Госы 5к Надя / лекции_3 / kr-int

аБПВО¸˜‡fl ‰рУ·ОВМЛВ, ·Ы‰ВП ЛТН‡Ъ¸ ФрВ‰ВО ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪЛ ЛМЪВ„р‡О¸М˚ı ТЫПП ФрЛ ЫТОУ‚ЛЛ, ˜ЪУ λ → 0 :

I = limσn .

λ→0

ЦТОЛ ˝ЪУЪ ФрВ‰ВО ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ, МВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ТФУТУ·‡ ‰рУ·ОВМЛfl Л ‚˚·Ур‡ ЪУ˜ВН (ξk ,ηk ), ÚÓ ÓÌ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl НрЛ‚УОЛМВИМ˚П

ËÌÚ„ð‡ÎÓÏ ÓÚ ÙÛÌ͈ËË f(x,y) ÔÓ ÍðË‚ÓÈ AB Ë Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl

б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ ЛБ ТЪрЫНЪЫр˚ ЛМЪВ„р‡О¸МУИ ТЫПП˚ ТОВ‰ЫВЪ, ˜ЪУ МВ Л„р‡ВЪ рУОЛ, Н‡НЫ˛ ЛБ ЪУ˜ВН ФрЛМflЪ¸ Б‡ М‡˜‡ОУ, ‡ Н‡НЫ˛ Б‡ НУМВˆ НрЛ‚УИ, Ъ.В. У˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ

∫ f(x,y)dS = ∫ f(x,y)dS .

AB BA

лУ‚Вр¯ВММУ ‡М‡ОУ„Л˜МУ УФрВ‰ВОflВЪТfl НрЛ‚УОЛМВИМ˚И ЛМЪВ„р‡О ФУ ФрУТЪр‡МТЪ‚ВММУИ НрЛ‚УИ

I = ∫ f(x,y,z)dS .

AB

2. нВУрВП‡ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl НрЛ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ I рУ‰‡.

нВУрВП‡. ÖÒÎË ÍðË‚‡fl AB Б‡‰‡М‡ Ф‡р‡ПВЪрЛ˜ВТНЛПЛ Ыр‡‚МВМЛflПЛ

x=ϕ(t)

y=ψ(t) ,

„‰Â ÙÛÌ͈ËË ϕ(t) Ë ψ(t) УФрВ‰ВОВМ˚, МВФрВр˚‚М˚ Л ЛПВ˛Ъ МВФрВ- р˚‚М˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В ϕ′(t) Ë ψ′(t) М‡ ФрУПВКЫЪНВ [p,q] (p <q ), Ë ÂÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ÍðË‚ÓÈ AB Б‡‰‡М‡ МВФрВр˚‚М‡fl ЩЫМНˆЛfl f(x,y) , ЪУ ЪУ„‰‡ НрЛ‚УОЛМВИМ˚И ЛМЪВ„р‡О ФВр‚У„У рУ‰‡ УЪ ЩЫМНˆЛЛ f(x,y) ÔÓ ÍðË‚ÓÈ AB ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ë ‚˚ð‡Ê‡ÂÚÒfl ˜ÂðÂÁ ÓÔð‰ÂÎеÌ- Ì˚È ËÌÚ„ð‡Î Ú‡Í:

(·ÂÁ ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚‡).

51

б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ ‰Оfl ФрУТЪр‡МТЪ‚ВММУИ НрЛ‚УИ, Б‡‰‡ММУИ Ф‡р‡ПВЪрЛ˜ВТНЛПЛ Ыр‡‚МВМЛflПЛ

у‡ТЪМ˚И ТОЫ˜‡И ЪВУрВП˚ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl НрЛ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ I рУ‰‡.

нВУрВП‡. ÖÒÎË ÍðË‚‡fl AB Б‡‰‡М‡ Ыр‡‚МВМЛВП y =ψ(x) , Ôð˘ÂÏ

ÙÛÌ͈Ëfl f(x,y) , ЪУ ЪУ„‰‡ НрЛ‚УОЛМВИМ˚И ЛМЪВ„р‡О ФВр‚У„У рУ‰‡ УЪ ЩЫМНˆЛЛ f(x,y) ÔÓ ÍðË‚ÓÈ AB ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ë ‚˚ð‡Ê‡ÂÚÒfl ˜ÂðÂÁ

ÓÔð‰ÂÎеÌÌ˚È ËÌÚ„ð‡Î Ú‡Í:

∫ f(x,y)dS = ∫b f [x,ψ(x)] 1+ψ′2 (x) dt .

