Госы 5к Надя / лекции_3 / kr-int

з‡И‰ВП ‚˚р‡КВМЛВ ‰Оfl ˝ЪУИ р‡·УЪ˚ Т ФУПУ˘¸˛ НрЛ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ‚ЪУрУ„У рУ‰‡ (рЛТ. 2.2.2). иЫТЪ¸ α – Ы„УО ПВК‰Ы М‡- Фр‡‚ОВМЛВП Н‡Т‡ЪВО¸МУИ, ТУ‚Ф‡‰‡˛˘ЛП УЪ A Í B Ë ÓÒ¸˛ Ox ; β –

ПУКМУ ЛТЪУОНУ‚‡Ъ¸ Н‡Н р‡·УЪЫ ТЛО˚, ЛПВ˛˘ВИ Т‚УЛПЛ ФрУВНˆЛflПЛ М‡ НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚В УТЛ P(x,y) Ë Q(x,y), ФУ ФВрВПВ˘ВМЛ˛ П‡ЪВрЛ-

‡Î¸ÌÓÈ ÚÓ˜ÍË ‚‰Óθ ÍðË‚ÓÈ AB ËÁ ÚÓ˜ÍË A ‚ ÚÓ˜ÍÛ B.

§3. оУрПЫО‡ ЙрЛМ‡

иЫТЪ¸ Б‡‰‡М‡ МВНУЪУр‡fl У·О‡ТЪ¸ D , У„р‡МЛ˜ВММ‡fl ТМЛБЫ НрЛ‚УИ y =ϕ(x) , Ò‚ÂðıÛ – ÍðË‚ÓÈ y = Φ(x) , ‡ Т ·УНУ‚ – УЪрВБН‡ПЛ BC Ë

AD , Ô‡ð‡ÎÎÂθÌ˚ÏË ÓÒË Oy (рЛТ. 2.3.1), Л ФЫТЪ¸ ‚ ˝ЪУИ У·О‡ТЪЛ УФрВ‰ВОВМ‡ МВФрВр˚‚М‡fl ЩЫМНˆЛfl P(x,y) , ЛПВ˛˘‡fl МВФрВр˚‚МЫ˛ ˜‡ТЪМЫ˛ ФрУЛБ‚У‰МЫ˛ Py′(x,y) .

61

ë‰рЫ„УИ ТЪУрУМ˚, ЛМЪВ„р‡О ФУ НУМЪЫрЫ У·О‡ТЪЛ D :

∫P(x,y)dx = ∫ P(x,y)dx + ∫ P(x,y)dx + ∫ P(x,y)dx + ∫ P(x,y)dx =

= ∫b P[x,ϕ(x)]dx − ∫b P[x,Φ(x)]dx.

ир‡‚˚В ˜‡ТЪЛ ‰‚Ыı ФУТОВ‰МЛı ЩУрПЫО УЪОЛ˜‡˛ЪТfl ЪУО¸НУ БМ‡-

ÍÓÏ, ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ,

∫∫∂P∂(xy,y)dxdy = − ∫ P(x,y)dx .

D KD

êËÒ. 2.3.2

62

зВЪрЫ‰МУ ‰УН‡Б‡Ъ¸ Ъ‡НКВ, ˜ЪУ ˝Ъ‡ ЩУрПЫО‡ ТФр‡‚В‰ОЛ‚‡ ‰Оfl О˛- ·УИ У·О‡ТЪЛ, р‡ТФ‡‰‡˛˘ВИТfl М‡ НУМВ˜МУВ ˜ЛТОУ ˜‡ТЪВИ, ЛБУ·р‡- КВММ˚ı М‡ рЛТ. 2.3.1 Л 2.3.2.

