Госы 5к Надя / лекции_3 / kr-int
.pdf
|
∂Q(x,y) |
= − |
|
2y |
||
|
|
∂x |
|
|
|
(x +y2 )2 |
ÇˉÌÓ, ˜ÚÓ |
∂P(x,y) |
= |
∂Q(x,y) |
|||
∂y |
|
|
∂x |
|||
|
|
|
|
|
||
, |
∂P(x,y) |
= − |
2y |
. |
|
∂y |
(x +y2 )2 |
||||
|
|
|
, Ú.Â. ‰ÂÈÒÚ‚ËÚÂθÌÓ ‰‡ÌÌÓ ‚˚ð‡-
КВМЛВ fl‚ОflВЪТfl ФУОМ˚П ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡ОУП МВНУЪУрУИ ЩЫМНˆЛЛ Φ(x,y) , Ú.Â.
dΦ(x,y) = xdx+y2 + x2ydy+y2 .
ç‡È‰ÂÏ ÙÛÌÍˆË˛ Φ(x,y) , ‚˚˜ЛТОЛ‚ НрЛ‚УОЛМВИМ˚И ЛМЪВ„р‡О ФУ НрЛ‚УИ ABC , ТУТЪУfl˘ВИ ЛБ ‰‚Ыı УЪрВБНУ‚: AB Ë BC , Ú.Â. ·Û- ‰ÂÚ:
(x,1) dx |
|
2ydy |
(x,y) dx |
|
2ydy |
|
||
Φ(x,y) = (1∫,1) |
|
+ |
|
+ (x∫,1) |
|
+ |
|
(ðËÒ. 2.4.5.). |
x +y2 |
x +y2 |
x +y2 |
x +y2 |
|||||
y
C(x,y)
1 |
A(1,1) |
B(x,1) |
0 |
1 |
x |
|
êËÒ. 2.4.5 |
|
б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ М‡ AB : y =1, dy = 0 , x [1,x];
̇ BC : x =const , dx = 0 , y [1,y],
ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ:
|
|
|
|
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Φ(x,y) = ∫ dx + ∫ 2ydy2 |
|
|
= ln x +1 1x + ln x +y2 |
|
= |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
1 |
|
|
x +1 |
|
1 |
x +y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= ln |
|
x +1 |
|
−ln 2 + ln |
|
x +y2 |
|
−ln |
|
x +1 |
|
= ln |
|
x +y2 |
|
−ln 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
éÚ‚ÂÚ: Φ(x,y) = ln |
|
x +y2 |
|
+c , „‰Â c – ФрУЛБ‚УО¸М‡fl ФУТЪУflММ‡fl. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ ФрЛ рВ¯ВМЛЛ ‰‡ММУ„У ФрЛПВр‡ П˚ МВ ЛПВВП Фр‡‚‡ ФУПВТЪЛЪ¸ ЪУ˜НЫ A ‚ ̇˜‡ÎÓ ÍÓÓð‰Ë̇Ú, Ú.Í. ‚ ˝ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â ÔÓ‰˚Ì-
71
ЪВ„р‡О¸М‡fl ЩЫМНˆЛfl ·Ы‰ВЪ ФрВЪВрФВ‚‡Ъ¸ р‡Бр˚‚, Ъ.В. М‡рЫ¯ЛЪТfl ЫТОУ‚ЛВ ЪВУрВП˚ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl УФрВ‰ВОВММУ„У ЛМЪВ„р‡О‡.
á‡Ï˜‡ÌË 1. б‡ПВЪЛП В˘В, ˜ЪУ ВТОЛ ФрЛ ЛМЪВ„рЛрУ‚‡МЛЛ ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУ„У Ыр‡‚МВМЛfl P(x,y)dx +Q(x,y)dy = 0 Ó͇Á˚‚‡ÂÚÒfl,
˜ÚÓ |
‚˚ФУОМВМУ ЫТОУ‚ЛВ |
∂P(x,y) |
= |
∂Q(x,y) |
, ÚÓ ˝ÚÓ „Ó‚ÓðËÚ Ó ÚÓÏ, |
|
∂y |
∂x |
|||||
|
|
|
|
|||
˜ÚÓ |
ОВ‚‡fl ˜‡ТЪ¸ ‰‡ММУ„У ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУ„У Ыр‡‚МВМЛfl ФрВ‰ТЪ‡‚- |
|||||
ОflВЪ ТУ·УИ ФУОМ˚И ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡О МВНУЪУрУИ ЩЫМНˆЛЛ Φ(x,y) , Ú.Â.
P(x,y)dx +Q(x,y)dy = =dΦ(x,y) .
З ˝ЪУП ТОЫ˜‡В ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ Ыр‡‚МВМЛВ М‡Б˚‚‡ВЪТfl У·˚НМУ- ‚ВММ˚П ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸М˚П Ыр‡‚МВМЛВП ‚ ФУОМ˚ı ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡- О‡ı.
й˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ ПУКМУ ОВ„НУ М‡ИЪЛ У·˘ЛИ ЛМЪВ„р‡О ˝ЪУ„У Ыр‡‚МВМЛfl, ‡ ЛПВММУ: Φ(x,y) =c, ‡ ÙÛÌ͈Ëfl Φ(x,y) М‡ıУ‰ЛЪТfl, Н‡Н ФУН‡- Б‡МУ ‚˚¯В, Т ФУПУ˘¸˛ НрЛ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ‚ЪУрУ„У рУ‰‡, Ъ.В.
(x,y)
Φ(x,y) = ∫ P(x,y)dx +Q(x,y)dy .
(a,b)
á‡Ï˜‡ÌË 2. еУКМУ ‰УН‡Б‡Ъ¸, ˜ЪУ ‰Оfl ЪУ„У, ˜ЪУ·˚ НрЛ‚УОЛМВИМ˚И ЛМЪВ„р‡О
∫P(x,y,z)dx +Q(x,y,z)dy +R(x,y,z)dz
L
‚ МВНУЪУрУИ У·О‡ТЪЛ S Ì Á‡‚ËÒÂÎ ÓÚ ÔÛÚË ËÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌËfl, ÌÂÓ·- ıÓ‰ËÏÓ, ˜ÚÓ·˚ ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠˝ÚÓÈ Ó·Î‡ÒÚË ‚˚ÔÓÎÌflÎËÒ¸ ÛÒÎÓ‚Ëfl
∂P(x,y,z) |
= |
∂Q(x,y,z) |
|
, |
|
∂Q(x,y,z) |
= |
∂R(x,y,z) |
, |
||
∂y |
|
∂x |
|
∂z |
∂y |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
∂R(x,y,z) |
= |
∂P(x,y,z) |
|
, |
|
|
||
|
|
|
∂x |
|
∂z |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ÔðË ˝ÚÓÏ ÙÛÌ͈ËË P(x,y,z) , Q(x,y,z)d Ë R(x,y,z) ФрВ‰ФУО‡„‡˛Ъ- Тfl МВФрВр˚‚М˚ПЛ Л ЛПВ˛˘ЛПЛ МВФрВр˚‚М˚В ЫН‡Б‡ММ˚В ˜‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В ‚Т˛‰Ы ‚ S , ‡ ̇ ÍðË‚ÓÈ L ‚˚ФУОМВМ˚ ЫТОУ‚Лfl ЪВУрВ- П˚ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl НрЛ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ‚ЪУрУ„У рУ‰‡.
72
É·‚‡ 3
иУ‚ВрıМУТЪМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚
§1. иУ‚ВрıМУТЪМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ I рУ‰‡
йФрВ‰ВОВМЛВ. èÛÒÚ¸ S – Н‚‡‰рЛрЫВП‡fl ФУ‚ВрıМУТЪ¸, ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ НУЪУрУИ УФрВ‰ВОВМ‡ ЩЫМНˆЛfl F(x,y,z) .
ê‡ÁÓ·¸ÂÏ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ S ТВЪ¸˛ ФрУТЪ˚ı НрЛ‚˚ı М‡ fl˜ВИНЛ S1 ,
S2 , ..., Sn Ò ÔÎÓ˘‡‰flÏË S1 , S2 , ..., Sn Ë ‰Ë‡ÏÂÚð‡ÏË d1 , d2 ,
..., dn . з‡Л·УО¸¯ЛИ ЛБ ‰Л‡ПВЪрУ‚ ˜‡ТЪЛ˜М˚ı fl˜ВВН dk Ó·ÓÁ̇˜ËÏ ˜ÂðÂÁ λ Ë ·Û‰ÂÏ Ì‡Á˚‚‡Ú¸ Â„Ó ð‡Ì„ÓÏ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl.
Ç Í‡Ê‰ÓÈ ˜‡ÒÚ˘ÌÓÈ fl˜ÂÈÍ Sk ‚УБ¸ПВП ФрУЛБ‚УО¸МЫ˛ ЪУ˜НЫ Mk (xk ,yk ,zk ) Л ‚˚˜ЛТОЛП ‚ МВИ БМ‡˜ВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ F(xk ,yk ,zk ).