AB a

ЦТОЛ ФрЛМflЪ¸ ‚У ‚МЛП‡МЛВ, ˜ЪУ НрЛ‚УОЛМВИМ˚И ЛМЪВ„р‡О ФВр‚У- „У рУ‰‡ ‚˚р‡К‡ВЪТfl ˜ВрВБ УФрВ‰ВОеММ˚И, ЪУ Т‚УИТЪ‚‡ В„У ТЪ‡МЫЪ У˜В‚Л‰М˚. йТЪ‡МУ‚ЛПТfl М‡ В„У ФрЛПВМВМЛЛ.

3. ирЛПВМВМЛВ НрЛ‚УОЛМВИМ˚ı ЛМЪВ„р‡ОУ‚ ФВр‚У„У рУ‰‡.

1. З˚˜ЛТОВМЛВ ‰ОЛМ˚ ‰Ы„Л НрЛ‚УИ.

аБ УФрВ‰ВОВМЛfl НрЛ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ФВр‚У„У рУ‰‡ ТОВ‰Ы- ВЪ, ˜ЪУ ‰ОЛМ‡ ‰Ы„Л НрЛ‚УИ AB , ФУ НУЪУрУИ ‚В‰ВЪТfl ЛМЪВ„рЛрУ‚‡- МЛВ, р‡‚М‡

SAB = ∫ dS .

AB

ирЛПВр. З˚˜ЛТОЛЪ¸ ‰ОЛМЫ ‰Ы„Л ‡ТЪрУЛ‰˚

52

У·В„‡ВЪ НУМЪЫр НрЛ‚УИ ABCDA ‚ ЫН‡Б‡ММУП М‡Фр‡‚ОВМЛЛ, ВТОЛ t [0, 2π] . З‚Л‰Ы ЪУ„У, ˜ЪУ НрЛ‚‡fl ТЛППВЪрЛ˜М‡ (рЛТ. 2.1.2), М‡И‰ВП ˜ВЪ‚ВрЪЫ˛ ˜‡ТЪ¸ ВВ ‰ОЛМ˚

йНУМ˜‡ЪВО¸МУ ЛПВВП: ‰ОЛМ‡ ‰Ы„Л ‡ТЪрУЛ‰˚

S = 6a ‰ËÌˈ ‰ÎËÌ˚.

y

B(0,a)

M(x,y)

x

D(0, −c)

êËÒ. 2.1.2

2. З˚˜ЛТОВМЛВ П‡ТТ˚ П‡ЪВрЛ‡О¸МУИ НрЛ‚УИ.

ç‡È‰ÂÏ Ï‡ÒÒÛ ÍðË‚ÓÈ AB , Б‡‰‡ММУИ Ыр‡‚МВМЛВП y = f(x) , „‰Â f(x) – МВФрВр˚‚М‡fl ЩЫМНˆЛfl М‡ ФрУПВКЫЪНВ [a,b], ВТОЛ ФОУЪМУТЪ¸

ВВ ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ НрЛ‚УИ УФрВ‰ВОВМ‡ МВФрВр˚‚МУИ ЩЫМНˆЛВИ

ρ = ρ(x,y) .

ê‡ÁÓ·¸ÂÏ ÍðË‚Û˛ AB ̇ n ˜‡ТЪВИ ФрУЛБ‚УО¸М˚П У·р‡БУП. й˜В- ‚Л‰МУ, ˜ЪУ ВВ П‡ТТ‡

53

n−1

M ≈ ∑ρ(ξk ,ηk ) Sk ,

k=0

„‰Â (ξk ,ηk ) – ФрУЛБ‚УО¸М‡fl ЪУ˜Н‡, ФрЛМ‡‰ОВК‡˘‡fl Н‡К‰УПЫ УЪрВБНЫ НрЛ‚УИ AB , ‡ Sk – ‰ÎË̇ ‰Û„Ë ˝ÚÓ„Ó Û˜‡ÒÚ͇. Ç Ôð‡‚ÓÈ ˜‡ÒÚË ‚˚ð‡ÊÂÌËfl ‰Îfl M ТЪУЛЪ ЛМЪВ„р‡О¸М‡fl ТЫПП‡, ‡ ФУЪУПЫ, ЛБПВО¸- ˜‡fl ‰рУ·ОВМЛВ Л ЫТЪрВПОflfl В„У р‡М„ Н МЫО˛, П˚ ФУОЫ˜ЛП ‚ ФрВ‰В- ОВ:

M = ∫ ρ(x,y)dS .

