Госы 5к Надя / лекции_3 / kr-int
.pdf
ρ(xk ,yk ,zk ) Sk , „‰Â Sk – ÔÎÓ˘‡‰¸ k -И fl˜ВИНЛ; ЪУ„‰‡ П‡ТТ‡ ‚ТВИ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S :
n |
n |
M = ∑ mk ≈ ∑ρ(xk ,yk ,zk ) Sk . |
|
k=1 |
k=1 |
лФр‡‚‡ Б‰ВТ¸ ТЪУЛЪ ЛМЪВ„р‡О¸М‡fl ТЫПП‡ ‰Оfl МВФрВр˚‚МУИ ЩЫМНˆЛЛ. аБПВО¸˜‡fl ‰рУ·ОВМЛВ Л ЫТЪрВПОflfl р‡М„ ‰рУ·ОВМЛfl Н МЫО˛, ‚ ФрВ‰ВОВ ФУОЫ˜ЛП Ъ‡НЫ˛ ЩУрПЫОЫ ‰Оfl ‚˚˜ЛТОВМЛfl П‡ТТ˚ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S :
M = ∫∫ρ(x,y,z) p2 (x,y) +q2 (x,y) +1 dxdy .
D
З ˜‡ТЪМУТЪЛ, ВТОЛ ФУ‚ВрıМУТЪ¸ S ОВКЛЪ ‚ ФОУТНУТЪЛ xOy , Ú.Â. ÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ Ò Ó·Î‡ÒÚ¸˛ D , ÚÓ MD = ∫∫ρ(x,y)dxdy .
D
5. З˚˜ЛТОВМЛВ П‡ТТ˚ ЪВО‡.
ÖÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠Ú· T , У„р‡МЛ˜ВММУ„У ФрУТЪУИ ФУ‚ВрıМУТЪ¸˛, Б‡‰‡М‡ ФОУЪМУТЪ¸ ρ = ρ(x,y,z), „‰Â ρ – МВФрВр˚‚М‡fl ЩЫМНˆЛfl ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ ЪВО‡ T , ÚÓ, Ôðӂ‰fl ‡Ì‡Îӄ˘Ì˚ ð‡ÒÒÛʉÂ-
ÌËfl, ÔÓÎÛ˜ËÏ, ˜ÚÓ Ï‡ÒÒ‡ Ú· ð‡‚̇
MD = ∫∫∫ρ(x,y,z)dxdydz .
D
6. еУПВМЪ˚ ФОУТНУИ ЩЛ„Ыр˚.
аБ НЫрТУ‚ ЪВУрВЪЛ˜ВТНУИ ПВı‡МЛНЛ ЛБ‚ВТЪМУ, ˜ЪУ ТЪ‡ЪЛ˜ВТНЛП ПУПВМЪУП Sl χÚÂðˇθÌÓÈ ÚÓ˜ÍË Ï‡ÒÒ˚ m УЪМУТЛЪВО¸МУ УТЛ l М‡- Б˚‚‡ВЪТfl ФрУЛБ‚В‰ВМЛВ П‡ТТ˚ ˝ЪУИ ЪУ˜НЛ М‡ р‡ТТЪУflМЛВ ‰У УТЛ l , Ú.Â.
Sl =mrl .
еУПВМЪУП ЛМВрˆЛЛ Il П‡ЪВрЛ‡О¸МУИ ЪУ˜НЛ УЪМУТЛЪВО¸МУ УТЛ l М‡Б˚‚‡ВЪТfl ФрУЛБ‚В‰ВМЛВ П‡ТТ˚ m ˝ÚÓÈ ÚÓ˜ÍË Ì‡ Í‚‡‰ð‡Ú  ð‡Ò- ÒÚÓflÌËfl ‰Ó ÓÒË l , Ú.Â.
Il =mrl 2 .
31
лЪ‡ЪЛ˜ВТНЛП ПУПВМЪУП ТЛТЪВП˚ П‡ЪВрЛ‡О¸М˚ı ЪУ˜ВН УЪМУТЛЪВО¸МУ УТЛ l М‡Б˚‚‡ВЪТfl ТЫПП‡ ТЪ‡ЪЛ˜ВТНЛı ПУПВМЪУ‚ УЪМУТЛЪВО¸МУ ˝ЪУИ УТЛ ‚ТВı П‡ЪВрЛ‡О¸М˚ı ЪУ˜ВН, ‚ıУ‰fl˘Лı ‚ ТЛТЪВПЫ.