мПМУКЛП F(xk ,yk ,zk ) ̇ ÔÎÓ˘‡‰¸ fl˜ÂÈÍË |
Sk Ë ÒÓÒÚ‡‚ËÏ ËÌÚÂ- |
„р‡О¸МЫ˛ ТЫППЫ |
|
n |
|
σn = ∑F(xk ,yk ,zk ) |
Sk . |
k=1 |
|
аБПВО¸˜‡fl ‰рУ·ОВМЛВ Ъ‡НЛП У·р‡БУП, ˜ЪУ·˚ р‡М„ ‰рУ·ОВМЛfl ТЪрВПЛОТfl Н МЫО˛, ·Ы‰ВП ЛТН‡Ъ¸ ФрВ‰ВО
I = limσn .
n→∞
λ→0
ЦТОЛ ˝ЪУЪ ФрВ‰ВО ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ, МВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ТФУТУ·‡ р‡Б·ЛВМЛfl ФУ‚ВрıМУТЪЛ S ̇ fl˜ÂÈÍË Ë ‚˚·Óð‡ ÚÓ˜ÂÍ Mk (xk ,yk ,zk ) , ÚÓ ÓÌ
̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ФУ‚ВрıМУТЪМ˚П ЛМЪВ„р‡ОУП ФВр‚У„У рУ‰‡ ÓÚ ÙÛÌ͈ËË F(x,y,z) ФУ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S Ë Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl Ú‡Í:
I = ∫∫F(x,y,z)dS .
S
нВУрВП‡ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl ФУ‚ВрıМУТЪЛ ЛМЪВ„р‡О‡ ФВр‚У„У рУ- ‰‡. ÖÒÎË ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ S Б‡‰‡М‡ Ыр‡‚МВМЛВП z = f(x,y) , Ôð˘ÂÏ
ÙÛÌ͈Ëfl f(x,y) УФрВ‰ВОВМ‡ Л МВФрВр˚‚М‡ ‚ ФрУТЪУИ У·О‡ТЪЛ D ФОУТНУТЪЛ xOy Л ЛПВВЪ ‚ ˝ЪУИ У·О‡ТЪЛ МВФрВр˚‚М˚В ˜‡ТЪМ˚В ФрУ-
ËÁ‚Ó‰Ì˚ p(x,y) = |
∂f(x,y) |
Ë q(x,y) = |
∂f(x,y) |
, Ë ÂÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚÓ˜- |
|
∂x |
∂y |
||||
|
|
|
|||
НВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S ÙÛÌ͈Ëfl F(x,y,z) |
МВФрВр˚‚М‡, ЪУ ЪУ„‰‡ ФУ‚Врı- |
||||
73
МУТЪМ˚И ЛМЪВ„р‡О ФВр‚У„У рУ‰‡ УЪ ЩЫМНˆЛЛ F(x,y,z) ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ë
‚˚р‡К‡ВЪТfl ˜ВрВБ ‰‚УИМУИ ЛМЪВ„р‡О Ъ‡Н:
∫∫F(x,y,z)dS = ∫∫F[x,y, f(x,y)] p2 (x,y) +q2 (x,y) +1 dxdy
S S
(·ÂÁ ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚‡).
зВ ·Ы‰ВП ФВрВ˜ЛТОflЪ¸ Т‚УИТЪ‚‡ ФУ‚ВрıМУТЪМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ФВр‚У- „У рУ‰‡, Ъ.Н. УМЛ ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ У˜В‚Л‰М˚.
ирЛПВр. З Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S , ОВК‡˘ВИ ‚ ФВр‚УП УН- Ъ‡МЪВ, Ыр‡‚МВМЛВ НУЪУрУИ x +y +z =1, ð‡ÒÔð‰ÂÎÂ̇ χÒÒ‡ Ò ÔÎÓÚ-
ÌÓÒÚ¸˛ |