AB

3. З˚˜ЛТОВМЛВ р‡·УЪ˚.

з‡И‰ВП р‡·УЪЫ ТЛО˚ ФУ ФВрВПВ˘ВМЛ˛ П‡ЪВрЛ‡О¸МУИ ЪУ˜НЛ ‚‰УО¸ НрЛ‚УИ AB (ðËÒ. 2.1.3). ÅÛ‰ÂÏ ð‡ÒÒχÚðË‚‡Ú¸ ÍðË‚Û˛ AB Н‡Н М‡- Фр‡‚ОВММЫ˛, ЪУ„‰‡ Л М‡ Н‡Т‡ЪВО¸МУИ Н МВИ ПУКМУ Б‡‰‡Ъ¸ М‡Фр‡‚ОВМЛВ, ТУ‚Ф‡‰‡˛˘ВВ Т М‡Фр‡‚ОВМЛВП НрЛ‚УИ. СВИТЪ‚ЛЪВО¸МУ, ФЫТЪ¸ ФрЛ ‰‚ЛКВМЛЛ ФУ НрЛ‚УИ УЪ A Í B ÚӘ͇ M Ôð‰¯ÂÒÚ‚ÛÂÚ ÚӘ͠N , ÚÓ„‰‡ ·Û‰ÂÏ Ò˜ËÚ‡Ú¸, ˜ÚÓ ÒÂÍÛ˘‡fl, ÔðÓıÓ‰fl˘‡fl ÓÚ M Í N , ЛПВВЪ М‡Фр‡‚ОВМЛВ, ТУ‚Ф‡‰‡˛˘ВВ Т М‡Фр‡‚ОВМЛВП НрЛ‚УИ AB . ä‡- Ò‡ÚÂθ̇fl τ ВТЪ¸ ФрВ‰ВО¸МУВ ФУОУКВМЛВ ТВНЫ˘ВИ ФрЛ ЫТОУ‚ЛЛ, ˜ЪУ N →M . нУ„‰‡ М‡Фр‡‚ОВМЛВ Т ТВНЫ˘ВИ ФВрВıУ‰ЛЪ М‡ Н‡Т‡ЪВО¸МЫ˛, Л ФрУ Ъ‡НЫ˛ Н‡Т‡ЪВО¸МЫ˛ „У‚УрflЪ, ˜ЪУ УМ‡ ЛПВВЪ М‡Фр‡‚ОВМЛВ, ТУ‚- Ф‡‰‡˛˘ВВ Т М‡Фр‡‚ОВМЛВП НрЛ‚УИ AB .

y

τr B

N

M

A

êËÒ. 2.1.3

ç‡È‰ÂÏ ð‡·ÓÚÛ ÒËÎ˚ F ФУ ФВрВПВ˘ВМЛ˛ П‡ЪВрЛ‡О¸МУИ ЪУ˜НЛ M ËÁ ÚÓ˜ÍË A ‚ ÚÓ˜ÍÛ B ‚‰Óθ ÍðË‚ÓÈ AB (ðËÒ. 2.1.4).

54

ирУТЫППЛрЫВП ‚ТВ Ъ‡НЛВ ФрУЛБ‚В‰ВМЛfl, Ъ.В. ТУТЪ‡‚ЛП ЛМЪВ- „р‡О¸МЫ˛ ТЫППЫ (ТЫППЫ кЛП‡М‡):

ЦТОЛ ˝ЪУЪ ФрВ‰ВО ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ, МВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ТФУТУ·‡ ‰рУ·ОВМЛfl Л ‚˚·Ур‡ ЪУ˜ВН (ξk ,ηk ) , ÚÓ ÓÌ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl НрЛ‚УОЛМВИМ˚П

ËÌÚ„ð‡ÎÓÏ ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡ ÓÚ ÙÛÌ͈ËË f(x,y) ÔÓ ÍðË‚ÓÈ AB Ë

Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl Ú‡Í:

йФрВ‰ВОВМЛВ УЪМУТЛЪТfl Н ФОУТНУИ НрЛ‚УИ. нУ˜МУ Ъ‡Н КВ УФрВ‰В-

= ∫ P(x,y,z)dx +Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz.

