Госы 5к Надя / лекции_3 / kr-int
.pdf
кВ¯ВМЛВ. з‡И‰ВП ФрВК‰В ‚ТВ„У ФУ‚ВрıМУТЪЛ ЫрУ‚Мfl ‰‡ММУ„У ФУ-
Оfl. иУОУКЛП U =c , Ú.Â. |
|
e |
=c =>x2 +y2 +z2 = e2 |
, Ú.Â. |
|
x2 |
+y2 +z2 |
||||
|
c2 |
|
ФУ‚ВрıМУТЪЛ ЫрУ‚Мfl ФрВ‰ТЪ‡‚Оfl˛Ъ ТУ·У˛ НУМˆВМЪрЛ˜ВТНЛВ ТЩВр˚ Т
ˆВМЪрУП ‚ ЪУ˜НВ, „‰В М‡ıУ‰ЛЪТfl ˝ОВНЪрЛ˜ВТНЛИ Б‡рfl‰. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
∂U |
= − |
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
= −e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
= −e |
|
|
x |
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
3 |
|||||||||||
|
∂x |
(x |
2 |
+y |
2 |
+z |
2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
x2 +y2 +z2 ) |
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 x2 |
+y2 +z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂U |
= −e |
|
|
y |
, |
∂U |
= −e |
|
|
|
|
z |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
r |
|
3 |
|
∂z |
|
|
r |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
í‡ÍËÏ Ó·ð‡ÁÓÏ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
gradU = −e |
xi +yj |
+zk |
= −e |
|
|
|
|
r |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
r |
= x |
2 +y2 +z2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
„‰Â |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ЗВНЪУр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uur |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D = −grad |
|
r |
|
=e |
|
|
r |
|
3 |
=e |
|
|
|
r |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
М‡Б˚‚‡ВЪТfl М‡ФрflКВММУТЪ¸˛ ˝ОВНЪрЛ˜ВТНУ„У ФУОfl, ФрЛ˜ВП ЩЫМНˆЛfl U(x,y,z) ‚УБр‡ТЪ‡ВЪ Т ЫПВМ¸¯ВМЛВП r .
§2. ЗВНЪУрМУВ ФУОВ
1. ЗВНЪУрМУВ ФУОВ. ЗВНЪУрМ˚В ОЛМЛЛ Л ‚ВНЪУрМ˚В ФУ‚ВрıМУТЪЛ.
к‡ТТПУЪрЛП МВНУЪУрЫ˛ ФрУТЪр‡МТЪ‚ВММЫ˛ У·О‡ТЪ¸ T . ЦТОЛ Т Н‡К‰УИ ˝ЪУИ У·О‡ТЪЛ Т‚flБ‡МУ БМ‡˜ВМЛВ МВНУЪУрУИ ‚ВНЪУрМУИ ‚ВОЛ- ˜ЛМ˚ a(ax ,ay ,az ) , ЪУ „У‚УрflЪ, ˜ЪУ УФрВ‰ВОВМУ ‚ВНЪУрМУВ ФУОВ
a =ax i+ay j+az k . й˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ Б‡‰‡МЛВ У‰МУ„У ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl р‡‚МУТЛО¸МУ Б‡‰‡МЛ˛ ЪрВı ТН‡ОflрМ˚ı ФУОВИ ax (x,y,z,t) , ay (x,y,z,t) Ë az (x,y,z,t) , „‰Â (x,y,z) – ÚӘ͇, ÔðË̇‰ÎÂʇ˘‡fl Ó·- ·ÒÚË T , ‡ ФВрВПВММ‡fl t ЛПВВЪ ТП˚ТО ‚рВПВМЛ. З ЪУП ТОЫ˜‡В, ВТОЛ
91
НУУр‰ЛМ‡Ъ˚ ‚ВНЪУр‡ a МВ Б‡‚ЛТflЪ УЪ ‚рВПВМЛ, ЪУ ФУОВ ‚ВНЪУр‡ a ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÒÚ‡ˆËÓ̇ðÌ˚Ï.
z |
|
|
z |
a |
L |
|
K |
a |
|
|
|
|
|
|
|
l0 |
a |
|
|
0 |
|
y |
0 |
x |
|
x |
|
|
|
L
L
L
L
L L
L
L L
y
êËÒ. 4.2.1
к‡ТТПУЪрЛП ‚ ФУОВ ‚ВНЪУр‡ a МВНУЪУрЫ˛ НрЛ‚Ы˛ L, НУЪУр‡fl У·- О‡‰‡ВЪ Ъ‡НЛП Т‚УИТЪ‚УП, ˜ЪУ ‚ВНЪУр ФУОfl, ТУУЪМВТВММ˚И Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ ˝ЪУИ НрЛ‚УИ, Н‡Т‡ВЪТfl ˝ЪУИ НрЛ‚УИ ‚ ЫН‡Б‡ММУИ ЪУ˜НВ. н‡Н‡fl НрЛ‚‡fl М‡Б˚‚‡ВЪТfl ‚ВНЪУрМУИ ОЛМЛВИ (рЛТ. 4.2.1).