ρ(x,y,z) = z , „‰Â k =const . З˚˜ЛТОЛЪ¸ П‡ТТЫ ФО‡ТЪЛМНЛ. |
|||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
∂z |
|
|
∂z |
|
|
ê¯ÂÌËÂ. z =1−x −y , p(x,y) = |
|
= −1, q(x,y) = |
= −1, |
||||||||
|
|
|
∂y |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
∂x |
|
|||
|
|
|
|
|
p2 (x,y) +q2 (x,y) +1 = 3 . |
|
|
|||||
|
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, |
|
|
|
|
|
|
|
χÒÒ‡ |
|||
M = |
1 |
∫∫(1−x −y)dS = 1 |
∫∫(1−x −y) |
3dxdy = |
|
|
||||||
|
|
k |
S |
k |
D |
|
|
|
|
|||
= |
3 |
∫1 dx1−∫x (1−x −y)dy = |
|
3 |
͂. ‰. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
k |
0 |
|
0 |
|
6k |
|
|
|
|
||
§2. С‚ЫТЪУрУММЛВ Л У‰МУТЪУрУММЛВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ. лЪУрУМ‡ ФУ‚ВрıМУТЪЛ
ЗУБ¸ПВП МВНУЪУрЫ˛ ФУ‚ВрıМУТЪ¸ S Ë |
р‡ТТПУЪрЛП МУрП‡О¸ Н |
|
˝ЪУИ ФУ‚ВрıМУТЪЛ ‚ ЪУ˜НВ M . б‡ЩЛНТЛрЫВП М‡ МУрП‡ОЛ У‰МУ ЛБ |
||
‰‚Ыı ‚УБПУКМ˚ı М‡Фр‡‚ОВМЛИ (рЛТ. 3.2.1). |
|
|
z |
ur |
ur |
|
N |
|
|
|
N |
|
A |
|
|
M |
M1 |
|
B |
|
|
S |
|
|
uur |
|
0 |
N′ |
|
|
|
|
x |
y |
|
|
|
êËÒ. 3.2.1 |
74
ЗУБ¸ПВП М‡ ФУ‚ВрıМУТЪЛ МВНУЪУр˚И НУМЪЫр, МВ ФВрВТВН‡˛˘ЛИ „р‡МЛˆ˚ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S . ЦТОЛ П˚ ·Ы‰ВП ФВрВПВ˘‡Ъ¸ УТМУ‚‡МЛВ МУрП‡ОЛ ‚ М‡Фр‡‚ОВМЛЛ M →A→M1 →B →M , ЪУ МУрП‡О¸, У·УИ- ‰fl ˝ЪУЪ НУМЪЫр, ‚ВрМВЪТfl Н ЪУ˜НВ M Л Б‡ИПВЪ ОЛ·У ЛТıУ‰МУВ ФУОУКВМЛВ N , ОЛ·У ФВрВ‚ВрМЫЪУВ N′.
ЦТОЛ М‡ ФУ‚ВрıМУТЪЛ МВЪ МЛ У‰МУ„У НУМЪЫр‡, НУЪУр˚И ФВрВ‚Ур‡- ˜Л‚‡О ·˚ МУрП‡О¸ ФУТОВ В„У У·ıУ‰‡, ЪУ Ъ‡Н‡fl ФУ‚ВрıМУТЪ¸ М‡Б˚‚‡- ВЪТfl ‰‚ЫТЪУрУММВИ, ‡ ВТОЛ ıУЪfl ·˚ У‰ЛМ НУМЪЫр, ФВрВ‚Ур‡˜Л‚‡˛- ˘ЛИ МУрП‡О¸, ЪУ Ъ‡Н‡fl ФУ‚ВрıМУТЪ¸ М‡Б˚‚‡ВЪТfl У‰МУТЪУрУММВИ.
ирЛПВрУП У‰МУТЪУрУММВИ ФУ‚ВрıМУТЪЛ ПУКВЪ ТОЫКЛЪ¸ ОЛТЪ еВ- ·ЛЫТ‡, НУЪУр˚И ОВ„НУ ПУКМУ ЛБ„УЪУ‚ЛЪ¸, ‚Бfl‚ ФУОУТНЫ ·ЫП‡„Л (рЛТ. 3.2.2) Л ТУВ‰ЛМЛ‚ ЪУ˜НЫ A1 Ò ÚÓ˜ÍÓÈ A2 , ÚÓ˜ÍÛ B1 Ò ÚÓ˜ÍÓÈ B2 .
A1 |
B1 |
|
l |
B1 |
A2 |
|
êËÒ. 3.2.2 |
зВЪрЫ‰МУ Б‡ПВЪЛЪ¸, ˜ЪУ У·ıУ‰ НУМЪЫр‡ l ÔÂð‚Óð‡˜Ë‚‡ÂÚ ÌÓð- χθ.