AB

ÇÒ Ò͇Á‡ÌÌÓ Ì ËÒÍβ˜‡ÂÚ ÒÎÛ˜‡fl, ÍÓ„‰‡ ÚӘ͇ A ÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ Ò ÚÓ˜ÍÓÈ B, Ú.Â. ÍðË‚‡fl AB ФрВ‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·УИ Б‡ПНМЫЪ˚И НУМЪЫр K , ‚ ˝ЪУП ТОЫ˜‡В НрЛ‚УОЛМВИМ˚И ЛМЪВ„р‡О ‚ЪУрУ„У рУ‰‡ У·УБМ‡˜‡- ВЪТfl Ъ‡Н:

∫f(x,y)dx ,

K

ФрЛ˜ВП ·ВБр‡БОЛ˜МУ, ‚ Н‡НУИ ЪУ˜НВ ТОВ‰ЫВЪ М‡˜‡Ъ¸ ‰‚ЛКВМЛВ ФУ НУМЪЫрЫ. лОВ‰ЫВЪ Б‡ПВЪЛЪ¸, ˜ЪУ ВТОЛ K – ФОУТНЛИ Б‡ПНМЫЪ˚И НУМЪЫр Т‡ПУМВФВрВТВН‡˛˘ВИТfl НУМЪЫр, ЪУ Ы Ъ‡НУ„У НУМЪЫр‡ р‡БОЛ˜‡˛Ъ

56

ФУОУКЛЪВО¸МУВ Л УЪрЛˆ‡ЪВО¸МУВ М‡Фр‡‚ОВМЛВ У·ıУ‰‡, ‡ ЛПВММУ: Б‡ ФУОУКЛЪВО¸МУВ М‡Фр‡‚ОВМЛВ У·ıУ‰‡ ФрЛМЛП‡˛Ъ Ъ‡НУВ М‡Фр‡‚ОВМЛВ, ФрЛ НУЪУрУП У·О‡ТЪ¸, У„р‡МЛ˜ВММ‡fl НУМЪЫрУП K , УТЪ‡ВЪТfl ТОВ‚‡, ВТОЛ М‡·О˛‰‡ЪВО¸ ‰‚ЛКВЪТfl ФУ НУМЪЫрЫ. З Ъ‡НУП ТОЫ˜‡В, ВТОЛ K – ФрУТЪр‡МТЪ‚ВММ‡fl НрЛ‚‡fl, ЪУ М‡Фр‡‚ОВМЛВ У·ıУ‰‡ НУМЪЫр‡ У„У‚‡рЛ- ‚‡ВЪТfl УТУ·У. аМУ„‰‡ ‰Оfl ЛМЪВ„р‡ОУ‚ ФУ Б‡ПНМЫЪУПЫ Т‡ПУМВФВрВТВ- Н‡˛˘ВПЫТfl НУМЪЫрЫ ЫФУЪрВ·Оfl˛Ъ Ъ‡НЛВ У·УБМ‡˜ВМЛfl:

2. нВУрВП‡ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl НрЛ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ‚ЪУрУ„У

ðÓ‰‡.

нВУрВП‡. ÖÒÎË ÍðË‚‡fl AB Á‡‰‡Ì‡ Ûð‡‚ÌÂÌËflÏË

x=ϕ(t)