иЫТЪ¸ ˜ВрВБ Н‡К‰Ы˛ ЪУ˜НЫ МВНУЪУрУИ НрЛ‚УИ K ФрУıУ‰ЛЪ ‚ВНЪУрМ‡fl ОЛМЛfl L. лУ‚УНЫФМУТЪ¸ ‚ВНЪУрМ˚ı ОЛМЛИ У·р‡БЫВЪ Ъ‡Н М‡- Б˚‚‡ВПЫ˛ ‚ВНЪУрМЫ˛ ФУ‚ВрıМУТЪ¸ (рЛТ. 4.2.1). З ˝ЪУП ТОЫ˜‡В, ВТОЛ НрЛ‚‡fl K ФрВ‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·УИ Б‡ПНМЫЪ˚И НУМЪЫр, ЪУ ‚ВНЪУрМ‡fl ФУ- ‚ВрıМУТЪ¸ М‡Б˚‚‡ВЪТfl ‚ВНЪУрМУИ ЪрЫ·НУИ.
СУФЫТЪЛП, ˜ЪУ ‚ВНЪУрМ‡fl ОЛМЛfl L Б‡‰‡М‡ ФВрВТВ˜ВМЛВП ‰‚Ыı
ФУ‚ВрıМУТЪВИ F1(x,y,z) = 0 |
Ë F2 (x,y,z) = 0 . ЗВНЪУр τ, ÎÂʇ˘ÂÈ Ì‡ |
|
͇҇ÚÂθÌÓÈ Í ÍðË‚ÓÈ |
L, |
Н‡Н ЛБ‚ВТЪМУ, ЛПВВЪ НУУр‰ЛМ‡Ъ˚ |
(dx,dy,dz) . н‡Н Н‡Н ‚ВНЪУр τ |
НУООЛМВ‡рВМ ‚ВНЪУрЫ a ‚ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ- |
|
‚ЛЛ Т УФрВ‰ВОВМЛВП ‚ВНЪУрМУИ ОЛМЛЛ, ЪУ Лı НУУр‰ЛМ‡Ъ˚ ФрУФУр-
ˆËÓ̇θÌ˚:
dx = dy = dz . ax ay az
щЪ‡ ТЛТЪВП‡ ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸М˚ı Ыр‡‚МВМЛИ fl‚ОflВЪТfl ТЛТЪВПМУИ Ыр‡‚МВМЛИ ‚ВНЪУрМ˚ı ОЛМЛИ L. ЦТОЛ П˚ ıУЪЛП М‡ИЪЛ ‚ВНЪУрМЫ˛ ОЛМЛ˛, ФрУıУ‰fl˘Ы˛ ˜ВрВБ ЪУ˜НЫ M(x0 ,y0 ,z0 ) , ЪУ М‡П МЫКМУ рВ- ¯ЛЪ¸ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘Ы˛ Б‡‰‡˜Ы дУ¯Л.
92
ирЛПВр. з‡ИЪЛ ‚ВНЪУрМЫ˛ ОЛМЛ˛ L ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl a(x,y) =yi−x j , ÔðÓıÓ‰fl˘Û˛ ˜ÂðÂÁ ÚÓ˜ÍÛ M0 (1,0) (ðËÒ. 4.2.2).
ê¯ÂÌËÂ. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ Ыр‡‚МВМЛВ ТВПВИТЪ‚‡ ‚ВНЪУрМ˚ı
ОЛМЛИ ЛПВВЪ ‚Л‰: |
|
|
|
dx |
= dy . |
|
|
y |
x |
|
|
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
M0 (1,0) |
|
−1 |
|
1 |
x |
|
|
r |
|
−1 |
|
a |
|
кЛТ. 4.2.2 аЪ‡Н, МЫКМУ ‚˚‰ВОЛЪ¸ ЛМЪВ„р‡О¸МЫ˛ НрЛ‚Ы˛ ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУ-
„Ó Ûð‡‚ÌÂÌËfl, ÔðÓıÓ‰fl˘Û˛ ˜ÂðÂÁ ÚÓ˜ÍÛ M0 (1,0) . к‡Б‰ВОflfl ФВрВПВММ˚В, ФУОЫ˜ЛП:
xdx +ydy = 0 ,
ÓÚÍÛ‰‡ ÒΉÛÂÚ Ó·˘ËÈ ËÌÚ„ð‡Î Ûð‡‚ÌÂÌËfl x2 +y2 =c2 . ì˜ËÚ˚‚‡fl, ˜ÚÓ ËÌÚ„ð‡Î¸Ì‡fl ÍðË‚‡fl ÔðÓıÓ‰ËÚ ˜ÂðÂÁ ÚÓ˜ÍÛ M0 (1,0) , ЛПВВП c =1. аЪ‡Н, ‚ВНЪУрМ‡fl ОЛМЛfl, ФрУıУ‰fl˘‡fl ˜ВрВБ ЪУ˜НЫ M0 (1,0) , ФрВ‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·УИ УНрЫКМУТЪ¸ x2 +y2 =1.