йФрВ‰ВОВМЛВ. лУ‚УНЫФМУТЪ¸ ЪУ˜ВН ‰‚ЫТЪУрУММВИ ФУ‚ВрıМУТЪЛ ‚ПВТЪВ Т ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ЛПЛ М‡Фр‡‚ОВМЛflПЛ МУрП‡ОВИ, МВФрВ- р˚‚МУ ФВрВıУ‰fl˘Лı ‰рЫ„ ‚ ‰рЫ„‡ ФрЛ ФВрВПВ˘ВМЛЛ УТМУ‚‡МЛfl МУр- П‡ОЛ ФУ ФУ‚ВрıМУТЪЛ, МВ ФВрВТВН‡fl В„У „р‡МЛˆ˚, М‡Б˚‚‡˛Ъ ÒÚÓ-
рУМУИ ФУ‚ВрıМУТЪЛ. |
ur |
ν |
N |
μ |
|
z |
|
λ
S
y
0
D
x
êËÒ. 3.2.3
75
З ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛЛ Т ФрЛ‚В‰ВММ˚П УФрВ‰ВОВМЛВП ПУКМУ Т‰ВО‡Ъ¸ ‚˚- ‚У‰, ˜ЪУ ‰‚ЫТЪУрУММflfl ФУ‚ВрıМУТЪ¸ ЛПВВЪ ‰‚В ТЪУрУМ˚ ФУ‚ВрıМУТЪЛ: ‚ВрıМ˛˛ Л МЛКМ˛˛, ‡ У‰МУТЪУрУММflfl ФУ‚ВрıМУТЪ¸ ЛПВВЪ ОЛ¯¸ У‰-
МЫ ТЪУрУМЫ. |
|
|
|
|
||
ирЛ˜ВП, ВТОЛ ‰‚ЫТЪУрУММflfl ФУ‚ВрıМУТЪ¸ |
Б‡‰‡М‡ Ыр‡‚МВМЛВП |
|||||
z = f(x,y) , „‰Â |
f(x,y) Л ˜‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В |
p(x,y) = |
∂z(x,y) |
Ë |
||
|
||||||
|
∂z(x,y) |
|
|
∂x |
||
q(x,y) = |
МВФрВр˚‚М˚ ‚ У·О‡ТЪЛ D ФОУТНУТЪЛ xOy , ÚÓ ‰Îfl |
|||||
∂y |
||||||
|
|
|
|
|
||
‚ВрıМВИ ТЪУрУМ˚ ФУ‚ВрıМУТЪЛ М‡Фр‡‚Оfl˛˘ЛВ НУТЛМЫТ˚ МУрП‡ОЛ
ÓÔð‰ÂÎfl˛ÚÒfl ‚˚ð‡ÊÂÌËflÏË |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
cos λ = |
−p |
|
, cos μ = |
−q |
, cosν = |
1 |
|
, |
|||||||
p2 +q2 +1 |
p2 +q2 +1 |
|
p2 +q2 +1 |
||||||||||||
‡ ‰Оfl МЛКМВИ ТЪУрУМ˚ ФУ‚ВрıМУТЪЛ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ |
|
||||||||||||||
cos λ = |
|
p |
cos μ |
= |
|
q |
cosν = |
|
|
−1 |
|
||||
|
, |
|
, |
|
|
|
(ðËÒ. |
||||||||
p2 +q2 +1 |
p2 +q2 +1 |
|
p2 +q2 +1 |
||||||||||||
3.2.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§3. иУ‚ВрıМУТЪМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ II рУ‰‡
йФрВ‰ВОВМЛВ. иЫТЪ¸ ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ ‰‚ЫТЪУрУММВИ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S Á‡‰‡Ì‡ ÙÛÌ͈Ëfl F(x,y,z) . З˚·ВрВП М‡ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S ТЪУрУМЫ ФУ‚ВрıМУТЪЛ (‚ВрıМ˛˛ ЛОЛ МЛКМ˛˛).
ê‡ÁÓ·¸ÂÏ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ S ТВЪ¸˛ ФрУТЪ˚ı НрЛ‚˚ı М‡ fl˜ВИНЛ S1 , S2 , ..., Sn , НУЪУр˚В ФрУВНЪЛрЫ˛ЪТfl М‡ ФОУТНУТЪ¸ xOy ‚ fl˜ÂÈÍË D1 , D2 , ..., Dn Ò ÔÎÓ˘‡‰flÏË F1 , F2 , ..., Fn . з‡Л·УО¸¯ЛИ ЛБ ‰Л‡ПВЪрУ‚ fl˜ВИНЛ Dk ̇ÁÓ‚ÂÏ ð‡Ì„ÓÏ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl Ë Ó·ÓÁ̇˜ËÏ Â„Ó λ . Ç Í‡Ê‰ÓÈ ˜‡ÒÚ˘ÌÓÈ fl˜ÂÈÍ Sk ‚УБ¸ПВП ФрУЛБ‚УО¸МЫ˛ ЪУ˜НЫ
Mk (xk ,yk ,zk ) Л ‚˚˜ЛТОЛП ‚ МВИ БМ‡˜ВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ F(xk ,yk ,zk ) . мПМУКЛП F(xk ,yk ,zk ) М‡ ФОУ˘‡‰¸ ФрУВНˆЛЛ fl˜ВИНЛ Sk ̇ ÔÎÓÒ-
ÍÓÒÚ¸ xOy , Ъ.В. ТУТЪ‡‚ЛП ФрУЛБ‚В‰ВМЛВ F(xk ,yk ,zk ) Fk Л ТУТЪ‡‚ЛП ЛМЪВ„р‡О¸МЫ˛ ТЫППЫ ‰Оfl ‚ВрıМВИ Л ‰Оfl МЛКМВИ ТЪУрУМ˚ ФУ‚ВрıМУТЪЛ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ:
n |
n |
σn = ∑F(xk ,yk ,zk ) |
Fk Ë σn = ∑F(xk ,yk ,zk ) (− Fk ). |
k=1 |
k=1 |
76
аБПВО¸˜‡fl ‰рУ·ОВМЛВ Л ЫТЪрВПОflfl р‡М„ ‰рУ·ОВМЛfl Н МЫО˛, ·Ы- ‰ВП ЛТН‡Ъ¸ ФрВ‰ВО
I = limσn .