y=ψ(t) ,

„‰Â ϕ(t) Ë ψ(t) УФрВ‰ВОВМ˚ Л МВФрВр˚‚М˚ М‡ ФрУПВКЫЪНВ [p,q] , Ôð˘ÂÏ ϕ′(t) Ъ‡НКВ ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ Л МВФрВр˚‚М‡ М‡ [p,q] , ‡ Ô‡ð‡ÏÂÚð t ‚ÓÁð‡ÒÚ‡ÂÚ ÓÚ p ‰Ó q , ÚÓ ÍðË‚‡fl AB (ЛОЛ НУМЪЫр K ) УФЛТ˚‚‡ВЪТfl ‚ У‰МУП Л ЪУП КВ М‡Фр‡‚ОВМЛЛ УЪ A ‰Ó B; Ë ÂÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ÍðË‚ÓÈ AB Б‡‰‡М‡ МВФрВр˚‚М‡fl ЩЫМНˆЛfl f(x,y) , ЪУ ЪУ„‰‡ НрЛ‚УОЛМВИМ˚И ЛМЪВ„р‡О ‚ЪУрУ„У рУ‰‡ УЪ ЩЫМНˆЛЛ f(x,y) ÔÓ ÍðË- ‚ÓÈ AB ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ Л ‚˚р‡К‡ВЪТfl ˜ВрВБ УФрВ‰ВОВММ˚И ЛМЪВ„р‡О Ъ‡Н:

y =ψ(x) , „‰Â ψ(x) – МВФрВр˚‚М‡fl М‡ ФрУПВКЫЪНВ [a,b] ÙÛÌ͈Ëfl, Ë ÂÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ÍðË‚ÓÈ AB Б‡‰‡М‡ МВФрВр˚‚М‡fl ЩЫМНˆЛfl f(x,y) , ЪУ ЪУ„‰‡ НрЛ‚УОЛМВИМ˚И ЛМЪВ„р‡О ‚ЪУрУ„У рУ‰‡ I = ∫ f(x,y)dx ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ Л ‚˚р‡К‡ВЪТfl ˜ВрВБ УФрВ‰ВОВММ˚И ЛМ-

AB

Ú„ð‡Î Ú‡Í:

∫ f(x,y)dx = ∫b f [x,ψ(x)]dx .

AB a

57

3. л‚УИТЪ‚‡ НрЛ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ‚ЪУрУ„У рУ‰‡.

йТЪ‡МУ‚ЛПТfl М‡ МВНУЪУр˚ı Т‚УИТЪ‚‡ı Л ФрЛПВМВМЛflı НрЛ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ‚ЪУрУ„У рУ‰‡, ФрЛ˜ВП МВ ·Ы‰ВП ЫФУПЛМ‡Ъ¸ Л ‰У- Н‡Б˚‚‡Ъ¸ Т‚УИТЪ‚‡, НУЪУр˚В У˜В‚Л‰М˚.

1. ирЛ УФрВ‰ВОВМЛЛ НрЛ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ‚ЪУрУ„У рУ‰‡ I = ∫ f(x,y)dx МЫКМУ р‡БОЛ˜‡Ъ¸ М‡˜‡ОУ Л НУМВˆ ФЫЪЛ ЛМЪВ„рЛрУ-

AB

‚‡МЛfl, ‡ ЛПВММУ:

∫ f(x,y)dx = − ∫ f(x,y)dx .

AB BA

щЪУ Т‚УИТЪ‚У ТЪ‡МВЪ У˜В‚Л‰М˚П, ВТОЛ ‰Оfl У‰МУ„У Л ЪУ„У КВ ТФУТУ·‡ р‡Б·ЛВМЛfl ТУТЪ‡‚ЛЪ¸ ЛМЪВ„р‡О¸М˚В ТЫПП˚ ‰Оfl ЛМЪВ„р‡ОУ‚, ТЪУfl˘Лı ‚ ОВ‚УИ Л Фр‡‚УИ ˜‡ТЪЛ р‡‚ВМТЪ‚‡.

2. Ç ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â, ÍÓ„‰‡ ÍðË‚‡fl AB Б‡ПНМЫЪ‡, Ъ.В. ФрВ‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·УИ Б‡ПНМЫЪ˚И НУМЪЫр K , ÚÓ

∫ f(x,y)dx = − ∫ f(x,y)dx ,

Ъ.В. ЛБПВМВМЛВ М‡Фр‡‚ОВМЛfl У·ıУ‰‡ НУМЪЫр‡ K ПВМflВЪ БМ‡Н ЛМЪВ- „р‡О‡ М‡ ФрУЪЛ‚УФУОУКМ˚И.

