3. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших
Пусть
- правильная рациональная дробь,Q(x)
– многочлен степени n
с коэффициентом перед старшей неизвестной
равным единице (для простоты):
Q(x)=xn+b1xn-1+…+bn.
Q(x)
имеет n
действительных и комплексных корней.
Так как у Q(x)
коэффициенты – действительные числа,
то комплексные корни попарно сопряжены.
Если a1, a2, … an – действительные корни Q(x), то Q(x)=(x–a1)(x–a2)… (x-an).
Может быть, что a1=a2=…=ak=a, тогда Q(x)=(x-a)k(x-ak+1)… (x-an), т.е. если а – корень крайности к, то в разложении присутствует множитель (x-a)k.
Если l+ki и l–ki – сопряжённые комплексные корни, то
(x-(l+ki))(x-(l-ki))=((x-l)+ki)((x-l)-ki)=(x-l)2-(ki)2=x2-2lx+l2+k2=x2+px+q,
.
Следовательно, сопряжённым комплексным
корням соответствует в разложении Q(x)
квадратный трёхчлен с действительными
коэффициентами.
Если l+ki и l–ki – корни кратности m, то в разложении Q(x) будет присутствовать множитель (x2+px+q)m.
Теорема 1. Если Q(x) – многочлен степени n с действительными коэффициентами, то его можно единственным образом разложить на линейные и квадратичные множители с действительными коэффициентами.
Если a1,
a2,
…, an
– действительные корни кратности m1,
m2,
…, mr
соответственно,
– комплексные корни кратностиμ1,
μ2,
…, μs
соответственно, то разложение Q(x)
на неприводимые множители имеет вид:
(1),
где
.
Теорема 2. Если
- правильная рациональная дробь, а
разложениеQ(x)
на неприводимые множители имеет вид
(1), то
справедливо разложение:
.
(2)
Теорема 2 утверждает, что любую рациональную дробь можно представить в виде суммы конечного числа простейших дробей.
Вычисление коэффициентов разложения
I. Метод неопределённых коэффициентов
По виду многочленов
знаменателя правильной рациональной
дроби
пишут для этой дроби разложение (2) с
буквенными коэффициентами. Затем в
правой части разложения дроби приводят
к общему знаменателю. В результате
получают две тождественно равные дроби
с одинаковыми знаменателями. Приравнивают
числители:
P(x)=c1xn-1+c2xn-2+…+cn-1х+cn. (3)
Приравнивая коэффициенты при равных степенях x, получают систему из n линейных уравнений с n неизвестными c1, c2,…, cn. Решая её, находят c1, c2,…, cn и подставляют в разложение (2). В силу теоремы 2 это разложение единственно.
Пример.
.
;
.
Тогда
II.
Метод
произвольных значений
В тождестве (3) переменной х придают n произвольных значений и получают n уравнений с n неизвестными c1, …, cn. В качестве значений х удобно брать значения, равные действительным корням.
Пример.
.
Тогда
.
4. Интегрирование рациональной функции
Теорема 3. Всякая рациональная функция интегрируема в элементарных функциях.
Если рациональная дробь неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. Затем правильную рациональную дробь разлагают на сумму конечного числа простейших дробей. Интегралы от многочлена и простейших дробей вычисляются и представляют собой функции, выражаемые через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы. Следовательно, интеграл от любой рациональной функции вычисляется.
Пример.
