегральных сумм. Т.к. разбиений бесконечно много, то нижних и верхних сумм также бесконечно много.

Основные свойства нижних и верхних сумм Дарбу

1. При любом фиксированном разбиении отрезка [a;b] и при любом выборе точек ξ_k[x_k-1;x_k] выполняется условие

. (4)

Доказательство.

На каждом [x_k-1;x_k], выполняется неравенствоm_k≤f(ξ_k)≤M_k, .

Умножая эти n неравенств на ∆x_k и суммируя их от 1 до n, получим (4).

Следствие. Для любого фиксированного разбиения справедливы соотношения.

Доказательство.

Докажем: . По определению нижней грани

1. для любого разбиения и для любого выбора точекξ_k (свойство 1);

2. т.к. , то по определениюε>0 ξ_k[x_k-1;x_k] такое, что .

Умножим обе части на ∆x_k, получим: .

Просуммируем по k от 1 до n: .

Т.о., .

Из 1) и 2) следует, что .

2. Если к точкам разбиения Т добавить новые точки (получим новое разбиение Т₁), то от этого нижняя сумма Дарбу может только возрасти, а верхняя - только уменьшиться, т.е. если ТТ₁,то

, (5) (6).

Доказательство.

Т₁ получится, если к точкам разбиения Т добавить новые точки. Но добавление любого конечного числа новых точек можно произвести последовательно, добавляя каждый раз по одной точке. Поэтому доказательство достаточно провести для случая добавления одной точки. Докажем неравенство (5). Неравенство (6) –аналогично.

Для Т и Т₁ составим нижние суммы Дарбу. Пусть точка x′[x_k-1;x_k] - новая точка. Обозначим , тогда

=m₁(x₁-x₀)+…+m_k(x_k-x_k-1)+…+m_n(x_n-x_n-1);

=m₁(x₁-x₀)+…+m_k(x′-x_k-1)+m_k(x_k-x′)+…+m_n(x_n-x_n-1).

Следовательно, =m_k(x_k -x_k-1)-m_k(x′-x_k-1)-m_k(x_k-x′).

Т.к. [x_k-1;x′][x_k-1;x_k], то m_k′≥m_k; т.к. [x′;x_k][x_k-1;x_k], то m_k′′≥m_k.

Значит, ≤m_k(x_k -x_k-1)-m_k(x′-x_k-1)-m_k(x_k -x′)=m_k(x_k -x_k-1-x′+x_k-1-x_k+x′)=0. Отсюда

3. Для любых разбиений Т₁, Т₂ выполнено или(любая нижняя сумма Дарбу не превосходит любой верхней суммы).

Доказательство.

Выберем произвольные разбиения Т₁, Т₂ отрезка [a;b]; Т₁Т₂=Т. Тогда . Следовательно, по свойству 2

,

.

По свойству 1 . Следовательно,. Отсюда.

4. ограничено сверху, ограничено снизу.

Доказательство.

Из свойства 3 следует, что множество нижних сумм Дарбу ограничено сверху, например, любой верхней суммой . Следовательно, это множество имеет верхнюю грань, обозначим её, т.е. существует. Ясно, что.

Множество верхних сумм Дарбуограничено снизу числом. Следовательно, существует нижняя грань этого множества, обозначим её:. Очевидно, чтоследовательно, получаем, что для любого разбиенияТ выполнено

. (7)

Теорема (критерий интегрируемости). Для того, чтобы ограниченная на [a;b] функция f была интегрируема на [a;b] необходимо и достаточно, чтобы . (8)

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть ограниченная функция f интегрируема на [a;b], т.е. существует . Докажем, что на [a;b] выполнено (8).

. По определению это означает, что ε>0 δ>0, такое, что для любого разбиения Т, удовлетворяющего условию λ<δ, и для любого выбора точек _k[x_k-1;x_k] выполнено,. Это неравенство равносильно

.

На основании следствия из свойства 1 . Следовательно,(9)

Отсюда,λ<δ. По определению предела это значит, что,

.

2) Достаточность.

Пусть f ограничена на [a;b] и выполняется (8). Докажем, что f интегрируема на [a;b]. Условие (8) по определению предела означает, что ε>0 δ>0: Т: λ<δ выполнено . (10)

Из (10) и (7) следует, что . Поэтому. Тогда из (7)

(11)

Далее для любого разбиения Т по свойству 1: . (12)

Из (11), (12), (10) следует Т: λ<δ. Следовательно, существует и, значит,f интегрируема на [a;b].

Замечание. Из (9) следует, что . Следовательно,для любого разбиенияТ, такого, что λ<δ. Значит, . Аналогично: Т: λ<δ. Следовательно, . Таким образом, еслиf интегрируема на [a;b], то

.