2. иУЪУН ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl ˜ВрВБ ФУ‚ВрıМУТЪ¸. Ц„У ПВı‡МЛ˜ВТНЛИ ТП˚ТО.
иЫТЪ¸ ‚ ФУОВ ‚ВНЪУр‡ a(ax ,ay ,az ) М‡ıУ‰ЛЪТfl ‰‚ЫТЪУрУММflfl ФУ-
‚ÂðıÌÓÒÚ¸ S . З˚·ВрВП М‡ МВИ ˝ОВПВМЪ‡рМЫ˛ ФОУ˘‡‰НЫ, ФОУ˘‡‰¸ НУЪУрУИ р‡‚М‡ S . З˚·ВрВП М‡ МВИ МУрП‡О¸, ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘‡fl ‚˚- ·р‡ММУИ ТЪУрУМВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ, ВТЪ¸ n . ЕЫ‰ВП Т˜ЛЪ‡Ъ¸, ˜ЪУ ‚ ФрВ‰В- О‡ı ‚˚·р‡ММУИ ФОУ˘‡‰НЛ ‚ВНЪУр a ФУТЪУflМВМ, У·УБМ‡˜ЛП ˜ВрВБ an ФрУВНˆЛ˛ ‚ВНЪУр‡ a М‡ М‡Фр‡‚ОВМЛВ МУрП‡ОЛ n (ðËÒ. 4.2.3).
93
z
r n
|
ar |
|
S |
|
0 |
x |
y |
S |
|
|
êËÒ. 4.2.3 |
|
ur |
йФрВ‰ВОВМЛВ. щОВПВМЪ‡рМ˚П ФУЪУНУП ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl a ˜ÂðÂÁ ÔÎÓ˘‡‰ÍÛ S ‚ ‚˚·р‡ММЫ˛ ТЪУрУМЫ М‡Б˚‚‡ВЪТfl Q =an S .
ê‡Á·Ë‚‡fl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ ̇ fl˜ÂÈÍË |
S Л ТЫППЛрЫfl ˝ОВПВМЪ‡рМ˚В |
ur |
|
ФУЪУНЛ ‚ВНЪУр‡ a ÔÓ ‚ÒÂÏ ˜‡ÒÚ˘Ì˚Ï fl˜ÂÈÍ‡Ï ÔðË ÛÒÎÓ‚ËË, ˜ÚÓ
р‡М„ ‰рУ·ОВМЛfl ТЪрВПЛЪТfl Н МЫО˛, ФУОЫ˜ЛП
Q = ∫∫andS .
S |
r |
|
Q Л М‡Б˚‚‡ВЪТfl ФУЪУНУП ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl a ˜ÂðÂÁ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸
S‚ ‚˚·р‡ММЫ˛ ТЪУрУМЫ.
З˚flТМЛП ЪВФВр¸ ПВı‡МЛ˜ВТНЛИ ТП˚ТО ФУЪУН‡ ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl
(ðËÒ. 4.2.3).