иЫТЪ¸ ‚ ФОУТНУИ У·О‡ТЪЛ D р‡ТФрВ‰ВОВМ‡ П‡ТТ‡ Т ФОУЪМУТЪ¸˛
ρ(x,y) . ê‡ÁÓ·¸ÂÏ Ó·Î‡ÒÚ¸ D ̇ n ˜‡ÒÚÂÈ, „‰Â |
Sk – ÔÎÓ˘‡‰¸ k -È |
fl˜ÂÈÍË (k =1, 2,...,n ). Ç fl˜ÂÈÍ Dk ‚ÓÁ¸ÏÂÏ |
ФрУЛБ‚УО¸МЫ˛ ЪУ˜НЫ |
(xk ,yk ) , ЪУ„‰‡ ‚ ТЛОЫ Т‰ВО‡ММУ„У ‚˚¯В УФрВ‰ВОВМЛfl ПУКВП Т˜ЛЪ‡Ъ¸, ˜ЪУ
n |
n |
Sx ≈ ∑ρ(xk ,yk ) yk |
Sk ; Sy ≈ ∑ρ(xk ,yk ) xk Sk . |
k=1 |
k=1 |
аБПВО¸˜‡fl ‰рУ·ОВМЛВ, ‚ ФрВ‰ВОВ ФУОЫ˜ЛП ЪУ˜М˚В БМ‡˜ВМЛfl ‰Оfl ТЪ‡ЪЛ˜ВТНЛı ПУПВМЪУ‚ У·О‡ТЪЛ D УЪМУТЛЪВО¸МУ УТВИ Ox Ë Oy:
Sx = ∫∫ρ(x,y)y dxdy ; Sy = ∫∫ρ(x,y)x dxdy.
D D
ирУ‚У‰fl ‡М‡ОУ„Л˜М˚В р‡ТТЫК‰ВМЛfl ‰Оfl ПУПВМЪУ‚ ЛМВрˆЛЛ У·-
О‡ТЪЛ УЪМУТЛЪВО¸МУ НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚ı УТВИ, ФУОЫ˜ЛП:
Ix = ∫∫ρ(x,y)y2dxdy ; Iy = ∫∫ρ(x,y)x2dxdy .
D D
7. äÓÓð‰Ë̇Ú˚ ˆÂÌÚð‡ χÒÒ.
èÛÒÚ¸ D – ФОУТН‡fl У·О‡ТЪ¸, ‚ НУЪУрУИ р‡ТФрВ‰ВОВМ‡ П‡ТТ‡ Т ФОУЪМУТЪ¸˛ ρ(x,y) . иУ УФрВ‰ВОВМЛ˛ ˆВМЪрУП П‡ТТ ФОУТНУИ У·О‡ТЪЛ
̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÚӘ͇ C Ò ÍÓÓð‰Ë̇ڇÏË:
xC = MSy , yC = MSx ,
„‰Â M – П‡ТТ‡ ФОУТНУИ У·О‡ТЪЛ D , ‡ Sx Ë Sy – ТЪ‡ЪЛ˜ВТНЛВ ПУ-
ÏÂÌÚ˚.
ирЛМЛП‡fl ‚У ‚МЛП‡МЛВ ‚˚р‡КВМЛfl ‰Оfl П‡ТТ˚ Л ТЪ‡ЪЛ˜ВТНЛı ПУПВМЪУ‚ ˜ВрВБ ‰‚УИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚, ФУОЫ˜ЛП:
x |
= |
∫∫ρ(x,y)x dxdy |
, y |
= |
∫∫ρ(x,y)y dxdy |
. |
|
D |
D |
||||||
∫∫ρ(x,y)dxdy |
∫∫ρ(x,y)dxdy |
||||||
C |
|
C |
|
|
|||
|
|
D |
|
|
D |
|
32
к‡ТТПУЪрЛП ЪВФВр¸ МВНУЪУрУВ ЪВОУ T , У„р‡МЛ˜ВММУВ ФрУТЪУИ ФУ- ‚ВрıМУТЪ¸˛, Л ФЫТЪ¸ ‚ МВП р‡ТФрВ‰ВОВМ‡ П‡ТТ‡, ФОУЪМУТЪ¸ НУЪУрУИ ρ(x,y,z), ÚÓ„‰‡ ‰Îfl ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú ˆÂÌÚð‡ χÒÒ ˝ÚÓ„Ó Ú· ÔÓÎÛ˜ËÏ ÒÓ- ‚Âð¯ÂÌÌÓ ‡Ì‡Îӄ˘Ì˚ ‚˚ð‡ÊÂÌËfl:
x = |
∫∫∫ρ(x,y)x dv |
, y = |
∫∫∫ρ(x,y)y dv |
, z = |
∫∫∫ρ(x,y)z dv |
. |
|
T |
T |
T |
|||||
∫∫∫ρ(x,y)dv |
∫∫∫ρ(x,y)dv |
∫∫∫ρ(x,y)dv |
|||||
C |
C |
C |
|
||||
|
T |
|
T |
|
T |
|
§4. дрЛ‚УОЛМВИМ˚В НУУр‰ЛМ‡Ъ˚ Л Б‡ПВМ‡ ФВрВПВММ˚ı ‚ Нр‡ЪМ˚ı ЛМЪВ„р‡О‡ı
1. дрЛ‚УОЛМВИМ˚В НУУр‰ЛМ‡Ъ˚.