3. ÖÒÎË ÙÛÌ͈Ëfl f(x,y) ЛМЪВ„рЛрЫВП‡ М‡ НрЛ‚УИ AB Ë ÂÒÎË

ÚӘ͇ C ð‡Á·Ë‚‡ÂÚ ÍðË‚Û˛ ̇ ‰‚‡ Û˜‡ÒÚ͇ AC Ë CB, ÚÓ

∫ f(x,y)dx = ∫ f(x,y)dx + ∫ f(x,y)dx .

AB AC CB

СОfl ‰УН‡Б‡ЪВО¸ТЪ‚‡ ˝ЪУ„У Т‚УИТЪ‚‡ ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ ТУТЪ‡‚ЛЪ¸ ЛМЪВ- „р‡О¸МЫ˛ ТЫППЫ, ‡ ЪУ˜НЫ C ‚Íβ˜ËÚ¸ ‚ ˜ËÒÎÓ ÚÓ˜ÂÍ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl.

4. é˜Â‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ ÂÒÎË ÍðË‚‡fl AB ВТЪ¸ ФрflПУОЛМВИМ˚И УЪрВБУН, ФВрФВМ‰ЛНЫОflрМ˚И УТЛ Ox , ÚÓ ÔðË Î˛·ÓÈ f(x,y) ËÌÚ„ð‡Î

I = ∫ f(x,y)dx ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ë ð‡‚ÂÌ ÌÛβ.

AB

4. л‚flБ¸ НрЛ‚УОЛМВИМ˚ı ЛМЪВ„р‡ОУ‚ ФВр‚У„У Л ‚ЪУрУ„У рУ‰‡.

к‡ТТПУЪрЛП ЛМЪВ„р‡О

I = ∫ P(x,y)dx ,

AB

„‰Â P(x,y) – МВФрВр˚‚М‡fl ЩЫМНˆЛfl, УФрВ‰ВОВММ‡fl ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ НрЛ‚УИ AB , ‡ ÍðË‚‡fl AB Б‡‰‡М‡ Ыр‡‚МВМЛВП y =ψ(x) , Ôð˘ÂÏ

58

ψ(x) МВФрВр˚‚М‡ Л ЛПВВЪ МВФрВр˚‚МЫ˛ ФрУЛБ‚У‰МЫ˛ ψ′(x) М‡ ФрУПВКЫЪНВ [a,b], „‰Â a <b (ðËÒ. 2.2.1).

êËÒ. 2.2.1

ирЛ ‚˚ФУОМВМЛЛ Ъ‡НЛı ЫТОУ‚ЛИ НрЛ‚‡fl AB ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ ЛПВВЪ Н‡Т‡ЪВО¸МЫ˛. е˚ ·Ы‰ВП р‡ТТП‡ЪрЛ‚‡Ъ¸ Н‡Т‡ЪВО¸МЫ˛, ЛПВ˛- ˘Ы˛ М‡Фр‡‚ОВМЛВ, ТУ‚Ф‡‰‡˛˘ВВ Т М‡Фр‡‚ОВМЛВП НрЛ‚УИ AB . é·Ó- Á̇˜ËÏ ˜ÂðÂÁ α Ы„УО ПВК‰Ы ФУОУКЛЪВО¸М˚ПЛ М‡Фр‡‚ОВМЛВП Н‡Т‡- ЪВО¸МУИ Л УТ¸˛ Ox . З ТЛОЫ „ВУПВЪрЛ˜ВТНУ„У ТП˚ТО‡ ФрУЛБ‚У‰МУИ ТОВ‰ЫВЪ, ˜ЪУ tgα =ψ′(x) , ‡ ÚÓ„‰‡

àÌÚ„ð‡Î I П˚ ПУКВП Б‡ФЛТ‡Ъ¸ Ъ‡Н:

I = ∫ P[x,ψ(x)]cosα 1+ψx′2dx .

AB

иВрВИ‰ВП ‚ Фр‡‚УИ ˜‡ТЪЛ Н УФрВ‰ВОВММУПЫ ЛМЪВ„р‡ОЫ:

a

нУ˜МУ Ъ‡НУПЫ КВ УФрВ‰ВОВММУПЫ ЛМЪВ„р‡ОЫ р‡‚ВМ НрЛ‚УОЛМВИ- М˚И ЛМЪВ„р‡О ФВр‚У„У рУ‰‡

I1 = ∫ P(x,y)cosα dS ,

AB

Ú.Â. I =I1 . éÍÓ̘‡ÚÂθÌÓ ÔÓÎÛ˜‡ÂÏ

∫ P(x,y)cosα dS = ∫ P(x,y)dx .