СУФЫТЪЛП,r ˜ЪУ ЫН‡Б‡ММ‡fl ‚˚¯В ФУ‚ВрıМУТЪ¸ ОВКЛЪ ‚ ‚ВНЪУрМУП ФУОВ v(x,y,z) ТНУрУТЪВИ ЪВНЫ˘ВИ КЛ‰НУТЪЛ. нУ„‰‡ Б‡ ‚рВПfl t ЛТıУ‰fl ЛБ ‰‡ММУ„У ПУПВМЪ‡ ‚рВПВМЛ t , ˜‡ТЪЛˆ˚ КЛ‰НУТЪЛ ФрУ‰‚Л- МЫЪТfl ˜ВрВБ ˝ОВПВМЪ‡рМЫ˛ ФОУ˘‡‰НЫ Л Б‡ФУОМflЪ М‡НОУММ˚И ˆЛ-
ОЛМ‰р, УТМУ‚‡МЛВП НУЪУрУ„У fl‚ОflВЪТfl ˝ОВПВМЪ‡рМ‡fl ФОУ˘‡‰Н‡ S , |
|
r |
|
‡ ‚˚ÒÓÚ‡ h =vn t , ВТОЛ ‚ВНЪУр˚ v Ë n |
ОВК‡Ъ ‚ У‰МУП ФУОЫФрУ- |
ТЪр‡МТЪ‚В. е‡ТТ‡ ˜‡ТЪЛˆ КЛ‰НУТЪЛ, Б‡ФУОМЛ‚¯Лı ˆЛОЛМ‰р |
|
Q′ = ρ vn S |
t , |
„‰Â ρ(x,y,z,t) – ФОУЪМУТЪ¸ ЪВНЫ˘ВИ КЛ‰НУТЪЛ. З˚ФУОМflfl ТЫППЛрУ‚‡МЛВ ‚ТВı ˝ЪЛı П‡ТТ ФУ ‚ТВИ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S , ÔÓÎÛ˜ËÏ
Q′ = |
∫∫ρvndS |
t . |
|
|
S |
|
|
94
ир‡‚‡fl ˜‡ТЪ¸ ˝ЪУ„У ТУУЪМУ¯ВМЛfl ‰‡ВЪ М‡П НУОЛ˜ВТЪ‚У КЛ‰НУТЪЛ, ФрУЪВН‡˛˘ВИ ˜ВрВБ ФУ‚ВрıМУТЪ¸ S Á‡ ‚ðÂÏfl t , ЪУ„‰‡ У˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ ‚˚р‡КВМЛВ Q = ∫∫(ρv)n dS ‰‡ВЪ М‡П НУОЛ˜ВТЪ‚У КЛ‰НУТЪЛ, ФрУ-
S
ÚÂ͇˛˘ÂÈ ˜ÂðÂÁ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ S ‚ ‚˚·р‡ММЫ˛ ТЪУрУМЫ Б‡ В‰ЛМЛˆЫ ‚рВПВМЛ. З ˝ЪУП Л Б‡НО˛˜‡ВЪТfl ПВı‡МЛ˜ВТНЛИ ТП˚ТО ФУЪУН‡ ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl.
§3. нВУрВП‡ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У (‚ВНЪУрМ‡fl ЩУрП‡). СЛ‚Вр„ВМˆЛfl
‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl Л ВВ ПВı‡МЛ˜ВТНЛИ ТП˚ТО
к‡ТТПУЪрЛП ФУОВ ‚ВНЪУр‡
a =ax (x,y,z)i+ay (x,y,z) j+az (x,y,z)k .
йФрВ‰ВОВМЛВ. СЛ‚Вр„ВМˆЛВИ ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl a ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl
‚˚р‡КВМЛВ |
|
|
|
|
∂ay |
(x,y,z) |
|
|
|
|
|
diva = |
∂a |
x |
(x,y,z) |
+ |
+ |
∂a |
z |
(x,y,z) |
. |
||
|
|
∂x |
|
∂y |
|
|
∂z |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
é˜Â‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ Ò ÔÓÏÓ˘¸˛ ÓÔÂð‡ÚÓð‡ ɇÏËθÚÓ̇ ‰Ë‚Âð„ÂÌˆË˛
ПУКМУ Б‡ФЛТ‡Ъ¸ Ъ‡Н: |
r |
ur ur |
|
||
|
div a |
= a. |
нВУрВП‡ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У (‚ВНЪУрМ‡fl ЩУрП‡). иУЪУН ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl a(ax ,ay ,az ) ˜ВрВБ Б‡ПНМЫЪЫ˛ ФУ‚ВрıМУТЪ¸ S ̇ðÛÊÛ ð‡-
‚ВМ ЪрУИМУПЫ ЛМЪВ„р‡ОЫ УЪ ‰Л‚Вр„ВМˆЛЛ ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl a ÔÓ ÚÂÎÛ
T , У„р‡МЛ˜ВММУПЫ ФУ‚ВрıМУТЪ¸˛ S , Ú.Â. ÍÓðÓ˜Â:
∫∫ands = ∫∫∫divadxdydz .
S T
ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó. е˚ ·Ы‰ВП ФрВ‰ФУО‡„‡Ъ¸, ˜ЪУ ‚˚ФУОМfl˛ЪТfl ЫТОУ‚Лfl, ФрЛ НУЪУр˚ı ТЫ˘ВТЪ‚Ы˛Ъ ЛМЪВ„р‡О˚, У НУЪУр˚ı рВ˜¸ ФУИ- ‰ВЪ МЛКВ.