йЪМУТЛЪВО¸МУ ФрУТЪр‡МТЪ‚ВММУИ ‰ВН‡рЪУ‚УИ ТЛТЪВП˚ НУУр‰ЛМ‡Ъ Oxyz ФУОУКВМЛВ ЪУ˜НЛ M ÓÔð‰ÂÎflÂÚÒfl  ÚðÂÏfl ‰Â͇ðÚÓ‚˚ÏË ÍÓÓð‰Ë̇ڇÏË x , y Ë z . ÖÒÎË z > 0, ЪУ ФУОУКВМЛВ ЪУ˜НЛ M ПУКМУ УФрВ‰ВОЛЪ¸, Б‡‰‡‚ ЪрЛ Ф‡р‡ПВЪр‡: ρ – ð‡ÒÒÚÓflÌË ÚÓ˜ÍË M ÓÚ ÓÒË Oz ; r – ð‡ÒÒÚÓflÌË ÚÓ˜ÍË M ÓÚ Ì‡˜‡Î‡ ÍÓÓð‰Ë̇Ú; ϕ – ‰‚Ыı- „р‡ММ˚И Ы„УО ПВК‰Ы ФОУТНУТЪ¸˛ xOz Л ФОУТНУТЪ¸˛, ФрУıУ‰fl˘ВИ ˜ВрВБ УТ¸ Oz Ë ÚÓ˜ÍÛ M (ðËÒ. 1.4.1).
z
|
ρ |
|
M |
|
r |
0 |
y |
ϕ
x
êËÒ. 1.4.1
33
é˜Â‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ Ô‡ð‡ÏÂÚð˚ ρ , r Ë ϕ ПУКМУ ‚˚р‡БЛЪ¸ ˜ВрВБ ‰В-
͇ðÚÓ‚˚ ÍÓÓð‰Ë̇Ú˚ x , y |
Ë z . è‡ð‡ÏÂÚð˚ ρ , r Ë ϕ |
П˚ ПУКВП |
|
Ú‡ÍÊ ̇Á‚‡Ú¸ ÍÓÓð‰Ë̇ڇÏË ÚÓ˜ÍË M , Ôð˘ÂÏ |
|
||
0 ≤ ρ < +∞, |
0 ≤r < +∞, |
0 ≤ϕ < 2π . |
|
à ‚ÓÓ·˘Â, Á‡ ÍÓÓð‰Ë̇Ú˚ ÚÓ˜ÍË M П˚ ПУКВП ФрЛМflЪ¸ О˛·˚В ЪрЛ |
|||
ÙÛÌ͈ËË: |
|
|
|
ξ =ξ(x,y,z) , |
η =η(x,y,z), |
ζ =ζ (x,y,z) , |
(1) |
ОЛ¯¸ ·˚ ЪУО¸НУ ТУУЪМУ¯ВМЛflПЛ (1) НУУр‰ЛМ‡Ъ˚ x , y |
Ë z ÓÔð‰Â- |
||
ÎflÎËÒ¸ Ó‰ÌÓÁ̇˜ÌÓ: |
|
|
|
x =x(ξ,η,ζ ) , y =y(ξ,η,ζ ) , z =z(ξ,η,ζ ) , |
(2) |
|
Ъ.В. МЛ У‰МУ ЛБ ТУУЪМУ¯ВМЛИ (1) ЛОЛ (2) МВ ‰УОКМУ ФрУЪЛ‚УрВ˜ЛЪ¸ ‰рЫ„ЛП ЛОЛ ·˚Ъ¸ ТОВ‰ТЪ‚ЛВП ‰рЫ„Лı. б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ ЛБ ТУУЪМУ¯ВМЛИ
(2) ‚ ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â Ô‡ð‡ÏÂÚð˚ ξ , η Ë ζ Ъ‡НКВ ·Ы‰ЫЪ УФрВ‰ВОflЪ¸Тfl У‰МУБМ‡˜МУ. еУКМУ ‰УН‡Б‡Ъ¸, ˜ЪУ ˝ЪЛ ЫТОУ‚Лfl ‚˚ФУОМfl˛ЪТfl, ВТОЛ
ÓÔð‰ÂÎËÚ¸ J(ξ,η,ζ ) , ̇Á˚‚‡ÂÏ˚È |
УФрВ‰ВОЛЪВОВП ьНУ·Л ËÎË |
|||||||
flÍӷˇÌÓÏ ÔðÂÓ·ð‡ÁÓ‚‡ÌËfl, ÓÚ΢ÂÌ ÓÚ ÌÛÎfl, Ú.Â. |
||||||||
|
x |
′ |
x ′ |
x |
ζ |
′ |
|
|
|
|
|||||||
|
ξ |
|
η |
|
|
|
|
|
J(ξ,η,ζ ) = |
y |
′ |
y ′ |
y |
′ |
|
≠ 0 . |
|
|
ξ |
|
η |
|
ζ |
|
|
|
|
z |
′ |
z ′ |
z |
ζ |
′ |
|
|
|
ξ |
|
η |
|
|
|
|
|
2. дУУр‰ЛМ‡ЪМ˚В ФУ‚ВрıМУТЪЛ.