ÖÒÎË ‚ ӷ·ÒÚË D УФрВ‰ВОВМ‡ Л МВФрВр˚‚М‡ ЩЫМНˆЛfl Q(x,y),

ЛПВ˛˘‡fl МВФрВр˚‚МЫ˛ ˜‡ТЪМЫ˛ ФрУЛБ‚У‰МЫ˛ ∂Q(x,y) , ÚÓ ÒÓ‚Âð-

∂x

¯ВММУ ‡М‡ОУ„Л˜МУ ПУКМУ ‰УН‡Б‡Ъ¸ ‚ЪУрЫ˛ П‡ОЫ˛ ЩУрПЫОЫ ЙрЛ-

̇:

∫∫∂Q∂(xx,y)dxdy = ∫ Q(x,y)dy.

D KD

З˚˜ЛЪ‡fl ФУ˜ОВММУ ЛБ ‚ЪУрУИ ФВр‚Ы˛ П‡ОЫ˛ ЩУрПЫОЫ ЙрЛМ‡, ФУОЫ˜ЛП Ъ‡НЫ˛ ЩУрПЫОЫ:

щЪ‡ ЩУрПЫО‡ М‡Б˚‚‡ВЪТfl ·УО¸¯УИ ЩУрПЫОУИ ЙрЛМ‡ ЛОЛ ФрУТЪУ ЩУрПЫОУИ ЙрЛМ‡. é̇ ÛÒڇ̇‚ÎË‚‡ÂÚ Ò‚flÁ¸ ÏÂÊ‰Û ‰‚ÓÈÌ˚Ï ËÌÚÂ- „ð‡ÎÓÏ ÔÓ Ó·Î‡ÒÚË D Л НрЛ‚УОЛМВИМ˚П ЛМЪВ„р‡ОУП ФУ НУМЪЫрЫ ˝ЪУИ У·О‡ТЪЛ.

б‡ПВ˜‡МЛВ (У ‚˚˜ЛТОВМЛЛ ФОУ˘‡‰Л У·О‡ТЪЛ Т ФУПУ˘¸˛ НрЛ- ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡). иУОУКЛП ‚ ЩУрПЫОВ ЙрЛМ‡ P(x,y) = −y , Q(x,y) =x ÚÓ„‰‡ ÔÓÎÛ˜ËÏ

∂Q(x,y) − ∂P(x,y) =1+1 = 2. ∂x ∂y

SD = 12 ∫ xdy −ydx .

KD

иУ ˝ЪУИ ЩУрПЫОВ ПУКМУ ‚˚˜ЛТОЛЪ¸ ФОУ˘‡‰¸ У·О‡ТЪЛ D , У„р‡- МЛ˜ВММУИ НУМЪЫрУП KD .

ирЛПВр. З˚˜ЛТОЛЪ¸ ФОУ˘‡‰¸, У„р‡МЛ˜ВММЫ˛ НрЛ‚УИ

x=acost

y=bsint .

63

ê¯ÂÌËÂ. б‡ФЛ¯ВП Ф‡р‡ПВЪрЛ˜ВТНЛВ Ыр‡‚МВМЛfl ‰‡ММУИ НрЛ‚УИ Ъ‡Н

x = cost a .

yb = sint

ЗУБ‚У‰fl ‚ Н‚‡‰р‡Ъ Л ТНО‡‰˚‚‡fl ФУ˜ОВММУ ˝ЪЛ Ыр‡‚МВМЛfl, ФУОЫ- ˜ЛП Н‡МУМЛ˜ВТНУВ Ыр‡‚МВМЛВ ˝ООЛФТ‡

−b

êËÒ. 2.3.3

СОfl ‚˚˜ЛТОВМЛfl ФОУ˘‡‰Л ˝ООЛФТ‡, У‰М‡НУ, Ы‰У·МВВ УТЪ‡‚ЛЪ¸ Ф‡р‡ПВЪрЛ˜ВТНЛВ Ыр‡‚МВМЛfl. й˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ Ф‡р‡ПВЪр t ÏÂÌflÂÚÒfl ÓÚ 0 ‰Ó 2π (ÔðË ˝ÚÓÏ ÚÂÍÛ˘‡fl ÚӘ͇ M(x,y) У·В„‡ВЪ ФУОМ˚И НУМЪЫр ˝ООЛФТ‡). м˜ЛЪ˚‚‡fl, ˜ЪУ xt′ = −asint , yt′ =bcost , ÔÓÎÛ˜ËÏ:

=1ab2∫π dt =πab.