к‡ТТПУЪрЛП ФУЪУН ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl a(ax ,ay ,az ) ˜ÂðÂÁ ÔÓ‚Âðı-
ÌÓÒÚ¸ S ̇ðÛÊÛ: Q = ∫∫andS , „‰Â n – ‚̯Ìflfl ÌÓðχθ Í ÔÓ‚Âðı-
S
МУТЪЛ S , Ó„ð‡Ì˘˂‡˛˘ÂÈ ÚÂÎÓ T , an – ФрУВНˆЛfl ‚ВНЪУр‡ a ̇ ˝ÚÛ ÌÓðχθ.
95
èÛÒÚ¸ ÌÓðχθ n Ó·ð‡ÁÛÂÚ Û„Î˚ λ , μ , ν Ò ÍÓÓð‰Ë̇ÚÌ˚ÏË ÓÒflÏË Ox , Oy Ë Oz ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ, ÚÓ„‰‡ n0 (cos λ,cos μ,cosν) , „‰Â n0
– ВТЪ¸ УрЪ, ТУУЪ‚ВЪТЪ‚Ы˛˘ЛИ ‚ВНЪУрЫ n Ë ÔðË ˝ÚÓÏ an = a n = =ax cos λ +ay cos μ +az cosν . нУ„‰‡ ФУЪУН Q ПУКМУ ‚˚р‡БЛЪ¸ Ъ‡Н:
Q = ∫∫ ax (x,y,z)cos λ +ay (x,y,z)cos μ +az (x,y,z)cosν dS .
S
ЗУТФУО¸БЫВПТfl ЪВФВр¸ ЩУрПЫОУИ, ЫТЪ‡М‡‚ОЛ‚‡˛˘ВИ Т‚flБ¸ ПВК‰Ы ФУ‚ВрıМУТЪМ˚ПЛ ЛМЪВ„р‡О‡ПЛ ФВр‚У„У Л ‚ЪУрУ„У рУ‰‡, ЪУ„‰‡ ‚˚р‡- КВМЛВ ‰Оfl ФУЪУН‡ Q ПУКМУ Б‡ФЛТ‡Ъ¸ Ъ‡Н:
Q = ∫∫ax (x,y,z)dydz +ay (x,y,z)dzdx +az (x,y,z)dxdy .
S
ЗТФУПЛМ‡fl, ˜ЪУ ФУ‰ БМ‡НУП ЪрУИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ‚ Фр‡‚УИ ˜‡ТЪЛ ТЪУЛЪ ‰Л‚Вр„ВМˆЛfl ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl a , УНУМ˜‡ЪВО¸МУ ПУКМУ М‡ФЛ-
Ò‡Ú¸
∫∫andS = ∫∫∫divadxdydz .
S T
нВУрВП‡ ‰УН‡Б‡М‡.
З˚flТМЛП ЪВФВр¸ ПВı‡МЛ˜ВТНЛИ ТП˚ТО ‰Л‚Вр„ВМˆЛЛ ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl.
СУФЫТЪЛП, ˜ЪУ ‚ВНЪУрМУВ ФУОВ ВТЪ¸ ФУОВ ТНУрУТЪВИ ЪВНЫ˘ВИ КЛ‰НУТЪЛ v(x,y,z,t) Л ФЫТЪ¸ ФОУЪМУТЪ¸ ˝ЪУИ КЛ‰НУТЪЛ ρ =const .
ЗУБ¸ПВП ‚ ФУОВ ‚ВНЪУр‡ v Б‡ПНМЫЪЫ˛ ФУ‚ВрıМУТЪ¸ S , У„р‡МЛ˜Л- ‚‡˛˘Ы˛ П‡О˚И У·˙ВП. иУ ЪВУрВПВ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У
QT = ∫∫∫div vdxdydz .
T
ирЛПВМflfl ЪВУрВПЫ У ТрВ‰МВП, ФУОЫ˜ЛП
QT = (div v)M vT ,
„‰Â M – МВНУЪУр‡fl "ТрВ‰Мflfl ЪУ˜Н‡", ОВК‡˘‡fl ‚ ЪВОВ T . éÚÒ˛‰‡
(div v)M =TQ . ëÊËχfl ÚÂÎÓ ‚ ÚÓ˜ÍÛ, ‚ Ôð‰ÂΠÔÓÎÛ˜ËÏ
(div v) |
= limQT . |
|
M |
λ→0 |
v |
|
|
T |
Ç˚‚Ó‰: ‰Л‚Вр„ВМˆЛfl ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl v ‰‡ВЪ М‡П р‡ТıУ‰ КЛ‰НУТЪЛ ЛБ ЪУ˜В˜МУ„У ЛТЪУ˜МЛН‡ ‚ В‰ЛМЛˆЫ ‚рВПВМЛ, Ъ.В. Ы‰ВО¸МЫ˛ ТЛОЫ ЛТЪУ˜МЛН‡. б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ ВТОЛ div v ‚ ‰‡ММУИ ЪУ˜НВ ФУОУКЛЪВО¸М‡,
96
ÚÓ ˝ÚÓ Á̇˜ËÚ, ˜ÚÓr ‚ ˝ÚÓÈ ÚӘ̇͠ıÓ‰ËÚÒfl ËÒÚÓ˜ÌËÍ, ‡ ÂÒÎË ‚ ‰‡Ì- ÌÓÈ ÚӘ͠div v ÓÚðˈ‡ÚÂθ̇, ÚÓ ˝ÚÓ ÓÁ̇˜‡ÂÚ, ˜ÚÓ ‚ ˝ÚÓÈ ÚӘ̇͠ıÓ‰ËÚÒfl ÒÚÓÍ.