n→∞
λ→0
ЦТОЛ ˝ЪУЪ ФрВ‰ВО, МВ Б‡‚ЛТfl˘ЛИ УЪ ТФУТУ·‡ ‰рУ·ОВМЛfl Л ‚˚·Ур‡ ЪУ˜ВН Mk , ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ, ÚÓ ÓÌ Ì‡Á˚‚‡ÂÚÒfl ФУ‚ВрıМУТЪМ˚П ЛМ-
Ú„ð‡ÎÓÏ ‚ÚÓðÓ„Ó ðÓ‰‡ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ ФУ ‚ВрıМВИ Л ФУ МЛКМВИ
ТЪУрУМВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ Л У·УБМ‡˜‡ВЪТfl
I = ∫∫F(x,y,z)dxdy.
|
|
S |
|
Ä̇Îӄ˘ÌÓ |
ÓÔð‰ÂÎfl˛ÚÒfl |
ËÌÚ„ð‡Î˚ ∫∫F(x,y,z)dydz Ë |
|
|
|
|
S |
∫∫F(x,y,z)dzdx , Ôð˘ÂÏ ÔðËÌflÚÓ Ó·ÓÁ̇˜ÂÌË |
|||
S |
|
|
|
∫∫Pdydz + ∫∫Qdzdx + ∫∫Rdxdy = ∫∫Pdydz +Qdzdx +Rdxdy , |
|||
S |
S |
S |
S |
„‰В ‚ТВ ЛМЪВ„р‡О˚ ·ВрЫЪТfl ФУ У‰МУИ Л ЪУИ КВ ТЪУрУМВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ. л‚УИТЪ‚‡ ФУ‚ВрıМУТЪМ˚ı ЛМЪВ„р‡ОУ‚ У˜В‚Л‰М˚. йЪПВЪЛП ЪУО¸НУ, ˜ЪУ ВТОЛ ФУ‚ВрıМУТЪ¸ S ФрВ‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·УИ ˆЛОЛМ‰рЛ˜ВТНЫ˛ ФУ- ‚ВрıМУТЪ¸, У·р‡БЫ˛˘ЛВ НУЪУрУИ ФВрФВМ‰ЛНЫОflрМ˚ ФОУТНУТЪЛ xOy ,
ÚÓ ∫∫F(x,y,z)dxdy = 0 .
S
щЪУ Т У˜В‚Л‰МУТЪ¸˛ ТОВ‰ЫВЪ ЛБ УФрВ‰ВОВМЛfl ФУ‚ВрıМУТЪМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ‚ЪУрУ„У рУ‰‡.
1. нВУрВП‡ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl ФУ‚ВрıМУТЪМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ‚ЪУрУ„У
ðÓ‰‡.
нВУрВП‡. ЦТОЛ ‰‚ЫТЪУрУММflfl ФУ‚ВрıМУТЪ¸ S Б‡‰‡М‡ Ыр‡‚МВМЛВП
z = f(x,y) , Ôð˘ÂÏ f(x,y) Л ˜‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В p(x,y) = ∂z(x,y)
∂x
Ë q(x,y) = ∂z(x,y) ТЫ˘ВТЪ‚Ы˛Ъ Л МВФрВр˚‚М˚ ‚ ФрУТЪУИ У·О‡ТЪЛ D
∂y
ФОУТНУТЪЛ xOy Л ВТОЛ ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S Б‡‰‡М‡ МВФрВр˚‚М‡fl ЩЫМНˆЛfl F(x,y,z) , ЪУ ФУ‚ВрıМУТЪМ˚И ЛМЪВ„р‡О ФУ
‚ВрıМВИ Л МЛКМВИ ТЪУрУМВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ Л ‚˚р‡К‡ВЪТfl ˜ВрВБ ‰‚УИМУИ ЛМЪВ„р‡О ‰Оfl ‚ВрıМВИ ТЪУрУМ˚ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S :
77
I = |
∫∫ |
|
F(x,y,z)dxdy = ∫∫F[x,y, f(x,y)]dxdy |
|
S(верхн. стор.) |
D |
|
Л ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ ‰Оfl МЛКМВИ ТЪУрУМ˚ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S : |
|||
I = |
∫∫ |
F(x,y,z)dxdy = −∫∫F[x,y, f(x,y)]dxdy . |
|
S(нижн. стор.) |
|
D |
|
ирЛПВр. З˚˜ЛТОЛЪ¸ I = ∫∫zdxdy ФУ МЛКМВИ ТЪУрУМВ ФУ‚ВрıМУ-
S
ÒÚË S , Б‡‰‡ММУИ Ыр‡‚МВМЛВП z =x2 +y2 ̇‰ ӷ·ÒÚ¸˛ D , У„р‡МЛ- ˜ВММУИ ФрflП˚ПЛ x = 0 , y = 0 , x +y =1 (ðËÒ. 3.3.1)
z
1
0 |
1 |
y |
1
x
êËÒ. 3.3.1
ê¯ÂÌËÂ. З ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ЛЛ Т ЪВУрВПУИ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl Л ФрЛМЛП‡fl ‚У ‚МЛП‡МЛВ, ˜ЪУ ФУ‚ВрıМУТЪМ˚И ЛМЪВ„р‡О ·ВрВЪТfl ФУ МЛКМВИ ТЪУрУМВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S , ÔÓÎÛ˜ËÏ
I = |
∫∫ |
zdxdy = −∫∫(x2 +y2 )dxdy = −∫1 dx |
1−∫x (x2 +y2 )dy = − |
1 . |
|
|
S(нижн. стор.) |
D |
0 |
0 |
2 |
|
|
||||
2.л‚flБ¸ ПВК‰Ы ФУ‚ВрıМУТЪМ˚ПЛ ЛМЪВ„р‡О‡ПЛ ФВр‚У„У Л ‚ЪУрУ„У рУ‰‡.