2 0

н.В. П˚ ФУОЫ˜ЛП, ˜ЪУ ФОУ˘‡‰¸ ˝ООЛФТ‡

S =πab Í‚. ‰ .

èðË a =b ФУОЫ˜‡ВП ЛБ‚ВТЪМЫ˛ ЩУрПЫОЫ ‰Оfl ФОУ˘‡‰Л НрЫ„‡

S =πr2 ,

„‰Â Ó·ÓÁ̇˜ÂÌÓ a =b =r .

64

§4. дрЛ‚УОЛМВИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚, МВ Б‡‚ЛТfl˘ЛВ УЪ ФЫЪЛ ЛМЪВ„рЛрУ‚‡МЛfl

èÛÒÚ¸ ÙÛÌ͈ËË P(x,y) Ë Q(x,y) УФрВ‰ВОВМ˚ Л МВФрВр˚‚М˚ ‚ МВНУЪУрУИ УЪНр˚ЪУИ У·О‡ТЪЛ S Л ЛПВ˛Ъ ‚ МВИ МВФрВр˚‚М˚В ˜‡ТЪ-

М˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В ∂Q(x,y) Ë ∂P(x,y) . å˚ ·Û‰ÂÏ ð‡ÒÒχÚðË‚‡Ú¸

∂x ∂y

НрЛ‚˚В, ˆВОЛНУП ОВК‡˘ЛВ ‚ У·О‡ТЪЛ S Л ‰УФЫТН‡˛˘ЛВ ФрВ‰ТЪ‡‚- ОВМЛВ

x=ϕ(t)

y=ψ(t) ,

Ôð˘ÂÏ ÙÛÌ͈ËË ϕ(t) Ë ψ(t) МВФрВр˚‚М˚ Л ЛПВ˛Ъ МВФрВр˚‚М˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В ϕ′(t) Ë ψ′(t) ÔðË Î˛·ÓÏ t [p,q] ӷ·ÒÚË S Л ‰УФЫТ- Н‡˛˘ЛВ ФрВ‰ТЪ‡‚ОВМЛВ x =ϕ(t) , y =ψ(t) , Ôð˘ÂÏ ÙÛÌ͈ËË ϕ(t) Ë

I = ∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy Ì Á‡‚ËÒËÚ ÓÚ ÔÛÚË ËÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌËfl,

AB

ВТОЛ рВБЫО¸Ъ‡Ъ˚ ЛМЪВ„рЛрУ‚‡МЛfl ФУ О˛·˚П НрЛ‚˚П, ТУВ‰ЛМfl˛- ˘ЛП ЪУ˜НЛ A Ë B, ÒÓ‚Ô‡‰‡˛Ú, Ú.Â. ÂÒÎË

∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy = ∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy (ðËÒ. 2.4.1).

AMB ANB

á‡Ï˜‡ÌËÂ. àÌÚ„ð‡Î˚, Ì Á‡‚ËÒfl˘Ë ÓÚ ÔÛÚË ËÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌËfl, ËÌÓ„‰‡ Á‡ÔËÒ˚‚‡˛Ú Ú‡Í:

I = B∫P(x,y)dx +Q(x,y)dy ,

A

„‰Â A(x0 ,y0 ) Ë B(x1,y1 ) , ‡ ФУ‰ НрЛ‚УИ, ФУ НУЪУрУИ ‚В‰ВЪТfl ЛМЪВ„рЛ-

рУ‚‡МЛВ, ФУМЛП‡ВП О˛·Ы˛ НрЛ‚Ы˛ AB , ОЛ¯¸ ·˚ М‡ МВИ МВ М‡рЫ- ¯‡ОЛТ¸ ЫТОУ‚Лfl ЪВУрВП˚ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl НрЛ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡-