ирЛМЛП‡fl ‚У ‚МЛП‡МЛВ ˝ЪУ р‡ТТЫК‰ВМЛВ, ПУКМУ ‰‡Ъ¸ ПВı‡МЛ˜В- ТНУВ ЛТЪУОНУ‚‡МЛВ ЪВУрВП˚ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У: р‡ТıУ‰ КЛ‰НУТЪЛ ЛБ ЪВО‡ T , Ó„ð‡Ì˘ÂÌÌÓ„Ó ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸˛ S , ‚ В‰ЛМЛˆЫ ‚рВПВМЛ р‡‚ВМ ТЫППВ ФУФ‡рМ˚ı ФрУЛБ‚В‰ВМЛИ Ы‰ВО¸М˚ı ТЛО ЛТЪУ˜МЛНУ‚ М‡ ˝ОВПВМЪ‡рМ˚В У·˙ВП˚, ТУ‰ВрК‡˘ЛВ ˝ЪЛ ЛТЪУ˜МЛНЛ.
б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ П˚ ФУФЫЪМУ ‰УН‡Б‡ОЛ МВБ‡‚ЛТЛПУТЪ¸ ‰Л‚Вр„ВМˆЛЛ ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl УЪ ‚˚·Ур‡ ТЛТЪВП˚ НУУр‰ЛМ‡Ъ. СВИТЪ‚ЛЪВО¸МУ, Т У‰МУИ ТЪУрУМ˚
diva = ∂∂axx + ∂∂ayy + ∂∂azz ,
‡ Т ‰рЫ„УИ – ˝ЪУ Ы‰ВО¸М‡fl ТЛО‡ ЛТЪУ˜МЛН‡, ‡ МВБ‡‚ЛТЛПУТЪ¸ ФУТОВ‰- МВИ УЪ ТЛТЪВП˚ НУУр‰ЛМ‡Ъ У˜В‚Л‰М‡.
ирЛПВр. з‡ИЪЛ ФУЪУН ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl a =xi+(y +1) j+zk ЛБ ЪВ- О‡, У„р‡МЛ˜ВММУ„У НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚ПЛ ФОУТНУТЪflПЛ x = 0 , y = 0 , z = 0 Л ФОУТНУТЪ¸˛ x +y +z −1 = 0 М‡рЫКЫ ФУ ЪВУрВПВ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У Л МВФУТрВ‰ТЪ‚ВММУ (рЛТ. 4.3.1).
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
ur |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
uur |
|
|
n1(−1,0,0) |
|
|||||
n2 (0, −1,0) |
|
|
|
|
|
y |
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
ur |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
|
|
|
|
n3 (0,0, −1) |
|
|||
1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
êËÒ. 4.3.1 |
|
|
|||
ê¯ÂÌËÂ.
I-È ÏÂÚÓ‰. З˚˜ЛТОЛП ФУЪУН ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl ФУ ЪВУрВПВ йТЪрУ- „р‡‰ТНУ„У. з‡И‰ВП diva .
аПВВП:
ax =x , ay =y +1, az =z .
á̇˜ËÚ,
∂∂axx =1, ∂∂ayy =1, ∂∂azz =1.
97
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, diva = 3 . иУЪУН ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl
|
1 |
1−x |
1−x−y |
|
1 . |
|
Q = 3∫∫∫dxdydz = 3∫dx |
∫dy |
∫ |
dz = |
|||
T |
0 |
|
0 |
0 |
|
2 |
II-È ÏÂÚÓ‰. З˚˜ЛТОЛП ФУЪУН ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl Т ФУПУ˘¸˛ ЛМЪВ- „р‡О‡ ФВр‚У„У рУ‰‡.
