Госы 5к Надя / лекции_3 / kr-int
.pdf
∫∫∫ |
∂R |
dz = ∫∫R(x,y,Φ(x,y))− ∫∫R(x,y,ϕ(x,y))= |
|||
|
|||||
T ∂z |
D |
|
D |
|
|
= |
|
∫∫ |
R(x,y,z)dxdy + |
∫∫ |
R(x,y,z)dxdy + |
S3( верхн. стор.) |
|
S1(нижн. стор.) |
|
||
+ ∫∫ R(x,y,z)dxdy.
S2 (боков. стор.)
àÚ‡Í, Ï˚ ÔÓÎÛ˜ËÎË:
∂R(x,y,z)
∫∫∫ ∂z dxdydz
T
= ∫∫R(x,y,z)dxdy . |
(1) |
ST |
|
оУрПЫО‡ (1) ЫТЪ‡М‡‚ОЛ‚‡ВЪ Т‚flБ¸ ПВК‰Ы ЪрУИМ˚П ЛМЪВ„р‡ОУП ФУ ЪВОЫ T Л ФУ‚ВрıМУТЪМ˚П ФУ ФУОМУИ ФУ‚ВрıМУТЪЛ, У„р‡МЛ˜Л‚‡˛˘ВИ ˝ЪУ ЪВОУ, ФрЛ˜ВП ФУ‚ВрıМУТЪМ˚И ЛМЪВ„р‡О ‚˚˜ЛТОflВЪТfl ФУ ‚МВ¯МВИ ТЪУрУМВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ ЪВО‡ T .
оУрПЫО‡ (1) М‡Б˚‚‡ВЪТfl П‡ОУИ ЩУрПЫОУИ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У. СУФЫТЪЛП, ˜ЪУ ‚ ЪВОВ T ÓÔð‰ÂÎÂÌ˚ ¢ ‰‚ ÙÛÌ͈ËË P(x,y,z)
Ë Q(x,y,z) , |
ЛПВ˛˘ЛВ МВФрВр˚‚М˚В ˜‡ТЪМ˚В |
ФрУЛБ‚У‰М˚В |
|||||||||
|
∂P(x,y,z) |
Ë |
∂Q(x,y,z) |
. лУ‚Вр¯ВММУ ‡М‡ОУ„Л˜МУ ПУКМУ ‰УН‡Б‡Ъ¸ |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
∂x |
∂y |
|
|
|
||||||
В˘В ‰‚В П‡О˚В ЩУрПЫО˚ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У: |
|
||||||||||
|
|
|
∫∫∫ |
|
∂x |
∫∫ |
|
|
|||
|
|
|
|
|
∂P(x,y,z) |
dxdydz = |
|
P(x,y,z)dydz |
(2) |
||
|
|
|
T |
∂Q(x,y,z) |
|
ST |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
∫∫∫ |
dxdydz = |
∫∫Q(x,y,z)dzdx . |
(3) |
|||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
T |
|
∂y |
ST |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
лНО‡‰˚‚‡fl ФУ˜ОВММУ ЩУрПЫО˚ (1), (2) Л (3), ФУОЫ˜ЛП ·УО¸¯Ы˛ ЩУрПЫОЫ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У ЛОЛ ФрУТЪУ ЩУрПЫОЫ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У:
|
∂P(x,y,z) |
|
∂Q(x,y,z) |
|
∂R(x,y,z) |
|||
∫∫∫ |
|
+ |
|
+ |
|
dxdydz = |
||
∂x |
∂y |
∂z |
||||||
T |
|
|
|
|
||||
= |
|
∫∫ |
P(x,y,z)dydz +Q(x,y,z)dzdx +R(x,y,z)dxdy. |
|||||
ST ( внешняя стор.)
ÖÒÎË λ , μ Ë ν – Ы„О˚ МУрП‡ОЛ Н ‚МВ¯МВИ ТЪУрУМВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S Ò ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ÏË ÓÒflÏË Ox , Oy Ë Oz , ЪУ„‰‡ ‚ Фр‡‚УИ ˜‡ТЪЛ ЩУрПЫО˚ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У ПУКМУ ФВрВИЪЛ Н ФУ‚ВрıМУТЪМУПЫ ЛМЪВ- „р‡ОЫ ФВр‚У„У рУ‰‡:
81
|
∂P(x,y,z) |
|
∂Q(x,y,z) |
|
∂R(x,y,z) |
|||
∫∫∫ |
|
+ |
|
+ |
|
dxdydz = |
||
∂x |
∂y |
∂z |
||||||
T |
|
|
|
|
||||
= ∫∫[P(x,y,z)cos λ +Q(x,y,z)cos μ +R(x,y,z)cosν ]dS.
ST
á‡Ï˜‡ÌËÂ. й·р‡ЪЛП ‚МЛП‡МЛВ М‡ ЪУ, ˜ЪУ ЩУрПЫО‡ йТЪрУ„р‡‰- ТНУ„У ФУБ‚УОflВЪ ОВ„НУ ФУОЫ˜ЛЪ¸ ЩУрПЫОЫ ‰Оfl ‚˚˜ЛТОВМЛfl У·˙ВП‡ ЪВО‡ T Т ФУПУ˘¸˛ ФУ‚ВрıМУТЪМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ФУ ФУ‚ВрıМУТЪЛ, У„- р‡МЛ˜Л‚‡˛˘ВИ ЪВОУ T . СВИТЪ‚ЛЪВО¸МУ, ВТОЛ ФУОУКЛЪ¸ ‚ ЩУрПЫОВ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У P(x,y,z) =x , Q(x,y,z) =y, R(x,y,z) =z , ÚÓ ÚÓ„‰‡ ÔÓÎÛ˜ËÏ
VT = 1 ∫∫xdydz +ydzdx +zdxdy
3 ST
ËÎË
VT = ∫∫[xcos λ +ycos μ +zcosν ]dS ,
ST
„‰Â ˜ÂðÂÁ VT Ó·ÓÁ̇˜ÂÌ Ó·˙ÂÏ Ú· T .
