§6. Интегрирование иррациональных функций

Через R(x;y) будем обозначать рациональную функцию от двух аргументов x и y, т.е. функцию, которая получена из x и y и некоторых постоянных с помощью конечного числа рациональных операций: умножения, сложения, вычитания, деления.

Например, - рациональная функция отx и y;

- не является рациональной функцией, т.к. содержит .

Справедливо утверждение: если R(x;y) – рациональная функция от x и y, а R₁(t), R₂(t), R₃(t)- рациональные функции от переменной t, то R(R₁(t),R₂(t))∙R₃(t)- рациональная функция от t.

I. Интегралы вида (1)

R- рациональная функция от x и , и

Введём подстановку – линейное уравнение относительноx. Следовательно, - рациональная функция отt, обозначим её R₁(t), тогда dx=(R₁(t))dt=R₂(t)dt и, следовательно, x и dx рационально выражаются через t. Получим

.

Значит, .

Частный случай интеграла (1): c=0, d=1. Получим , следовательно,.

К интегралу (1) приводят интегралы более общего вида:

. (2)

(2) приводится к (1) с помощью подстановки , гдеn - наименьшее общее кратное показателей m₁,…, m_k .

Пример 1.

.

II. Интегралы вида (3)

вычисляются в общем случае с помощью подстановок Эйлера.

Частные случаи (некоторые иррациональности)

1. . С помощью выделения полного квадрата в подкоренном выражении сводится к табличным интегралам.

2. . В числителе выделяем производную подкоренного выражения. Поделив почленно, получим табличный интеграл и интеграл предыдущего типа.

Пример 2.

.

3. - подстановка .

4. .

Применяется тригонометрическая подстановка mx=ntgt или mx=nctgt.

Частный случай

5. 

Применяется тригонометрическая подстановка ()

Частный случай

6. 

Применяется тригонометрическая подстановка mx=nsint (mx=ncost)

Частный случай

§7. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические

и показательную функции

I.

Подстановка t= (-π<x<π) приводит такой интеграл к интегралу от рациональной функции. Выразим sinx, cosx, x и dx через t:

;

;

.

sinx, cosx, dx рационально выражаются через t. Следовательно,

.

Данная подстановка называется универсальной тригонометрической подстановкой. Она часто приводит к громоздким вычислениям. Поэтому на практике её стараются избежать. Рассмотрим частные случаи, когда можно обойтись без универсальной тригонометрической подстановки.

II.Частные случаи

а) R(-sinx, cosx)=-R(sinx, cosx).

Если подынтегральная функция меняет знак при замене sinx на –sinx, то применяется подстановка cosx=t.

б) R(sinx, -cosx)=-R(sinx, cosx).

Если подынтегральная функция меняет знак при замене cosx на –cosx, то применяется подстановка sinx=t.

в) R(-sinx, -cosx)=R(sinx, cosx).

Если подынтегральная функция не меняется при изменении знаков у cosx и sinx, то применяется подстановка tgx=t (ctgx=t).

III.

1. Если n-нечётно, то применяется подстановка sinx=t.

Пусть n=2k+1, тогда

.

2. Если m=2k+1-нечётное, то применяется подстановка cosx=t.

Пример.

3. m+n=0

a) m>0

. Подстановка t=tgx.

б) n>0

. Подстановка t=ctgx.

4. m+n=-2k, k

a) m>0

.

Подстановка t=tgx.

б) n>0

.

Подстановка t=ctgx.

5. m, n-чётные неотрицательные числа. Применяются формулы понижения степени:

.

6. m, n-чётные, хотя бы одно из них неотрицательно. Применяется подстановка t=tgx или t=ctgx

IV. . Подстановкаt=tgх.

. Подстановка t=ctgx.

V. a)

б)

в)

Применим формулы: а)

б)

в)

VI. . Подстановкаt=e^x. Отсюда x=lnt. Следовательно, . Тогда, -интеграл от рациональной функции отt.