аПВВП:
Q = ∫∫ ax cos λ +ay cos μ +az cosν dS ,
S
„‰Â S ÔÓÎ̇fl ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ Ú· T , ТУТЪУfl˘‡fl ЛБ ˜ВЪ˚рВı ˜‡ТЪВИ: S =S1 +S2 +S3 +S4 ; Á‰ÂÒ¸ cos λ , cos μ Ë cosν – ̇Ôð‡‚Îfl˛˘Ë ÍÓ-
ТЛМЫТ˚ ‚МВ¯МВИ МУрП‡ОЛ Н ФУ‚ВрıМУТЪЛ;
ax =x , ay =y +1, az =z .
иУЪУН Q ПУКМУ ФрВ‰ТЪ‡‚ЛЪ¸ ‚ ‚Л‰В ТЫПП˚ ˜ВЪ˚рВı ФУЪУНУ‚: Q =Q1 +Q2 +Q3 +Q4 . З˚˜ЛТОЛП Н‡К‰˚И ЛБ ФУЪУНУ‚:
1. Q1 = ∫∫[xcos λ +(y +1)cos μ +zcosν ]dS , n1(−1,0,0) , Ú.Â.:
S1
cos λ = −1, cos μ = 0 , cosν = 0 , dS =dydz . ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, Q1 = ∫∫−xdydz = 0 , Ъ.Н. М‡ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S1 x = 0 .
S1
2. Q2 = ∫∫[xcos λ +(y +1)cos μ +zcosν ]dS , n2 (0, −1,0) , Ú.Â.:
S2
cos λ = 0 , cos μ = −1, cosν = 0 .
í‡ÍËÏ Ó·ð‡ÁÓÏ: Q2 = −∫∫(y +1)dS . á‰ÂÒ¸ dS =dydz , Ôð˘ÂÏ y = 0
|
S2 |
|
|
|
|
̇ S2 , ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ, Q2 |
= −∫∫dxdy = −∫1 dx1−∫xdz = −∫1 |
(1−x2 )dx = − |
1 . |
||
|
S2 |
0 0 |
0 |
|
2 |
3. Q3 = ∫∫[xcos λ +(y +1)cos μ +zcosν ]dS , n2 (0,0, −1) , Ú.Â.
S3
cos λ = 0 , cos μ = 0 , cosν = −1.
Q3 = −∫∫zdS = 0 , Ъ.Н. М‡ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S3 z = 0.
S3
4. Q4 = ∫∫[xcos λ +(y +1)cos μ +zcosν ]dS .
S4
èÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ S4 ЛПВВП Ыр‡‚МВМЛВ z =1 −x −y , ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ,
98
p(x,y) = |
∂z(x,y) |
= −1, q(x,y) = |
∂z(x,y) |
|
= −1, |
|||||||
|
|
|
∂y |
|||||||||
|
∂x |
|
|
|
|
|||||||
ÚÓ„‰‡ dS = p2 (x,y) +q2 (x,y) +1 = |
3 . |
иУ‚ВрıМУТЪМ˚И ЛМЪВ„р‡О |
||||||||||
Б‰ВТ¸ ‚˚˜ЛТОflВЪТfl ФУ ‚ВрıМВИ ТЪУрУМВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S4 , Á̇˜ËÚ Ì‡- |
||||||||||||
Фр‡‚Оfl˛˘ЛВ НУТЛМЫТ˚ МУрП‡ОЛ n4 |
·Û‰ÛÚ ð‡‚Ì˚: |
|
||||||||||
cos λ = |
1 |
, cos μ = |
1 |
, cosν = |
1 |
. |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
3 |
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|||||
íÓ„‰‡ ÔÓÎÛ˜ËÏ
Q4 = ∫∫S4 x 13 +(y +1) 13 +z 13 dS =
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
= ∫∫ x |
|
+(y +1) |
|
+(1−x −y) |
|
|
3dxdy = 2∫∫dxdy =1 |
||
3 |
3 |
3 |
|||||||
S4 |
|
|
|
|
S4 |
||||
éÍÓ̘‡ÚÂθÌÓ: Q =Q1 +Q2 +Q3 +Q4 = 0 − 12 + 0 +1 = 12 .
III-È ÏÂÚÓ‰. З˚˜ЛТОЛП ЪУЪ КВ Т‡П˚И ФУЪУН Т ФУПУ˘¸˛ ФУ‚ВрıМУТЪМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ‚ЪУрУ„У рУ‰‡ Q = ∫∫axdydz +aydzdx +azdxdy .
S
Ç Ì‡¯ÂÏ ÒÎÛ˜‡Â Q = ∫∫xdydz +(y +1)dzdx +zdxdy , Í‡Í Ë ‚ ÔðÂ-
S
‰˚‰Ы˘ВП ТОЫ˜‡В, ФУЪУН Q ФрВ‰ТЪ‡‚ЛП ‚ ‚Л‰В ТЫПП˚ ˜ВЪ˚рВı ФУЪУНУ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ, ˜ВрВБ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S1 , S2 , S3 , S4 :
1.ç‡ S1 x = 0 , dx = 0 , ‡ Á̇˜ËÚ Q1 = 0 .