§5. оУрПЫО‡ лЪУНТ‡
к‡ТТПУЪрЛ МВНУЪУрЫ˛ ‰‚ЫТЪУрУММ˛˛ Н‚‡‰рЛрЫВПЫ˛ ФУ‚ВрıМУТЪ¸ S , У„р‡МЛ˜ВММЫ˛ НУМЪЫрУП L, НУЪУр˚И М‡ Н‡К‰Ы˛ ЛБ НУУр‰ЛМ‡Ъ- М˚ı ФОУТНУТЪВИ ФрУВНЪЛрЫВЪТfl ‚ Б‡ПНМЫЪ˚И Т‡ПУМВФВрВТВН‡˛˘ЛИТfl НУМЪЫр (рЛТ. 3.5.1).
z
|
|
Dyz |
|
r |
|
Dxz |
n |
y |
|
S |
|
|
0 |
|
x |
Dxy |
|
|
|
|
|
êËÒ. 3.5.1 |
|
82
иЫТЪ¸ ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ ˝ЪУИ ФУ‚ВрıМУТЪЛ Б‡‰‡М‡ МВФрВр˚‚М‡fl
ÙÛÌ͈Ëfl |
|
P(x,y,z) , ЛПВ˛˘‡fl МВФрВр˚‚М˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В |
|||
|
∂P(x,y,z) |
Ë |
|
∂P(x,y,z) |
. |
|
∂z |
|
|
∂y |
|
еУКМУ ‰УН‡Б‡Ъ¸, ˜ЪУ ТФр‡‚В‰ОЛ‚‡ ЩУрПЫО‡ (П‡О‡fl ЩУрПЫО‡ лЪУ-
ÍÒ‡): |
∂P(x,y,z) |
|
∂P(x,y,z) |
|
|
∫∫ |
dzdx − |
dxdy = ∫P(x,y,z)dx . |
|||
|
∂y |
||||
S |
∂z |
L |
|||
б‰ВТ¸ ПВК‰Ы ОВ‚УИ Л Фр‡‚УИ ˜‡ТЪflПЛ р‡‚ВМТЪ‚‡ Ъ‡НУВ ТУ„О‡ТУ‚‡- МЛВ: ЛМЪВ„р‡О ТОВ‚‡ ·ВрВЪТfl ФУ УФрВ‰ВОВММУИ ТЪУрУМВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ,
‡ У·ıУ‰ НУМЪЫр‡ ЛМЪВ„рЛрУ‚‡МЛfl L ‚ ЛМЪВ„р‡ОВ, ТЪУfl˘ВП ТФр‡‚‡, ТУ‚Вр¯‡ВЪТfl ‚ Ъ‡НУП М‡Фр‡‚ОВМЛЛ, ˜ЪУ·˚ М‡·О˛‰‡ЪВО¸, Ы НУЪУрУ„У МУрП‡О¸, ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘‡fl ‚˚·р‡ММУИ ТЪУрУМВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ, ФрУıУ- ‰ЛЪ УЪ МУ„ Н „УОУ‚В, УТЪ‡‚ОflО ·˚ ФУ‚ВрıМУТЪ¸ ТОВ‚‡ УЪ ТВ·fl.
СУФЫТЪЛП ‰‡ОВВ, ˜ЪУ ТФр‡‚В‰ОЛ‚˚ Т‰ВО‡ММ˚В ‚˚¯В ФрВ‰ФУОУКВМЛfl Л, НрУПВ ЪУ„У, М‡ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S Б‡‰‡М˚ МВФрВр˚‚М˚В ЩЫМНˆЛЛ Q(x,y,z) Ë R(x,y,z) , ЛПВ˛˘ЛВ МВФрВр˚‚М˚В ˜‡ТЪМ˚В ФрУЛБ-
‚Ó‰Ì˚ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Q(x,y,z) |
, |
∂Q(x,y,z) |
, |
∂R(x,y,z) |
Ë |
∂R(x,y,z) |
. |
|
∂x |
|
∂z |
|
∂x |
|
∂y |
|
нУ„‰‡ ПУКМУ ‰УН‡Б‡Ъ¸ ТФр‡‚В‰ОЛ‚УТЪ¸ В˘ё ‰‚Ыı П‡О˚ı ЩУрПЫО
лЪУНТ‡: |
∂Q(x,y,z) |
|
|
|
∂Q(x,y,z) |
|
|||
∫∫ |
|
dxdy − |
dydz = ∫Q(x,y,z)dy , |
||||||
|
|
∂z |
|||||||
S |
|
∂x |
L |
||||||
∫∫ |
∂R(x,y,z) |
dydz − |
|
∂R(x,y,z) |
dxdz = ∫R(x,y,z)dz . |
||||
|
|
|
|||||||
S |
|
∂y |
∂x |
L |
|||||
лНО‡‰˚‚‡fl ФУ˜ОВММУ ‚ТВ ЪрЛ П‡О˚В ЩУрПЫО˚ лЪУНТ‡, ФУОЫ˜ЛП ·УО¸¯Ы˛ ЩУрПЫОЫ лЪУНТ‡ ЛОЛ ФрУТЪУ ЩУрПЫОЫ лЪУНТ‡:
∂Q(x,y,z) |
|
∂P(x,y,z) |
|||
∫∫ |
|
|
− |
|
|
|
∂x |
∂y |
|||
S |
|
||||
∂P(x,y,z) |
|
∂R(x,y,z) |
|||
+ |
|
− |
|
||
∂z |
∂x |
||||
|
|
||||
= ∫P(x,y,z)dx
|
|
∂R(x,y,z) |
|
∂Q(x,y,z) |
||
dxdy + |
|
− |
|
dydz |
||
∂y |
∂z |
|||||
|
|
|
|
|||
dzdx =
+Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz.