ЕЫ‰ВП р‡ТТП‡ЪрЛ‚‡Ъ¸ ФУ‚ВрıМУТЪМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ ФВр‚У„У Л ‚ЪУрУ- „У рУ‰‡ ФУ ‰‚ЫТЪУрУММВИ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S , МУрП‡О¸ Н НУЪУрУИ У·р‡-
ÁÛÂÚ Û„Î˚ λ , μ Ë ν |
ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ Ò ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ÏË ÓÒflÏË Ox , |
|
Oy Ë Oz . èÓ͇ÊÂÏ, ˜ÚÓ |
|
|
∫∫F(x,y,z)dxdy = ∫∫F(x,y,z)cosν dS , |
(1) |
|
S |
S |
|
78
Ôð˘ÂÏ Á‰ÂÒ¸ ˜ÂðÂÁ ν У·УБМ‡˜ВМ Ы„УО МУрП‡ОЛ, ‚ıУ‰fl˘ВИ ‚ ‚˚- ·р‡ММЫ˛ ТЪУрУМЫ ФУ‚ВрıМУТЪЛ ЛМЪВ„рЛрУ‚‡МЛfl ‚ ЛМЪВ„р‡ОВ, ТЪУfl- ˘ВП ТОВ‚‡, Т УТ¸˛ Oz .
СОfl ‰УН‡Б‡ЪВО¸ТЪ‚‡ ФВрВИ‰ВП ‚ ЛМЪВ„р‡О‡ı, ТЪУfl˘Лı ‚ ОВ‚УИ Л Фр‡‚УИ ˜‡ТЪflı р‡‚ВМТЪ‚‡ (1), Н ‰‚УИМУПЫ ЛМЪВ„р‡ОЫ, Т˜ЛЪ‡fl, ˜ЪУ ‰‚ЫТЪУрУММflfl ФУ‚ВрıМУТЪ¸ S Б‡‰‡М‡ Ыр‡‚МВМЛВП z = f(x,y) , Ôð˘ÂÏ
f(x,y) , |
p(x,y) = |
∂z(x,y) |
Ë q(x,y) = |
∂z(x,y) |
|
УФрВ‰ВОВМ˚ Л МВФрВ- |
|||
∂x |
|
∂y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
р˚‚М˚ ‚ ФрУТЪУИ У·О‡ТЪЛ D ФОУТНУТЪЛ xOy , ÚÓ„‰‡ ÔÓÎÛ˜ËÏ |
|||||||||
|
∫∫F(x,y,z)dxdy = ∫∫F[x,y, f(x,y)]dxdy . |
||||||||
|
S |
D |
|
|
|
|
|||
л ‰рЫ„УИ ТЪУрУМ˚: |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
∫∫F(x,y,z)cosν dS = ∫∫F[x,y, f(x,y)] |
|
|
|
p2 +q2 +1 dxdy = |
|||||
p |
2 |
2 |
+1 |
||||||
S |
|
D |
|
|
+q |
|
|
||
= ∫∫F[x,y, f(x,y)]dxdy.
D
å˚ ‚ˉËÏ, ˜ÚÓ Ôð‡‚˚ ˜‡ÒÚË ˝ÚËı ð‡‚ÂÌÒÚ‚ ÒÓ‚Ô‡‰‡˛Ú, ÒΉӂ‡-
ÚÂθÌÓ, ÒÓ‚Ô‡‰‡˛Ú Ë Î‚˚Â, Ú.Â.