2.ç‡ S2 y = 0 , dy = 0 , ‡ ТЪУрУМ‡ ФУ‚ВрıМУТЪЛ, ФУ НУЪУрУИ ‚˚-
˜ËÒÎflÂÚÒfl ËÌÚ„ð‡Î, ÌËÊÌflfl, Á̇˜ËÚ |
|
|
|||
|
|
Q2 = −∫∫dzdx = −∫1 dx1−∫xdz = − |
1 . |
||
|
|
S2 |
0 |
0 |
2 |
|
|
|
|||
3. ç‡ |
S3 z = 0, |
dz = 0 , |
ТЪУрУМ‡ |
ФУ‚ВрıМУТЪЛ МЛКМflfl БМ‡˜ЛЪ |
|
Q3 = 0 . |
∫∫ |
|
|
|
|
4. Q4 = |
xdydz +(y +1)dzdx +zdzdy = |
|
|||
|
S4 (‚ÂðıÌ. ÒÚÓð) |
|
|
|
|
= ∫∫xdydz + ∫∫(y +1)dzdx + ∫∫zdzdy .
S4 S4 S4
ç‡ S4 x =1−y −z , y = 2 −x −z , z =1−x −y . ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ,
99
Q4 = ∫∫(1−y −z)dydz + ∫∫(2 −x −z)dzdx + ∫∫(1−x −y)dzdy =
S4 |
|
|
|
|
S4 |
|
|
S4 |
|
1 |
1−y |
|
|
|
1 |
1−x |
1 |
1−y |
|
= ∫dy ∫ |
(1−y −z)dz + ∫dy |
∫ |
(2 −x −z)dz + ∫dx ∫ (1−x −y)dy =1. |
||||||
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
0 |
0 |
0 |
Q =Q +Q |
2 |
+Q +Q |
4 |
= 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
§4. лУОВМУЛ‰МУВ ‚ВНЪУрМУВ ФУОВ Л В„У Т‚УИТЪ‚‡
1. мр‡‚МВМЛВ МВр‡Бр˚‚МУТЪЛ. йФВр‡ЪУр г‡ФО‡Т‡.
йФрВ‰ВОВМЛВ 1. ЦТОЛ ‚ВНЪУрМУВ ФУОВ a Ú‡ÍÓ‚Ó, ˜ÚÓ ‚ ͇ʉÓÈ Â„Ó ÚӘ͠diva = 0 , ÚÓ ÔÓΠ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÌÂÁ‡ðflÊÂÌÌ˚Ï ËÎË ТУОВМУЛ- ‰‡О¸М˚П.
ирЛМЛП‡fl ‚У ‚МЛП‡МЛВ ПВı‡МЛ˜ВТНЛИ ТП˚ТО ‰Л‚Вр„ВМˆЛЛ ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl, МВЪрЫ‰МУ Т‰ВО‡Ъ¸ ‚˚‚У‰, ˜ЪУ ‚ ТУОВМУЛ‰‡О¸МУП ФУОВ МВЪ ЛТЪУ˜МЛНУ‚ Л ТЪУНУ‚.
z |
|
n3 |
|
|
|
|
S2 |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
S1 |
|
S3 |
|
n1 |
|
n2 |
|
|
|
n1 |
|
y |
|
0 |
|
|
||
|
|
|
|
|
x
êËÒ. 4.4.1
к‡ТТПУЪрЛП ЪВФВр¸ ‚ ТУОВМУЛ‰‡О¸МУП ‚ВНЪУрМУП ФУОВ МВНУЪУрЫ˛ Б‡ПНМЫЪЫ˛ ФУ‚ВрıМУТЪ¸, У·р‡БУ‚‡ММЫ˛ ‚ВНЪУрМУИ ЪрЫ·НУИ S3 Л ВВ ‰‚ЫПfl ФУФВрВ˜М˚ПЛ ТВ˜ВМЛflПЛ S1 Ë S2 . é·ÓÁ̇˜ËÏ ˜ÂðÂÁ n1 , n2 Ë n3 ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ ‚̯ÌË ÌÓðχÎË Í ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚflÏ S1 , S2 Ë S3 . н‡Н Н‡Н ФУОВ ‚ВНЪУр‡ a ТУОВМУЛ‰‡О¸МУ, ЪУ ФУЪУН ‚ВНЪУр‡ a ˜ВрВБ Б‡ПНМЫЪЫ˛ ФУ‚ВрıМУТЪ¸ ‚ ТЛОЫ ЪВУрВП˚ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У р‡‚ВМ МЫ- О˛.
100