L
83
É·‚‡ 4
щОВПВМЪ˚ ЪВУрЛЛ ФУОfl
§1. лН‡ОflрМУВ ФУОВ. Йр‡‰ЛВМЪ. ирУЛБ‚У‰М‡fl ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛
1. лН‡ОflрМУВ ФУОВ. иУ‚ВрıМУТЪЛ Л ОЛМЛЛ ЫрУ‚Мfl.
аЪ‡Н, р‡ТТПУЪрЛП МВНУЪУрЫ˛ У·О‡ТЪ¸ T ЪрВıПВрМУ„У ФрУТЪр‡М- ТЪ‚‡ Oxyz . ÖÒÎË Í‡Ê‰ÓÈ ÚӘ͠M(x,y,z) ˝ЪУИ У·О‡ТЪЛ ФУТЪ‡‚ОВМУ ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛВ БМ‡˜ВМЛВ МВНУЪУрУИ ТН‡ОflрМУИ ‚ВОЛ˜ЛМ˚ U , Ú.Â. U = f(M) ËÎË U =U(x,y,z) , ЪУ „У‚УрflЪ, ˜ЪУ Б‡‰‡МУ ТН‡ОflрМУВ ФУОВ. з‡ФрЛПВр, ЪУ˜В˜М˚И ЛТЪУ˜МЛН ЪВФО‡ ТУБ‰‡ВЪ ФУОВ ЪВПФВр‡ЪЫр. лН‡ОflрМУВ ФУОВ, МВ ПВМfl˛˘ВВТfl ‚У ‚рВПВМЛ, М‡Б˚‚‡ВЪТfl ТЪ‡ˆЛУ- М‡рМ˚П, Л ‚ ˝ЪУП ТОЫ˜‡В ЩЫМНˆЛfl U МВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ‚рВПВМЛ, Ъ.В. U =U(x,y,z) . ЦТОЛ КВ ФУОВ ПВМflВЪТfl ‚У ‚рВПВМЛ, Ъ.В. U =U(x,y,z,t) , ЪУ УМУ М‡Б˚‚‡ВЪТfl МВТЪ‡ˆЛУМ‡рМ˚П. з‡ФрЛПВр, ВТОЛ ‚˚МЫЪ¸ ЛБ НУТЪр‡ р‡ТН‡ОВММ˚И Н‡ПВМ¸, ЪУ ‚УНрЫ„ МВ„У У·р‡БЫВЪТfl МВТЪ‡ˆЛУМ‡рМУВ ТН‡ОflрМУВ ФУОВ ЪВПФВр‡ЪЫр, НУЪУрУВ ·Ы‰ВЪ ПВМflЪ¸Тfl Т ЪВ˜ВМЛВП ‚рВПВМЛ, Ъ.Н. Н‡ПВМ¸ ·Ы‰ВЪ УТЪ˚‚‡Ъ¸. н‡НЛП У·- р‡БУП, У˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ ТЪ‡ˆЛУМ‡рМУВ ТН‡ОflрМУВ ФУОВ УФЛТ˚‚‡ВЪТfl МВНУЪУрУИ ЩЫМНˆЛВИ ЪУ˜НЛ, ЛПВ˛˘ВИ ЪрЛ, ‰‚В ЛОЛ У‰МЫ НУУр‰ЛМ‡- ЪЫ, ‚ Б‡‚ЛТЛПУТЪЛ УЪ ЪУ„У, ˜ЪУ ФрВ‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·У˛ У·О‡ТЪ¸ T . З Н‡˜ВТЪ‚В ФрЛПВр‡ ТН‡ОflрМУ„У ФУОfl ПУКМУ ФрЛ‚ВТЪЛ ФУЪВМˆЛ‡О
˝ОВНЪрУТЪ‡ЪЛ˜ВТНУ„У ФУОfl, |
НУЪУр˚И УФрВ‰ВОflВЪТfl ТУУЪМУ¯ВМЛВП |
|
U = e |
, „‰Â e – Á‡ðfl‰, r = |
x2 +y2 +z2 – ð‡ÒÒÚÓflÌË ÓÚ ÚÓ˜ÍË ‰Ó |
r |
|
|
Б‡рfl‰‡, НУЪУр˚И ФУПВ˘ВМ ‚ М‡˜‡ОУ НУУр‰ЛМ‡Ъ. й˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ ЩЫМНˆЛfl U УФрВ‰ВОflВЪ ТН‡ОflрМУВ ФУОВ (ФУЪВМˆЛ‡О) ‚У ‚ТВП ФрУТЪр‡МТЪ‚В, Б‡ ЛТНО˛˜ВМЛВП М‡˜‡О‡ НУУр‰ЛМ‡Ъ, Ъ.Н. ФрЛ r = 0 ФУЪВМˆЛ‡О U У·р‡˘‡ВЪТfl ‚ ·ВТНУМВ˜МУТЪ¸.