б‡ЩЛНТЛрЫВП Н‡НЫ˛-МЛ·Ы‰¸ НУУр‰ЛМ‡ЪЫ, УФрВ‰ВОВММЫ˛ ТУУЪМУ- ¯ВМЛflПЛ (1), М‡ФрЛПВр ξ , ФУОУКЛ‚ ξ =c1 , ÚÓ„‰‡ ÔÓÎÛ˜ËÏ
ξ(x,y,z) =c1 (ðËÒ. 1.4.2).
ë„ВУПВЪрЛ˜ВТНУИ ЪУ˜НЛ БрВМЛfl ˝ЪУПЫ Ыр‡‚МВМЛ˛ ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ МВНУЪУр‡fl ФУ‚ВрıМУТЪ¸ ξ . ДМ‡ОУ„Л˜МУ ПУКМУ УФрВ-
‰ВОЛЪ¸ НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚В ФУ‚ВрıМУТЪЛ η Ë ζ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ:
η(x,y,z) =c2 Ë ζ (x,y,z) =c3 .
34
ξ |
z |
|
к.л.ζ |
|
|
ζ |
|
η =c2 |
|
|
|
|
ξ0 |
|
|
к.л.ξ |
r |
|
ζ0 |
η0 |
ξ =c1 |
||
ζ =c3 |
|
y |
|
|
|
0 к.л.η
η
x
êËÒ. 1.4.2
дУУр‰ЛМ‡ЪМ˚В ФУ‚ВрıМУТЪЛ ξ =c1 , η =c2 Ë ζ =c3 ФрЛ ТУ·О˛‰В- МЛЛ ЫТОУ‚Лfl (2) ФВрВТВН‡˛ЪТfl ‚ МВНУЪУрУИ ЪУ˜НВ M . í‡ÍËÏ Ó·ð‡- ÁÓÏ, ÚӘ͇ M УФрВ‰ВОflВЪТfl Н‡Н ЪУ˜Н‡ ФВрВТВ˜ВМЛfl НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚ı ФУ‚ВрıМУТЪВИ (рЛТ. 1.4.2).
3.дУУр‰ЛМ‡ЪМ˚В ОЛМЛЛ.
к‡ТТПУЪрЛП ФВрВТВ˜ВМЛfl ‰‚Ыı НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚ı ФУ‚ВрıМУТЪВИ:
ξ(x,y,z) =c1 . η(x,y,z) =c2
й˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ НрЛ‚‡fl, ФУ НУЪУрУИ ФВрВТВН‡˛ЪТfl ˝ЪЛ ФУ‚ВрıМУТЪЛ, У·О‡‰‡ВЪ Ъ‡НЛП Т‚УИТЪ‚УП, ˜ЪУ ‚‰УО¸ ˝ЪУИ НрЛ‚УИ НУУр‰ЛМ‡Ъ˚ ξ Ë η ФУТЪУflММ˚, ‡ ПВМflВЪТfl У‰М‡ ЪУО¸НУ НУУр‰ЛМ‡Ъ‡ ζ , ФУ˝ЪУПЫ ˝Ъ‡Н НрЛ‚‡fl М‡Б˚‚‡ВЪТfl НУУр‰ЛМ‡ЪМУИ ОЛМЛВИ ζ . Ä̇Îӄ˘ÌÓ ÔÂ-
рВТВ˜ВМЛВ ФУ‚ВрıМУТЪВИ |
|
|
|
|
|
ξ(x,y,z) =c |
|
|
η(x,y,z) =c |
|
|
1 |
|
Ë |
|
2 |
|
ζ (x,y,z) =c3 |
|
ζ (x,y,z) =c3 |
|||
‰‡ВЪ М‡П ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚В ОЛМЛЛ η Ë ξ .
й˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ ‚ У·˘ВП ТОЫ˜‡В НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚В ОЛМЛЛ ФрВ‰ТЪ‡‚Оfl- ˛Ъ ТУ·УИ МВНУЪУр˚В НрЛ‚˚В, ФУ˝ЪУПЫ НУУр‰ЛМ‡Ъ˚ ξ , η Ë ζ М‡Б˚- ‚‡˛ЪТfl НрЛ‚УОЛМВИМ˚ПЛ НУУр‰ЛМ‡Ъ‡ПЛ. ирУ‚В‰ВП Н НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚П ОЛМЛflП, ФВрВТВН‡˛˘ЛПТfl ‚ ЪУ˜НВ M , Н‡Т‡ЪВО¸М˚В, М‡Фр‡‚ОВМЛfl НУЪУр˚ı ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛Ъ М‡Фр‡‚ОВМЛflП ‚УБр‡ТЪ‡МЛfl НУУр‰ЛМ‡Ъ. йр- Ъ˚ ˝ЪЛı УТВИ М‡Б˚‚‡˛ЪТfl УрЪ‡ПЛ НрЛ‚УОЛМВИМ˚ı НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚ı УТВИ Л У·УБМ‡˜‡˛ЪТfl ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ ξ0 , η0 Ë ζ0 . лЛТЪВПЫ НрЛ‚УОЛ-
35
ÌÂÈÌ˚ı ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú Ì‡Á˚‚‡˛Ú ÓðÚÓ„Ó̇θÌÓÈ, ÂÒÎË ÓðÚÓ„Ó̇θÌ˚ ÓðÚ˚ ξ0 , η0 Ë ζ0 , Ú.Â. ‚˚ÔÓÎÌfl˛ÚÒfl ÛÒÎÓ‚Ëfl
ξ0 η0 = η0 ζ0 = ζ0 ξ0 = 0 .
б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ ‚ ‰ВН‡рЪУ‚УИ ТЛТЪВПВ НУУр‰ЛМ‡Ъ Oxyz НУУр‰ЛМ‡Ъ- М˚ПЛ ФУ‚ВрıМУТЪflПЛ ·Ы‰ЫЪ fl‚ОflЪ¸Тfl ФОУТНУТЪЛ, Ф‡р‡ООВО¸М˚В НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚П ФОУТНУТЪflП xOy , xOz Ë yOz , ‡ ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ÏË ÎËÌËflÏË – ÔðflÏ˚Â, Ô‡ð‡ÎÎÂθÌ˚ ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚Ï ÓÒflÏ Ox , Oy Ë
Oz .
4. äÓ˝ÙÙˈËÂÌÚ˚ ã‡ÏÂ.
к‡ТТПУЪрЛП ‚ВНЪУр r – р‡‰ЛЫТ-‚ВНЪУр ЪУ˜НЛ M ФУ‚ВрıМУТЪВИ (рЛТ. 1.4.2). й˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ ФрУЛБ‚У‰М‡fl ∂∂ξr ОВКЛЪ М‡ Н‡Т‡ЪВО¸МУИ
Н „У‰У„р‡ЩЫ ‚ВНЪУр‡ r , ФУТЪрУВММУПЫ ‚ ФрВ‰ФУОУКВМЛЛ, ˜ЪУ ПВМflВЪТfl ЪУО¸НУ НУУр‰ЛМ‡Ъ‡ ξ , ‡ ÍÓÓð‰Ë̇Ú˚ η Ë ζ УТЪ‡˛ЪТfl МВЛБПВМ- М˚ПЛ; Л М‡Фр‡‚ОВМ‡ ‚ ТЪУрУМЫ ‚УБр‡ТЪ‡МЛfl НУУр‰ЛМ‡Ъ˚ ξ . é˜Â‚ˉ-
|
0 |
∂r |
|
∂r |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
∂r |
|
|
|
∂r |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
∂r |
|
∂r |
|
||||||||||
ÌÓ, ˜ÚÓ ξ |
|
= ∂ξ |
|
/ |
∂ξ |
. Ä̇Îӄ˘ÌÓ η |
= |
|
/ |
|
|
|
|
|
, ζ |
|
= |
|
/ |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||
|
|
∂η |
|
∂η |
|
|
|
∂ζ |
∂ζ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
Ç˚ð‡ÊÂÌËfl H |
ξ |
= |
|
∂r |
|
, |
H |
η |
= |
|
|
∂r |
|
|
|
Ë |
H |
ζ |
= |
|
|
∂r |
|
|
|
|
̇Á˚‚‡˛ÚÒfl ÍÓ˝Ù- |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂ξ |
|
|
∂η |
|
|
∂ζ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ÙˈËÂÌÚ‡ÏË |
ã‡ÏÂ. |
í‡Í |
Í‡Í |
|
|
р‡‰ЛЫТ-‚ВНЪУр |
|
ÚÓ˜ÍË |
|
M ð‡‚ÂÌ |
|||||||||||||||||||||||||||||||
r =xi+y j+zk , ЪУ, ‚˚ФУОМflfl ‰ЛЩЩВрВМˆЛрУ‚‡МЛВ, ФУОЫ˜ЛП
∂r
∂ξ
∂r
∂η
∂r
∂ζ
=∂∂xξ i+ ∂∂yξ
=∂∂ηx i+ ∂∂ηy
=∂∂ζx i+ ∂∂ζy
j+ |
∂z |
k |
|
|
||||
∂ξ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j+ |