∫∫F(x,y,z)dxdy = ∫∫F(x,y,z)cosν dS .
S S
ДМ‡ОУ„Л˜МУ ПУКМУ ‰УН‡Б‡Ъ¸ Л Ъ‡НУВ, ·УОВВ У·˘ВВ ТУУЪМУ¯ВМЛВ:
∫∫P(x,y,z)dydz +Q(x,y,z)dzdx +R(x,y,z)dxdy =
S
= ∫∫[P(x,y,z)cos λ +Q(x,y,z)cos μ +R(x,y,z)cosν ]dS,
S
„‰Â ˜ÂðÂÁ λ , μ Ë ν У·УБМ‡˜ВМ˚ Ы„О˚ МУрП‡ОЛ, ‚ıУ‰fl˘ВИ ‚ ‚˚- ·р‡ММЫ˛ ТЪУрУМЫ ФУ‚ВрıМУТЪЛ ЛМЪВ„рЛрУ‚‡МЛfl, ‚ ЛМЪВ„р‡О˚, ТЪУfl- ˘ЛВ ТОВ‚‡, Т НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚ПЛ УТflПЛ Ox , Oy Ë Oz , ‡ ËÌÚ„ð‡Î˚, ÒÚÓfl˘Ë ‚ Ôð‡‚ÓÈ Ë Î‚ÓÈ ˜‡ÒÚflı ð‡‚ÂÌÒÚ‚‡, ÒÛ˘ÂÒÚ‚Û˛Ú.
§4. оУрПЫО‡ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У
к‡ТТПУЪрЛП МВНУЪУрУВ ЪВОУ T , У„р‡МЛ˜ВММУВ ТМЛБЫ ФрУТЪУИ ФУ- ‚ВрıМУТЪ¸ S1 , Ыр‡‚МВМЛВ НУЪУрУИ z =ϕ(x,y) , Т‚ВрıЫ – ФрУТЪУИ ФУ- ‚ВрıМУТЪ¸˛ S3 , Ыр‡‚МВМЛВ НУЪУрУИ z = Φ(x,y) , ‡ Т ·УНУ‚ – ˆЛОЛМ‰- рЛ˜ВТНУИ ФУ‚ВрıМУТЪ¸˛ S2 , У·р‡БЫ˛˘ЛВ НУЪУрУИ Ф‡р‡ООВО¸М˚ УТЛ
79
Oz , ‡ М‡Фр‡‚Оfl˛˘ВИ ТОЫКЛЪ НУМЪЫр У·О‡ТЪЛ D ‚ ФОУТНУТЪЛ xOy (ðËÒ. 3.4.1).
СУФЫТЪЛП, ˜ЪУ ЩЫМНˆЛЛ ϕ(x,y) Ë Φ(x,y) УФрВ‰ВОВМ˚ Л МВФрВ- р˚‚М˚ ‚ ФрУТЪУИ У·О‡ТЪЛ D ФОУТНУТЪЛ xOy Л ЛПВ˛Ъ ‚ МВИ МВФрВ- р˚‚М˚В ˜‡ТЪМ˚В ФрУЛБ‚У‰М˚В.
иЫТЪ¸, НрУПВ ЪУ„У, ‚ ЪВОВ T УФрВ‰ВОВМ‡ МВФрВр˚‚М‡fl ЩЫМНˆЛfl
R(x,y,z) , ЛПВ˛˘‡fl МВФрВр˚‚МЫ˛ ФрУЛБ‚У‰МЫ˛ |
∂R(x,y,z) |
. èðË |
|||
∂z |
|||||
|
|
|
|
||
Ъ‡НЛı ФрВ‰ФУОУКВМЛflı ТЫ˘ВТЪ‚ЫВЪ ЪрУИМУИ ЛМЪВ„р‡О |
|
||||
I = ∫∫∫ |
∂R(x,y,z) |
dxdydz . |
|
|
|
|
|
|
|||
T |
∂z |
|
|
||
З˚˜ЛТОЛП В„У, ‚˚р‡БЛ‚ ˜ВрВБ ФУ‚ЪУрМ˚И:
|
Φ(x,y) |
∂R(x,y,z)dz . |
I = ∫∫dxdy |
∫ |
|
D |
ϕ(x,y) |
∂z |
z S3 |
|
z = Φ(x,y) |
|
S2 |
T |
|
0 |
y z =ϕ(x,y) |
|
S1 |
D |
|
|
|
x |
|
|
|
|
êËÒ. 3.4.1 |
б‰ВТ¸ ‚МЫЪрВММЛИ ЛМЪВ„р‡О |
|
|
Φ(x,y) |
∂∂Rz dz =R(x,y,Φ(x,y))−R(x,y,ϕ(x,y)). |
|
Iвнутр = ϕ(x∫,y) |
||
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ,
80