ЦТОЛ р‡ТТПУЪрВЪ¸ ТН‡ОflрМУВ ФУОВ U = R2 −x2 −y2 , ЪУ У˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ ˝ЪУ ФУОВ УФрВ‰ВОВМУ ОЛ¯¸ ‚ НрЫ„В р‡‰ЛЫТ‡ R: x2 +y2 =R2 .
84
СУФЫТЪЛП ЪВФВр¸, ˜ЪУ ТН‡ОflрМУВ ФУОВ U =U(x,y,z) Ú‡ÍÓ‚Ó, ˜ÚÓ ÙÛÌ͈Ëfl U(x,y,z) МВФрВр˚‚М‡ ФУ ФВрВПВММ˚П x , y , z Ë Ó‰ÌÓ-
БМ‡˜М‡. б‡ЩЛНТЛрЫВП БМ‡˜ВМЛВ ТН‡ОflрМУИ ‚ВОЛ˜ЛМ˚ U , ФУОУКЛ‚ В„У р‡‚М˚П c , „‰Â c =const , Ъ.В. ФУОУКЛП U(x,y,z) =c. л „ВУПВЪ-
рЛ˜ВТНУИ ЪУ˜НЛ БрВМЛfl ФУТОВ‰МВПЫ ТУУЪМУ¯ВМЛ˛ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЫВЪ ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В МВНУЪУр‡fl ФУ‚ВрıМУТЪ¸. й˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ ˝Ъ‡ ФУ‚ВрıМУТЪ¸ У·О‡‰‡ВЪ Ъ‡НЛП Т‚УИТЪ‚УП, ˜ЪУ ‚ Н‡К‰УИ ВВ ЪУ˜НВ ФУОВ ЛПВВЪ ФУТЪУflММУВ БМ‡˜ВМЛВ, р‡‚МУВ c . í‡Í‡fl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÔÓ- ‚ÂðıÌÓÒÚ¸˛ ÛðÓ‚Ìfl.
б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ ЩЫМНˆЛ˛, Б‡‰‡˛˘Ы˛ ТН‡ОflрМУВ ФУОВ, МВБ‡‚ЛТЛПУ УЪ ВВ ЩЛБЛ˜ВТНУ„У ТП˚ТО‡, ˜‡ТЪУ М‡Б˚‚‡˛Ъ ФУЪВМˆЛ‡ОУП, ‡ ФУ‚ВрıМУТЪЛ ЫрУ‚Мfl М‡Б˚‚‡˛Ъ Ъ‡НКВ ˝Н‚ЛФУЪВМˆЛ‡О¸М˚ПЛ ФУ‚ВрıМУТЪflПЛ, Ъ.В. ФУ‚ВрıМУТЪflПЛ р‡‚МУ„У ФУЪВМˆЛ‡О‡. й˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ р‡БОЛ˜- М˚В ФУ‚ВрıМУТЪЛ ЫрУ‚Мfl МВ ФВрВТВН‡˛ЪТfl, Л ˜ВрВБ Ъ‡НЫ˛ ЪУ˜НЫ У·- О‡ТЪЛ, „‰В УФрВ‰ВОВМУ ТН‡ОflрМУВ ФУОВ, ФрУıУ‰ЛЪ У‰М‡ ЛБ МЛı.
ЦТОЛ ТН‡ОflрМУВ ФУОВ ФОУТНУВ, Ъ.В. U =U(x,y) , ЪУ ЪУ˜НЛ, ‰Оfl НУЪУр˚ı U(x,y) =c, ̇Á˚‚‡˛Ú ÎËÌËflÏË ÛðÓ‚Ìfl.
з‡ФрЛПВр, ТН‡ОflрМУВ ФУОВ U = R2 −x2 −y2 −z2 ЛПВВЪ ‚ Н‡˜ВТЪ- ‚В ФУ‚ВрıМУТЪВИ ЫрУ‚Мfl НУМˆВМЪрЛ˜ВТНЛВ ТЩВр˚ x2 +y2 +z2 =R2 , ‡ ÔÓΠU = R2 −x2 −y2 – НУМˆВМЪрЛ˜ВТНЛВ УНрЫКМУТЪЛ x2 +y2 =R2 −c2 .
2. ирУЛБ‚У‰М‡fl ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛.
ÑÎfl ËÁÛ˜ÂÌËfl Ò‚ÓÈÒÚ‚ Ò͇ÎflðÌÓ„Ó ÔÓÎfl U =U(x,y,z) ÔðÂʉÂ
‚ТВ„У ·˚‚‡ВЪ МВУ·ıУ‰ЛПУ ‚˚flТМЛЪ¸, Н‡Н ПВМflВЪТfl ˝ЪУ ФУОВ ФрЛ ФВрВıУ‰В УЪ У‰МУИ ЪУ˜НЛ ФУОfl Н ‰рЫ„УИ. СУФЫТЪЛП, ˜ЪУ П˚ р‡ТТП‡Ъ- рЛ‚‡ВП ТН‡ОflрМУВ ФУОВ U =U(x,y,z) , „‰Â ÙÛÌ͈Ëfl U(x,y,z) ‰ËÙ-
ЩВрВМˆЛрЫВП‡ ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ ФУОfl, Ъ.В. ВВ ФУОМУВ ФрЛр‡˘ВМЛВ ·Ы- ‰ВЪ ЛПВЪ¸ ‚Л‰
U = |
|
∂U(x,y,z) |
x + |
∂U(x,y,z) |
|
y + |
∂U(x,y,z) |
|
z + |
|
|
|
∂y |
∂z |
|||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|||
+δ1 |
x +δ2 y +δ3 |
z, |
|
|
|
|
|
|||
„‰Â δ1 , δ2 , δ3 |
ТЪрВПflЪТfl Н МЫО˛, ВТОЛ ( |
|
x)2 +( y)2 +( z)2 |
→ 0. |
||||||
Ç˚·ÂðÂÏ ‚ ÔÓΠÒ͇ÎflðÌÓÈ ‚Â΢ËÌ˚ U МВНУЪУрУВ М‡Фр‡‚ОВМЛВ, УФрВ‰ВОflВПУВ УТ¸˛ l (l0 – ÓðÚ ˝ÚÓ„Ó Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌËfl).