лУ‚Вр¯ВММУ ‡М‡ОУ„Л˜МУ ПУКМУ ‰УН‡Б‡Ъ¸ Л Ъ‡НЫ˛ ЩУрПЫОЫ:

∫Q(x,y)cos β dS = ∫Q(x,y)dy,

59

„‰Â β – Ы„УО ПВК‰Ы ФУОУКЛЪВО¸М˚П М‡Фр‡‚ОВМЛВП Н‡Т‡ЪВО¸МУИ Л УТ¸˛ Oy.

лНО‡‰˚‚‡fl ФУ˜ОВММУ ‰‚В ФУТОВ‰МЛВ ЩУрПЫО˚, ФУОЫ˜ЛП ТУУЪМУ- ¯ВМЛВ, ЫТЪ‡М‡‚ОЛ‚‡˛˘ВВ Т‚flБ¸ ПВК‰Ы НрЛ‚УОЛМВИМ˚ПЛ ЛМЪВ„р‡- О‡ПЛ ФВр‚У„У Л ‚ЪУрУ„У рУ‰‡ ФУ НрЛ‚УИ AB , ОВК‡˘ВИ ‚ ФОУТНУТЪЛ xOy :

∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy = ∫ [P(x,y)cosα +Q(x,y)cos β]dS .

AB AB

åÂÊ‰Û Î‚ÓÈ Ë Ôð‡‚ÓÈ ˜‡ÒÚflÏË ð‡‚ÂÌÒÚ‚‡ Á‰ÂÒ¸ Ú‡ÍÓ Òӄ·ÒÓ‚‡- ÌËÂ: Ò΂‡ ËÌÚ„ð‡Î ‚˚˜ËÒÎflÂÚÒfl ÔÓ ÍðË‚ÓÈ AB ÓÚ A Í B, ‡ ÒÔð‡‚‡ ˜ÂðÂÁ α Ë β У·УБМ‡˜ВМ˚ Ы„О˚ Н‡Т‡ЪВО¸МУИ, М‡Фр‡‚ОВМЛВ НУЪУрУИ ТУ‚Ф‡‰‡ВЪ Т М‡Фр‡‚ОВМЛВП НрЛ‚УИ AB , Ò ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ÏË ÓÒflÏË.

ÖÒÎË AB – ФрУТЪр‡МТЪ‚ВММ‡fl НрЛ‚‡fl, α , β , γ – Û„Î˚ ͇҇- ÚÂθÌÓÈ, ÒÓ‚Ô‡‰‡˛˘ÂÈ ÔÓ Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌ˲ Ò ÍðË‚ÓÈ AB , Ò ÍÓÓð‰Ë- ̇ÚÌ˚ÏË ÓÒflÏË Ox , Oy Ë Oz ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ, ЪУ ТФр‡‚В‰ОЛ‚У Ъ‡- НУВ ТУУЪМУ¯ВМЛВ:

∫ P(x,y,z)dx +Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz =

AB

= ∫ [P(x,y,z)cosα +Q(x,y,z)cos β +R(x,y,z)cosγ ]dS.

AB

5. З˚˜ЛТОВМЛВ р‡·УЪ˚ Т ФУПУ˘¸˛ НрЛ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡.

е˚ ФУОЫ˜ЛОЛ р‡МВВ ‚˚р‡КВМЛВ ‰Оfl р‡·УЪ˚ ТЛО˚ F ФУ ФВрВПВ- ˘ВМЛ˛ П‡ЪВрЛ‡О¸МУИ ЪУ˜НЛ M ÔÓ ÍðË‚ÓÈ AB ˜ВрВБ НрЛ‚УОЛМВИ- М˚И ЛМЪВ„р‡О ФВр‚У„У рУ‰‡:

A= ∫ FcosθdS .

AB

á‰ÂÒ¸ θ – Ы„УО ПВК‰Ы ‚ВНЪУрУП F Л Н‡Т‡ЪВО¸МУИ, М‡Фр‡‚ОВМЛВ НУЪУрУИ ТУ‚Ф‡‰‡ВЪ Т М‡Фр‡‚ОВМЛВП НрЛ‚УИ AB .

60