·.

y

N

B

A

M S

êËÒ. 2.4.1

65

йФрВ‰ВОВМЛВ 2. ÉÓ‚ÓðflÚ, ˜ÚÓ ЛМЪВ„р‡О ФУ Б‡ПНМЫЪУПЫ НУМЪЫрЫ р‡‚ВМ МЫО˛, ВТОЛ ‰Оfl О˛·У„У Б‡ПНМЫЪУ„У Т‡ПУМВФВрВТВН‡˛- ˘В„УТfl НУМЪУр‡ L, ˆВОЛНУП ОВК‡˘В„У ‚ S , Ó͇Á˚‚‡ÂÚÒfl

∫P(x,y)dx +Q(x,y)dy = 0 .

L

ãÂÏχ. йФрВ‰ВОВМЛfl 1 Л 2 ˝Н‚Л‚‡ОВМЪМ˚.

1. СУН‡КВП, ˜ЪУ ВТОЛ НрЛ‚УОЛМВИМ˚И ЛМЪВ„р‡О МВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ФЫЪЛ ЛМЪВ„рЛрУ‚‡МЛfl, ЪУ ФУ О˛·УПЫ Б‡ПНМЫЪУПЫ НУМЪЫрЫ УМ р‡‚ВМ МЫО˛ (рЛТ. 2.4.1).

СВИТЪ‚ЛЪВО¸МУ ФЫТЪ¸

∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy = ∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy .

AMB ANB

éÚÒ˛‰‡ ÒΉÛÂÚ:

∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy − ∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy = 0

∫P(x,y)dx +Q(x,y)dy = 0 .

L

2. ЗЪУрУВ ЫЪ‚ВрК‰ВМЛВ: ВТОЛ ЛМЪВ„р‡О ФУ Б‡ПНМЫЪУПЫ НУМЪЫрЫ р‡‚ВМ МЫО˛, ЪУ УМ МВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ФЫЪЛ ЛМЪВ„рЛрУ‚‡МЛfl, ‰УН‡Б˚‚‡ВЪТfl ‡М‡ОУ„Л˜МУ, ‰Оfl ˜В„У ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ р‡Б·ЛЪ¸ Б‡ПНМЫЪ˚И НУМЪЫр L ̇ ‰‚‡ Û˜‡ÒÚ͇

I = ∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy = 0 Ì Á‡‚ËÒÂÎ ÓÚ ÔÛÚË ËÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌËfl,

ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó.

ÑÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓÒÚ¸. СУФЫТЪЛП, ˜ЪУ ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ У·О‡ТЪЛ S ‚˚- ФУОМВМУ ЫТОУ‚ЛВ (1). ЗУБ¸ПВП Б‡ПНМЫЪ˚И Т‡ПУМВФВрВТВН‡˛˘ЛИТfl

66

НУМЪЫр K , ÎÂʇ˘ËÈ ‚ S Ë Ó„ð‡Ì˘˂‡˛˘ËÈ Ó·Î‡ÒÚ¸ D (ðËÒ. 2.4.2).

y

B

Lρ D

M0 ρ

A ρ L

S

êËÒ. 2.4.2

З ТЛОЫ ЩУрПЫО˚ ЙрЛМ‡:

н‡Н Н‡Н ‚˚ФУОМВМУ ЫТОУ‚ЛВ (1), ЪУ ∫P(x,y)dx +Q(x,y)dy = 0 , ‡

∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy Ì Á‡‚ËÒËÚ ÓÚ ÔÛÚË ËÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌËfl.

AB

зВУ·ıУ‰ЛПУТЪ¸. СУФЫТЪЛП, ˜ЪУ ЫТОУ‚ЛВ (1) МВ ‚˚ФУОМВМУ ‚Т˛‰Ы ‚

ТФр‡‚В‰ОЛ‚‡ ЩУрПЫО‡ ЙрЛМ‡, МУ Ъ.Н. ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ У·О‡ТЪЛ ρ :

∂∂Qx − ∂∂Py > 0 , ЪУ ‰‚УИМУИ ЛМЪВ„р‡О

67

∫P(x,y)dx +Q(x,y)dy ≠ 0.