85
ÇÓÁ¸ÏÂÏ Ì‡ ÓÒË l |
‰‚ ÚÓ˜ÍË M(x,y,z) Ë N(x + |
x,y + y,z + |
z) . |
uuuuur |
= ρ (ðËÒ. 4.1.1) |
|
|
é·ÓÁ̇˜ËÏ Ôðl MN |
uuuur |
|
|
é˜Â‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ ρ > 0 , ВТОЛ М‡Фр‡‚ОВМЛВ ‚ВНЪУр‡ MN ÒÓ‚Ô‡‰‡ÂÚ |
|||
Т М‡Фр‡‚ОВМЛВП УТЛ l Ë ρ < 0 , ВТОЛ УМЛ ФрУЪЛ‚УФУОУКМ˚. |
|
||
С‡‰ЛП ЪВФВр¸ УФрВ‰ВОВМЛВ ФрУЛБ‚У‰МУИ ЩЫМНˆЛЛ U(x,y,z) |
ÔÓ |
||
̇Ôð‡‚ÎÂÌ˲ l (ðËÒ. 4.1.1). |
|
|
|
z
l
N(x + x,y + y,z +Δz)
M(x,y,z)
l0
|
0 |
|
x |
y |
|
êËÒ. 4.1.1 |
||
|
йФрВ‰ВОВМЛВ. ирУЛБ‚У‰МУИ ЩЫМНˆЛЛ U ÔÓ Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌ˲ l ̇- Á˚‚‡ÂÚÒfl
|
lim |
U(N) −U(M) |
( ρ > 0 ËÎË ρ < 0 ), |
|||||||
|
|
ρ |
|
|
||||||
uuuuur |
N→M |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
„‰Â ρ = Ôðl MN , ‡ ÚÓ˜ÍË M Ë N ÎÂÊ‡Ú Ì‡ ÓÒË l . |
|
|||||||||
ирУЛБ‚У‰М‡fl ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛ У·УБМ‡˜‡ВЪТfl |
∂U |
, Ú.Â. |
||||||||
∂l |
||||||||||
|
|
|
∂U = |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
lim U(N) −U(M) . |
|
||||||
|
|
|
def |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂l |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
N→M |
ρ |
|
|
||||
ирЛПВП ЪВФВр¸ ‚У ‚МЛП‡МЛВ, ˜ЪУ ЩЫМНˆЛfl U =U(x,y,z) ‰ËÙÙÂ-
рВМˆЛрЫВП‡, ЪУ„‰‡ ФУОЫ˜ЛП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
∂U |
= lim |
U(x + |
|
x,y + |
|
y,z + |
|
z) −U(x,y,z) |
= |
|||||||||||
∂l |
|
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|||||||||
|
N→M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
∂U |
|
x |
+ |
∂U |
|
y |
+ |
∂U |
|
z |
|
||||||
= lim |
∂x |
ρ |
∂y |
ρ |
|
∂z |
ρ |
+ ·.Ï. |
||||||||||||
ρ→0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ÖÒÎË ÓÒ¸ l Ó·ð‡ÁÛÂÚ Û„Î˚ α , β |
Ë γ Ò ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ÏË ÓÒflÏË, ÚÓ |
|||||||||||||||||||
Ә‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ |
|
x |
|
= cosα , |
|
|
y |
= cos β , |
z |
= cosγ , ‡ ÚÓ„‰‡ ‚ Ôð‰ÂΠ|
||||||||||
|
ρ |
|
|
|
ρ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
ÔÓÎÛ˜ËÏ:
86
∂∂Ul = ∂∂Ux cosα + ∂∂Uy cos β + ∂∂Uz cosγ .
ьТМУ, ˜ЪУ В‰ЛМЛ˜М˚И ‚ВНЪУр М‡Фр‡‚ОВМЛfl ЛПВВЪ Т‚УЛПЛ НУУр- ‰ЛМ‡Ъ‡ПЛ М‡Фр‡‚Оfl˛˘ЛВ НУТЛМЫТ˚ УТЛ l , Ú.Â. l0 (cosα,cos β,cosγ ) .
лОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, ФрУЛБ‚У‰МЫ˛ ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛ |
∂U |
|
|
ПУКМУ ФрВ‰ТЪ‡- |
||||||||
∂l |
|
|
||||||||||
|
|
∂U |
|
∂U |
|
∂U |
|
|||||
‚ЛЪ¸ ‚ ‚Л‰В ТН‡ОflрМУ„У ФрУЛБ‚В‰ВМЛfl ‚ВНЪУр‡ N |
, |
, |
Ë |
|||||||||
|
∂x |
|
∂y |
|
|
|||||||
‚ВНЪУр‡ l0 , Ú.Â. ∂U =N l0 , „‰В ‚ВНЪУр N = |
|
|
|
|
|
|
∂z |
|
||||
∂U |
|
i+ |
∂U j+ |
∂U |
k |
|||||||
∂l |
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
∂z |
|
||
(˝ЪУ ·˚ОУ ФУОЫ˜ВМУ р‡МВВ) ВТЪ¸ МЛ ˜ЪУ ЛМУВ, Н‡Н МУрП‡О¸ Н ФУ‚ВрıМУТЪЛ ЫрУ‚Мfl U(x,y,z) =c. з‡ФУПМЛП, ˜ЪУ ФрУЛБ‚У‰М‡fl ЛПВВЪ ПВ-
ı‡МЛ˜ВТНЛИ ТП˚ТО – ТНУрУТЪ¸. бМ‡˜ЛЪ, ФрУЛБ‚У‰М‡fl ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛ ‰‡ВЪ М‡П ТНУрУТЪ¸ ЛБПВМВМЛfl ФУОfl U =U(x,y,z) ‚ ̇Ôð‡‚ÎÂ-
ÌËË ÓÒË l . зВЪрЫ‰МУ Б‡ПВЪЛЪ¸ Ъ‡НКВ, ˜ЪУ П˚ ЫКВ р‡МВВ р‡ТТП‡ЪрЛ- ‚‡ОЛ ФрУЛБ‚У‰М˚В ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛, ‡ ЛПВММУ, ˝ЪУ ·˚ОЛ ФрУЛБ‚У‰- М˚В ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛ НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚ı УТВИ Ox , Oy Ë Oz , Ú.Â. ËÁÛ-
˜ВММ˚В р‡МВВ ˜‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В ∂∂Ux , ∂∂Uy Ë ∂∂Uz .
б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ ФУМflЪЛВ ФрУЛБ‚У‰МУИ ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛ У·У·˘‡˛Ъ Л М‡ ТОЫ˜‡И, НУ„‰‡ ˝ЪУ М‡Фр‡‚ОВМЛВ Б‡‰‡ВЪТfl МВНУЪУрУИ НрЛ‚УИ ОЛМЛВИ l . З ˝ЪУП ТОЫ˜‡В ‚ Н‡˜ВТЪ‚В М‡Фр‡‚Оfl˛˘Лı НУТЛМЫТУ‚ М‡Фр‡‚ОВМЛfl ·ВрЫЪ М‡Фр‡‚Оfl˛˘ЛВ НУТЛМЫТ˚ Н‡Т‡ЪВО¸МУИ Н НрЛ‚УИ l ‚ ЪУ˜- НВ ‰ЛЩЩВрВМˆЛрУ‚‡МЛfl.
ирЛПВр. з‡ИЪЛ ФрУЛБ‚У‰МЫ˛ ТН‡ОflрМУ„У ФУОfl U = |
x2 +y2 |
ÔÓ |
||
̇Ôð‡‚ÎÂÌ˲ ÍðË‚ÓÈ y =x2 |
ÓÚ ÚÓ˜ÍË |
M1(1,1) Í ÚӘ͠|
M2 (2, 4) |
‚ |
ÚӘ͠M1 . |
|
|
|
|
ê¯ÂÌËÂ. |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
4 |
M2 (2, 4) |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
τ |
|
|
|
1 |
M1(1,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 2 |
3 x |
|
|
|
êËÒ. 4.2.1 |
|
|
|
87
з‡И‰ВП В‰ЛМЛ˜М˚И ‚ВНЪУр τ0 , ͇҇ÚÂθÌ˚È Í Ô‡ð‡·ÓΠy =x2 ‚ ÚӘ͠M1(1,1) . з‡И‰ВП Ы„ОУ‚УИ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ ФрflПУИ, М‡ НУЪУрУИ
ОВКЛЪ ‚ВНЪУр τ:
y′ = 2x , k = 2x x=1 = 2 .
ирflП‡fl ЛПВВЪ Ы„ОУ‚УИ НУ˝ЩЩЛˆЛВМЪ k = 2 Ë ÔðÓıÓ‰ËÚ ˜ÂðÂÁ ÚÓ˜- ÍÛ M1(1,1) , ТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, ВВ Ыр‡‚МВМЛВ y −1 = 2(x −1) . á‡Ô˯ÂÏ ˝ÚÓ
Ыр‡‚МВМЛВ ‚ Н‡МУМЛ˜ВТНУП ‚Л‰В: x1−1 = y2−1 . ЗВНЪУр τ(1, 2) – М‡- Фр‡‚Оfl˛˘ЛИ ‚ВНЪУр ˝ЪУИ ФрflПУИ, ФрЛ˜ВП В„У М‡Фр‡‚ОВМЛВ ТУУЪ‚ВЪ-
ÒÚ‚ÛÂÚ Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌ˲ ̇ ÍðË‚ÓÈ ÓÚ ÚÓ˜ÍË M1(1,1) |
Í ÚӘ͠M2 (2, 4) . |
||||||||||||||||||||
лУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ЛИ ВПЫ В‰ЛМЛ˜М˚И ‚ВНЪУр τ0 = |
|
i |
+ |
|
2 |
j , Ú.Â. Â„Ó Ì‡- |
|||||||||||||||
|
5 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
5 |
|
|||||
Фр‡‚Оfl˛˘ЛВ НУТЛМЫТ˚ cosα = |
|
|
, cos β = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
з‡И‰ВП ЪВФВр¸ ∂U |
|
5 |
|
|
∂U = |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= |
x |
, |
|
|
y |
|
|
, ‡ ЪУ„‰‡ ФрУЛБ‚У‰- |
|||||||||||||
x2 +y2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
x2 +y2 |
|
|
|
|
||||||||||
̇fl ÔÓ Ì‡Ôð‡‚ÎÂÌ˲ ÙÛÌ͈ËË U = |
x2 +y2 ‚ ÚӘ͠M1(1,1) ÔÓ ÍðË- |
||||||||||||||||||||
‚ÓÈ l ÓÚ ÚÓ˜ÍË M1(1,1) |
Í ÚӘ͠M2 (2, 4) |
·Û‰ÂÚ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
∂U |
= |
x |
|
|
|
1 |
+ |
|
|
y |
|
|
2 |
. |
|
||||||
∂l |
x2 +y2 |
|
|
5 |
|
x2 +y2 |
|
5 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
3.Йр‡‰ЛВМЪ ТН‡ОflрМУ„У ФУОfl. Ц„У Т‚УИТЪ‚‡. л‚flБ¸ „р‡‰ЛВМЪ‡ ТН‡ОflрМУ„У ФУОfl Т ФрУЛБ‚У‰МУИ ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛. йФВр‡ЪУр Й‡ПЛО¸ЪУМ‡.