|
|
|
|
k . |
(3) |
||
|
∂η |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
j+ |
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
∂ζ |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ирЛМЛП‡fl ‚У ‚МЛП‡МЛВ ˝ЪЛ ТУУЪМУ¯ВМЛfl, МВЪрЫ‰МУ ФУОЫ˜ЛЪ¸ Ъ‡НЛВ ‚˚р‡КВМЛfl ‰Оfl НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ г‡ПВ:
H |
ξ |
= |
x |
′ 2 |
+y |
′ 2 |
+z |
′ 2 |
|
|
||
|
|
ξ |
|
ξ |
|
|
ξ |
|
|
|
|
|
H |
η |
= |
x |
′ 2 |
+y |
′ 2 |
+z |
′ 2 |
. |
(4) |
||
|
|
η |
η |
|
η |
|
|
|||||
|
|
|
|
′ 2 |
|
|
′ 2 |
|
|
′ 2 |
|
|
Hζ = |
|
+yζ |
+zζ |
|
|
|||||||
xζ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36
ирЛПВП ‚У ‚МЛП‡МЛВ ТУУЪМУ¯ВМЛfl (3) Л (4), ЪУ„‰‡ ‚˚р‡КВМЛfl ‰Оfl УрЪУ‚ НрЛ‚УОЛМВИМ˚ı НУУр‰ЛМ‡Ъ Б‡ФЛ¯ЫЪТfl Ъ‡Н:
ξ0 = (xξ′i+yξ′ j+zξ′k )/ xξ′ 2 +yξ′ 2 +zξ′ 2 ; η0 = (xη′i+yη′ j+zη′k )/ xη′ 2 +yη′ 2 +zη′ 2 ; ζ0 = (xζ ′i+yζ ′ j+zζ ′k )/ xζ ′ 2 +yζ ′ 2 +zζ ′ 2 .
5. лЩВрЛ˜ВТНЛВ НУУр‰ЛМ‡Ъ˚.
лЩВрЛ˜ВТНЛПЛ НУУр‰ЛМ‡Ъ‡ПЛ M ÚÓ˜ÍË Ì‡Á˚‚‡˛ÚÒfl Ô‡ð‡ÏÂÚð˚ ρ , θ Ë ψ (ðËÒ. 1.4.3), „‰Â
ρ – ð‡ÒÒÚÓflÌË ÓÚ ÚÓ˜ÍË M ‰Ó ̇˜‡Î‡ ÍÓÓð‰ËÌ‡Ú (0 ≤ ρ < +∞ ); ur
θ – Û„ÓÎ, ÓÚÒ˜ËÚ˚‚‡ÂÏ˚È ÓÚ ÓÒË Oz ‰У ‚ВНЪУр‡ ρ (0 ≤θ <π );
ψ – Ы„УО, ПВК‰Ы ФОУТНУТЪ¸˛ xOz Л ФОУТНУТЪ¸˛, ФрУıУ‰fl˘ВИ ˜ВрВБ ЪУ˜НЫ M Ë ÓÒ¸ Oz (0 ≤ψ < 2π ).
z
|
|
z |
|
|
|
|
|
M(x,y,z |
|
|
|
|
θ |
|
|
|
0 |
ρr |
y |
|
|
y |
||
|
x |
ψ |
|
|
x |
|
M′ |
|
|
|
|
|
êËÒ. 1.4.3 |
|
й˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ ‚ ТЩВрЛ˜ВТНЛı НУУр‰ЛМ‡Ъ‡ı ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ÏË ÔÓ- ‚ÂðıÌÓÒÚflÏË fl‚Оfl˛ЪТfl Ъ‡НЛВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ:
ρ =c1 |
– |
ÒÙÂð‡ ð‡‰ËÛÒ‡ c1 ˆВМЪрУП ‚ М‡˜‡ОВ НУУр‰ЛМ‡Ъ (рЛТ. |
1.4.4 ‡); |
|
|
θ =c2 |
– НУМЫТ Т ‚Вр¯ЛМУИ ‚ М‡˜‡ОВ НУУр‰ЛМ‡Ъ, У·р‡БЫ˛˘ЛВ НУ- |
|
ÚÓðÓ„Ó ÒÓÒÚ‡‚Îfl˛Ú Û„ÓÎ θ =c2 Ò ÓÒ¸˛ Oz (ðËÒ. 1.4.4 ·); |
||
ψ =c3 |
– |
ФОУТНУТЪ¸, ФрУıУ‰fl˘‡fl ˜ВрВБ УТ¸ Oz Ë Ó·ð‡ÁÛ˛˘‡fl |
Û„ÓÎ ψ =c3 |
Т НУУр‰ЛМ‡ЪМУИ ФОУТНУТЪ¸˛ Oz (ðËÒ. 1.4.4 ‚). |
|
37
z |
z |
|
z |
|
ρ =c |
θ |
ψ =c3 |
|
|
||
|
1 |
|
θ =c2 |
|
|
|
|
y |
y |
|
0 |
y |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
ψ |
|
|
x |
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
‡) |
·) |
|
|
‚) |
êËÒ. 1.4.4
ëÙÂð‡ ρ =c1 Л НУМЫТ θ =c2 ФВрВТВН‡˛ЪТfl ФУ УНрЫКМУТЪЛ, НУЪУ- р‡fl ФрВ‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·УИ ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌÛ˛ ÎËÌ˲ ψ . ëÙÂð‡ ρ =c1 Л ФОУТНУТЪ¸ ψ =c3 ФВрВТВН‡˛ЪТfl ФУ УНрЫКМУТЪЛ (ÍÓÓð‰Ë̇Ú̇fl ÎËÌËfl θ ). дУМЫТ θ =c2 Л ФОУТНУТЪ¸ ψ =c3 ФВрВТВН‡˛ЪТfl ФУ ФрflПУИ (ÍÓÓð‰Ë̇Ú̇fl ÎËÌËfl ρ ). йрЪ˚ НрЛ‚УОЛМВИМУИ ТЩВрЛ˜ВТНУИ ТЛТЪВП˚ НУУр‰ЛМ‡Ъ ЛБУ·р‡КВМ˚ М‡ рЛТ. 1.4.5.