Lρ

нВУрВП‡ ‰УН‡Б‡М‡.

нВУрВП‡ 2. ÖÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ӷ·ÒÚË S ÙÛÌ͈ËË P(x,y) Ë Q(x,y) МВФрВр˚‚М˚ Л ЛПВ˛Ъ МВФрВр˚‚М˚В ˜‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В

ФУОМ˚П ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡ОУП МВФрВр˚‚МУИ ЩЫМНˆЛЛ

(x,y)

Φ(x,y) = ∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy ,

(a,b)

Ú.Â. dΦ(x,y) =P(x,y)dx +Q(x,y)dy .

ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó. èÛÒÚ¸ ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ӷ·ÒÚË S ‚˚ФУОМВМУ ЫТОУ‚ЛВ (1). б‡НрВФЛП ЪУ˜НЫ A(a,b) Ë ÔÛÒÚ¸ M(x,y) – ͇͇fl-

ÌË·Û‰¸ ÚӘ͇ ӷ·ÒÚË S . íÓ„‰‡ ∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy Á‡‚ËÒËÚ Ó

AM

ÚÓ˜ÍË M , МУ МВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ОЛМЛЛ AM .

щЪУ УБМ‡˜‡ВЪ, ˜ЪУ М‡ФЛТ‡ММ˚И ЛМЪВ„р‡О fl‚ОflВЪТfl ЩЫМНˆЛВИ ФВрВПВММ˚ı x Ë y . é·ÓÁ̇˜ËÏ Â ˜ÂðÂÁ Φ(x,y) , ЪУ„‰‡ ПУКМУ М‡ФЛ-

Ò‡Ú¸:

(x,y)

Φ(x,y) = ∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy .

(a,b)

иУФрУ·ЫВП ФрУ‰ЛЩЩВрВМˆЛрУ‚‡Ъ¸ ЩЫМНˆЛ˛ Φ(x,y) ФУ ФВрВПВММУИ x (ðËÒ. 2.4.3).

y

M(x,y) x

N(x + x,y)

A S

êËÒ. 2.4.3

68

ÑÎfl ˝ÚÓ„Ó, ËÒıÓ‰fl ËÁ ÚÓ˜ÍË M(x,y) , ‰‡‰ËÏ ÔðËð‡˘ÂÌË x , ‚Бfl‚ В„У ТЪУО¸ П‡О˚П, ˜ЪУ·˚ УЪрВБУН MN , ÒÓ‰ËÌfl˛˘ËÈ ÚÓ˜ÍË M(x,y) Ë N(x + x,y) , ˆВОЛНУП ОВК‡О ‚ У·О‡ТЪЛ S , ÚÓ„‰‡ ·Û‰ÂÚ

(x+Δx,y)

Φ(x + x,y) = ∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy =

(x,y)

З˚р‡БЛП НрЛ‚УОЛМВИМ˚И ЛМЪВ„р‡О, ТЪУfl˘ЛИ ‚ Фр‡‚УИ ˜‡ТЪЛ, ˜ВрВБ УФрВ‰ВОВММ˚И, Ы˜ЛЪ˚‚‡fl, ˜ЪУ М‡ УЪрВБНВ MN y ФУТЪУflМВМ, Ъ.В. dy = 0 , ‡ x [x,x + x]. íÓ„‰‡ ÔÓÎÛ˜ËÏ ΔΦ(x,y) = x+Δ∫x P(x,y)dx .

x

ирЛПВМЛП Н УФрВ‰ВОВММУПЫ ЛМЪВ„р‡ОЫ, ТЪУfl˘ВПЫ ТФр‡‚‡, ЪВУрВПЫ У ТрВ‰МВП, ЪУ„‰‡ ·Ы‰ВЪ Φ(x,y) =P(ξ,y) x , Ôð˘ÂÏ

Ú‡ÍÊ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ, Ôð˘ÂÏ ∂Φ(x,y) =Q(x,y) . ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, ÙÛÌÍ-

∂y

dΦ(x,y) =P(x,y)dx +Q(x,y)dy .