к‡ТТПУЪрЛП ТН‡ОflрМУВ ФУОВ U =U(x,y,z) Л ФрВ‰ФУОУКЛП, ˜ЪУ ‚ МВНУЪУрУИ У·О‡ТЪЛ T ÙÛÌ͈Ëfl U(x,y,z) ‰ЛЩЩВрВМˆЛрЫВП‡, Ъ.В. ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ МВФрВр˚‚М˚В ˜‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В
∂U(x,y,z) |
, |
∂U(x,y,z) |
, |
∂U(x,y,z) |
, |
|
∂x |
∂y |
∂z |
||||
|
|
|
‡ ФУ‚ВрıМУТЪЛ ЫрУ‚Мfl U(x,y,z) =c МВ ЛПВ˛Ъ УТУ·˚ı ЪУ˜ВН, Ъ.В. Ъ‡- НЛı ЪУ˜ВН, ‚ НУЪУр˚ı ‚ТВ ЪрЛ ФрУЛБ‚У‰М˚В У·р‡˘‡ОЛТ¸ ·˚ ‚ МУО¸. ирЛ Т‰ВО‡ММ˚ı ФрВ‰ФУОУКВМЛflı ФУ‚ВрıМУТЪ¸ ЫрУ‚Мfl U(x,y,z) =c ‚ Н‡К‰УИ Т‚УВИ ЪУ˜НВ ЛПВВЪ Н‡Т‡ЪВО¸МЫ˛ ФОУТНУТЪ¸, ‡ ТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ
88
Л МУрП‡О¸ Н ФУ‚ВрıМУТЪЛ, НУЪУр‡fl, Н‡Н ЛБ‚ВТЪМУ, ЛПВВЪ НУУр‰ЛМ‡-
Ú˚ |
|
∂U |
, |
∂U |
Ë |
∂U |
, Ú.Â. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
∂y |
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
N = |
∂U(x,y,z) |
i+ |
∂U(x,y,z) |
j+ |
∂U(x,y,z) |
k . |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂z |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
||
|
ùÚÓÚ |
|
‚ВНЪУр |
̇Á˚‚‡ÂÚÒfl |
„р‡‰ЛВМЪУП |
Ò͇ÎflðÌÓ„Ó ÔÓÎfl |
|||||||||||||
U =U(x,y,z) Ë Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl gradU , Ú.Â. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
def ∂U |
r |
+ |
∂U |
|
r |
∂U |
r |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
gradU |
= |
∂x |
i |
∂y |
j + |
∂z |
k . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ „р‡‰ЛВМЪ ВТЪ¸ ‚ВНЪУрМ‡fl ı‡р‡НЪВрЛТЪЛН‡ ТН‡ОflрМУ„У ФУОfl. З ТЛОЫ ‚˚¯ВТН‡Б‡ММУ„У „р‡‰ЛВМЪ ТН‡ОflрМУ„У ФУОfl ФВрФВМ‰ЛНЫОflрВМ Н ФУ‚ВрıМУТЪЛ ЫрУ‚Мfl ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ. з‡ФУПМЛП,
˜ЪУ ФрУЛБ‚У‰М‡fl ТН‡ОflрМУ„У ФУОfl ФУ М‡Фр‡‚ОВМЛ˛ l
∂∂Ul = ∂∂Ux cosα + ∂∂Uy cos β + ∂∂Uz cosγ .