к.л.ψ |
z |
θ |
к.л.ρ |
|
|||
|
|
ur |
|
|
|
|
ρ0 |
|
|
|
ur |
|
|
M |
ψ 0 |
|
|
ur0 |
к.л.θ |
|
|
θ |
y |
|
0 |
|
|
|
|
|
ψ
x
êËÒ. 1.4.5
зВФУТрВ‰ТЪ‚ВММУ ЛБ рЛТ. 1.4.3 ПУКМУ ЫТЪ‡МУ‚ЛЪ¸ Т‚flБ¸ ПВК‰Ы ‰ВН‡рЪУ‚˚ПЛ Л ТЩВрЛ˜ВТНЛПЛ НУУр‰ЛМ‡Ъ‡ПЛ:
x = ρsinθ cosψ
y = ρsinθ sinψ .
z = ρcosθ
З˚˜ЛТОЛП ЪВФВр¸ flНУ·Л‡М ФрВУ·р‡БУ‚‡МЛfl ‰Оfl ТЩВрЛ˜ВТНЛı НУУр‰ЛМ‡Ъ:
38
|
x |
ρ |
′ |
x |
′ |
|
x ′ |
|
|
sinθ cosψ |
ρcosθ cosψ |
−ρsinθ sinψ |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
θ |
|
ψ |
|
|
|
||||||||||||
J(ρ,θ,ψ ) = |
y |
′ |
y |
′ |
|
y ′ |
= |
sinθ sinψ |
ρcosθ sinψ |
|
ρsinθ cosψ |
= ρ2 sinθ. |
||||||||
|
|
ρ |
|
θ |
|
ψ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
z |
|
′ |
z |
′ |
|
z ′ |
|
|
|
|
cosθ |
−ρsinθ |
|
0 |
|
||||
|
|
ρ |
|
θ |
|
|
|
ψ |
|
∂r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
з‡И‰ВП ЪВФВр¸ |
|
∂r |
, |
|
, |
|
∂r |
‰Оfl ТЩВрЛ˜ВТНЛı НУУр‰ЛМ‡Ъ ‚ ТУУЪ- |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ρ |
|
∂θ |
|
∂ψ |
|
|
|
|
||||
‚ВЪТЪ‚ЛЛ Т ТУУЪМУ¯ВМЛflПЛ (4): |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
∂r = sinθ cosψ i+sinθ sinψ j+cosθ k |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
∂ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∂r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
= ρcosθ cosψ i+ ρcosθ sinψ j− ρsinθ k . |
|||||||||||||
|
|
|
|
∂θ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
∂r |
|
= −ρsinθ sinψ i+ ρsinθ cosψ j |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
∂ψ |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Д ЪВФВр¸ МВЪрЫ‰МУ М‡ФЛТ‡Ъ¸ ‚˚р‡КВМЛfl ‰Оfl НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪУ‚ г‡-
ПВ ‚ ТЩВрЛ˜ВТНЛı НУУр‰ЛМ‡Ъ‡ı: Hρ =1, Hθ = ρ |
Ë Hψ = ρsinθ . é˜Â- |
|||||||
‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ ÓðÚ˚ ρ0 , θ0 , ψ0 Á‡Ô˯ÛÚÒfl Ú‡Í: |
|
|||||||
ρ |
0 |
= |
∂r |
|
|
|
||
|
|
∂ρ |
/ Hρ = sinθ cosψ i+sinθ sinψ j+cosθ k |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
∂r |
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|||
θ |
|
|
= |
|
|
/ Hθ =cosθ cosψ i+cosθ sinψ j−sinθ k . |
||
|
|
∂θ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
ψ |
0 |
= |
|
∂r |
/ Hψ = −sinψ i+cosψ j |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
∂ψ |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зВЪрЫ‰МУ Ы·В‰ЛЪ¸Тfl, ˜ЪУ НрЛ‚УОЛМВИМ‡fl ТЩВрЛ˜ВТН‡fl ТЛТЪВП‡ НУУр‰ЛМ‡Ъ УрЪУ„УМ‡О¸М‡. СВИТЪ‚ЛЪВО¸МУ
ρ0 θ0 =ρ0 ψ0 = θ0 ψ0 = 0 .