ëΉÒÚ‚ËÂ. иУ ФрВ‰ФУОУКВМЛ˛ ЪВУрВП˚ P(x,y) Ë Q(x,y) МВФрВр˚‚М˚, ТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ МВФрВр˚‚М˚ Φx′(x,y) Ë Φy′(x,y) , ‡ ЪУ„‰‡ МВФрВр˚‚М‡ Л Т‡П‡ ЩЫМНˆЛfl Φ(x,y) .

á‡Ï˜‡ÌËÂ. СУН‡Б‡ММ‡fl ЪВУрВП‡ ‰‡ВЪ М‡П ‚УБПУКМУТЪ¸ М‡ıУ‰ЛЪ¸ ЩЫМНˆЛ˛ Φ(x,y) ФУ ВВ ФУОМУПЫ ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡ОЫ Т ФУПУ˘¸˛ НрЛ‚У- ОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡. СОfl ˝ЪУ„У МЫКМУ Б‡НрВФЛЪ¸ Н‡НЫ˛-МЛ·Ы‰¸

69

ÚÓ˜ÍÛ (a,b) , ‡ Б‡ЪВП, ‚Бfl‚ ФрУЛБ‚УО¸МЫ˛ ЪУ˜НЫ (x,y) , ТУВ‰ЛМЛЪ¸ Лı Н‡НЫ˛-МЛ·Ы‰¸ ФрУТЪУИ НрЛ‚УИ L Л ‚˚˜ЛТОЛЪ¸ Φ(x,y) =

(x,y)

= ∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy , Î˯¸ ·˚ ÚÓθÍÓ Ì‡ ˝ÚÓÈ ÍðË‚ÓÈ ·˚ÎË

(a,b)

‚˚ФУОМВМ˚ ЫТОУ‚Лfl ЪВУрВП˚ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl НрЛ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ- „р‡О‡ ‚ЪУрУ„У рУ‰‡.

СУН‡Б‡ММ˚В ‚˚¯В ‰‚В ЪВУрВП˚ ФУБ‚УОfl˛Ъ ТЩУрПЫОЛрУ‚‡Ъ¸ Ъ‡- НЫ˛ У·˘Ы˛ ЪВУрВПЫ.

нВУрВП‡. ÖÒÎË ‚ ӷ·ÒÚË S Б‡‰‡М˚ МВФрВр˚‚М˚В ЩЫМНˆЛЛ P(x,y) Ë Q(x,y), ЛПВ˛˘ЛВ МВФрВр˚‚М˚В ˜‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В

ÍðË‚ÓÈ AB .

2. д‡НУ‚ ·˚ МЛ ·˚О Б‡ПНМЫЪ˚И Т‡ПУМВФВрВТВН‡˛˘ЛИТfl НУМЪЫр L, ЛПВВП:

∫P(x,y)dx +Q(x,y)dy = 0 .

4. З˚р‡КВМЛВ P(x,y)dx +Q(x,y)dy ВТЪ¸ ФУОМ˚И ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡О

ФУОМ˚П ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡ОУП МВНУЪУрУИ ЩЫМНˆЛЛ Л М‡ИЪЛ ВВ Т ФУПУ- ˘¸˛ НрЛ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ‚ЪУрУ„У рУ‰‡.

ê¯ÂÌËÂ. ирВК‰В ‚ТВ„У, Ы·В‰ЛПТfl, ˜ЪУ ФрЛ‚В‰ВММУВ ‚˚р‡КВМЛВ fl‚ОflВЪТfl ФУОМ˚П ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡ОУП МВНУЪУрУИ ЩЫМНˆЛЛ Φ(x,y) .

70