З Фр‡‚УИ ˜‡ТЪЛ Б‰ВТ¸ ТЪУЛЪ ТН‡ОflрМУВ ФрУЛБ‚В‰ВМЛВ ‚ВНЪУрУ‚ gradU Ë l0 , Ú.Â. ∂∂Ul = ÔðlgradU . лН‡ОflрМУВ ФрУЛБ‚В‰ВМЛВ ‚ВНЪУ- р‡ М‡ МВНУЪУр˚И УрЪ ПУКМУ УТП˚ТОЛЪ¸ Н‡Н ФрУВНˆЛ˛ ˝ЪУ„У ‚ВНЪУ- р‡ М‡ УрЪ, ТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, ∂∂Ul = ÔðlgradU . é˜Â‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ ˝Ú‡ ÔðÓ-
ЛБ‚У‰М‡fl ЛПВВЪ М‡Л·УО¸¯ВВ БМ‡˜ВМЛВ, ВТОЛ М‡Фр‡‚ОВМЛВ УТЛ l ТУ‚- Ф‡‰‡ВЪ Т М‡Фр‡‚ОВМЛВП „р‡‰ЛВМЪ‡, Ъ.В. ПУКМУ Т‰ВО‡Ъ¸ ‚˚‚У‰, ˜ЪУ ‚ М‡Фр‡‚ОВМЛЛ „р‡‰ЛВМЪ‡ ТН‡ОflрМУВ ФУОВ ЛПВВЪ М‡Л·УО¸¯Ы˛ ТНУрУТЪ¸ ЛБПВМВМЛfl. З˚˜ЛТОЛП ˝ЪЫ М‡Л·УО¸¯Ы˛ ТНУрУТЪ¸ ЛБПВМВМЛfl ТН‡ОflрМУ„У ФУОfl. ирЛМЛП‡fl ‚У ‚МЛП‡МЛВ, ˜ЪУ
|
|
|
|
l0 = gradU |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
‡ |
|
|
|
|
gradU |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ur |
ur |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ôðra |
=a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÔÓÎÛ˜ËÏ: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂ |
|
r0 |
|
|
|
gradU |
|
|
gradU |
|
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
U |
= (gradU ) l =gradU |
= |
|
|
|
|
|
|
= |
gradU |
. |
|||||||||
|
∂l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
gradU |
|
|
gradU |
|
|
|
||||||||||||||
|
̇˷ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
аЪ‡Н, ПУКМУ Т‰ВО‡Ъ¸ УНУМ˜‡ЪВО¸М˚И ‚˚‚У‰: ‚ М‡Фр‡‚ОВМЛЛ Т‚У- В„У „р‡‰ЛВМЪ‡ ТН‡ОflрМУВ ФУОВ ЛПВВЪ М‡Л·УО¸¯Ы˛ ТНУрУТЪ¸ ЛБПВМВМЛfl, Л ˝Ъ‡ ТНУрУТЪ¸ р‡‚М‡ ПУ‰ЫО˛ „р‡‰ЛВМЪ‡ ТН‡ОflрМУ„У ФУОfl.
89
ирЛПВр. С‡МУ ФУОВ ЪВПФВр‡ЪЫр T(x,y,z) = λ(x2 +y2 +z2 ) . з‡ИЪЛ М‡Л·УО¸¯Ы˛ ТНУрУТЪ¸ ЛБПВМВМЛfl ФУОfl T(x,y,z) ‚ ÚӘ͠M0 (1,1,3) .
ê¯ÂÌËÂ. ç‡È‰ÂÏ „ð‡‰ËÂÌÚ Ò͇ÎflðÌÓ„Ó ÔÓÎfl T(x,y,z) . ó‡ÒÚÌ˚Â
ФрУЛБ‚У‰М˚В ∂∂Tx , ∂∂Ty , ∂∂Tz ð‡‚Ì˚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ
∂∂Tx = 2λx , ∂∂Ty = 2λy, ∂∂Tz = 2λz . r r
gradT = 2λxi + 2λyj + 2λzk ,
gradT = (2λx)2 +(2λy)2 +(2λz)2 = 2 λ x2 +y2 +z2
Ç ÚӘ͠M0 М‡Л·УО¸¯‡fl ТНУрУТЪ¸ ЛБПВМВМЛfl ФУОfl ТУ‚Ф‡‰‡ВЪ ТУ БМ‡˜ВМЛВП ПУ‰ЫОfl „р‡‰ЛВМЪ‡ ТН‡ОflрМУ„У ФУОfl T ‚ ÚӘ͠M0 , Ú.Â. ð‡‚̇
gradT
M0 = 2 λ 12 +12 +32 = 2 λ 11 .
é˜Â‚ˉÌ˚ Ú‡ÍÊ ÒÎÂ‰Û˛˘Ë ҂ÓÈÒÚ‚‡ „ð‡‰ËÂÌÚ‡ Ò͇ÎflðÌÓ„Ó ÔÓÎfl:
1)grad(cU) =c gradU , c =const ;
2)grad(U +V ) =gradU +gradV ;
3)grad(U V) =U gradV +V gradU .
З ˝ЪУП МВЪрЫ‰МУ Ы·В‰ЛЪ¸Тfl Т‡ПУТЪУflЪВО¸МУ.
СОfl НУПФ‡НЪМУИ Б‡ФЛТЛ „р‡‰ЛВМЪ‡ ТН‡ОflрМУ„У ФУОfl ‚‚В‰ВП ‚
р‡ТТПУЪрВМЛВ ТЛП‚УОЛ˜ВТНЛИ ‚ВНЪУр – УФВр‡ЪУр Й‡ПЛО¸ЪУМ‡ (‚ВНЪУр "М‡·О‡"), НУЪУр˚И У·УБМ‡˜‡ВЪТfl Ъ‡Н: " " Л р‡‚ВМ ФУ УФрВ‰ВОВМЛ˛
= ∂∂x i+ ∂∂x j+ ∂∂x k ,
Ъ.В. flТМУ, ˜ЪУ Т ФУПУ˘¸˛ УФВр‡ЪУр‡ Й‡ПЛО¸ЪУМ‡ „р‡‰ЛВМЪ ТН‡ОflрМУ„У ФУОfl ПУКМУ Б‡ФЛТ‡Ъ¸ ТОВ‰Ы˛˘ЛП У·р‡БУП:
gradU(x,y,z) = U(x,y,z) .
З Б‡НО˛˜ВМЛВ ˝ЪУ„У Ф‡р‡„р‡Щ‡ рВ¯ЛП В˘В У‰ЛМ ФрЛПВр. ирЛПВр. з‡ИЪЛ „р‡‰ЛВМЪ ФУЪВМˆЛ‡О‡ ˝ОВНЪрУТЪ‡ЪЛ˜ВТНУ„У ФУОfl,
Ó·ð‡ÁÓ‚‡ÌÌÓ„Ó ÚӘ˜Ì˚Ï Á‡ðfl‰ÓÏ
U = |
|
er |
= |
e |
. |
|
x2 +y2 +z2 |
||||
|
|
r |
|
|
90