6.сЛОЛМ‰рЛ˜ВТНЛВ Л ФУОflрМ˚В НУУр‰ЛМ‡Ъ˚.
сЛОЛМ‰рЛ˜ВТНЛПЛ НУУр‰ЛМ‡Ъ‡ПЛ ÚÓ˜ÍË M (ðËÒ. 1.4.6) ̇Á˚-
‚‡˛ÚÒfl Ô‡ð‡ÏÂÚð˚:
ρ – ð‡ÒÒÚÓflÌË ÓÚ ÚÓ˜ÍË M ‰Ó ÓÒË Oz (0 ≤ ρ < +∞ );
ϕ – Ы„УО, УЪТ˜ЛЪ˚‚‡ВП˚И УЪ ФОУТНУТЪЛ xOz ‰У ФОУТНУТЪЛ, ФрУıУ‰fl˘ВИ ˜ВрВБ ЪУ˜НЫ M Ë ÓÒ¸ Oz (0 ≤ϕ < 2π );
z – ÍÓÓð‰Ë̇ڇ, ÒÓ‚Ô‡‰‡˛˘‡fl Ò ‰Â͇ðÚÓ‚ÓÈ ÍÓÓð‰Ë̇ÚÓÈ z
(−∞ <z < +∞).
39
z
|
z |
ρr |
|
|
M(x,y,z) |
|
0 |
y y |
x x |
ϕ |
|
|
|
|
|
|
êËÒ. 1.4.6 |
é˜Â‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ ‚ ˆËÎË̉ð˘ÂÒÍËı ÍÓÓð‰Ë̇ڇı ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ÏË ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚflÏË fl‚Îfl˛ÚÒfl:
ρ =c1 – ˆЛОЛМ‰рЛ˜ВТН‡fl ФУ‚ВрıМУТЪ¸, У·р‡БЫ˛˘ЛВ НУЪУрУИ Ф‡- р‡ООВО¸М˚ УТЛ Oz , ‡ М‡Фр‡‚Оfl˛˘ВИ ТОЫКЛЪ УНрЫКМУТЪ¸ ‚ ФОУТНУТЪЛ xOy Т ˆВМЪрУП ‚ М‡˜‡ОВ НУУр‰ЛМ‡Ъ р‡‰ЛЫТ‡ ρ =c1 (ðËÒ. 1.4.7 ‡);
ϕ =c2 – ФОУТНУТЪ¸, ФрУıУ‰fl˘‡fl ˜ВрВБ УТ¸ Oz Л У·р‡БЫ˛˘‡fl Т НУУр‰ЛМ‡ЪМУИ ФОУТНУТЪ¸˛ xOy Û„ÓÎ ϕ (ðËÒ. 1.4.7 ·);
– ФОУТНУТЪ¸, Ф‡р‡ООВО¸М‡fl НУУр‰ЛМ‡ЪМУИ ФОУТНУТЪЛ xOy (ðËÒ. 1.4.7 ‚).
z |
|
|
z |
z |
z =c3 |
|
|
|
|
ϕ =c2 |
|
|
ρ =c |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
y |
|
0 |
y |
y |
|
|
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
x |
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|||
‡) |
|
|
·) |
‚) |
|
|
|
|
êËÒ. 1.4.7 |
|
|
дУУр‰ЛМ‡ЪМ˚В ФУ‚ВрıМУТЪЛ ρ =c1 |
Л ФВрВТВН‡˛ЪТfl ϕ =c2 |
ÔÓ Ôðfl- |
|||
ÏÓÈ, Ô‡ð‡ÎÎÂθÌÓÈ ÓÒË Oz (ÍÓÓð‰Ë̇Ú̇fl ÎËÌËfl z ). дУУр‰ЛМ‡Ъ- М˚В ФУ‚ВрıМУТЪЛ ρ =c1 Ë z =c3 ФВрВТВН‡˛ЪТfl ФУ УНрЫКМУТЪЛ (ÍÓÓð‰Ë̇Ú̇fl ÎËÌËfl ϕ ). дУУр‰ЛМ‡ЪМ˚В ФУ‚ВрıМУТЪЛ ϕ =c2 Ë z =c3 ФВрВТВН‡˛ЪТfl ФУ ФрflПУИ (ÍÓÓð‰Ë̇Ú̇fl ÎËÌËfl ρ ). éðÚ˚ ˆËÎË̉-
40