Госы 5к Надя / лекции_3 / kr-int
.pdfеазалнЦклнЗй йЕкДбйЗДзаь а зДмда кйллавлдйв оЦСЦкДсаа
оЦСЦкДгъзйЦ ДЙЦзнлнЗй ий йЕкДбйЗДзаы
лДздн-иЦнЦкЕмкЙлдав ЙйлмСДклнЗЦззхв мзаЗЦкланЦн азойкеДсайззхп нЦпзйгйЙав, еЦпДзада а йинада
а.Д. гДиаз г.л. кДнДоъЦЗД
дкДнзхЦ азнЦЙкДгх. нЦйкаь ийгь.
ì˜Â·ÌÓ ÔÓÒÓ·ËÂ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
л‡МНЪ-иВЪВр·Ыр„ 2009
дУООВНЪЛ‚ ‡‚ЪУрУ‚:
à.Ä. ã‡ÔËÌ, ã.ë. ê‡Ú‡Ù¸Â‚‡
др‡ЪМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚. нВУрЛfl ФУОfl.
èÓ‰ Ó·˘ÂÈ ð‰‡ÍˆËÂÈ ã.ë. ê‡Ú‡Ù¸Â‚ÓÈ ì˜Â·ÌÓ ÔÓÒÓ·ËÂ. ëè·: ëè·Éì àíåé, 2009 „Ó‰, 112 Ò.
ирВ‰О‡„‡ВПУВ Ы˜В·МУВ ФУТУ·ЛВ ФрВ‰ТЪ‡‚ОflВЪ ТУ·УИ ·‡БУ‚˚И НУМТФВНЪ ОВНˆЛИ ФУ ‚˚Т¯ВИ П‡ЪВП‡ЪЛНВ ‰Оfl ТЪЫ‰ВМЪУ‚ 1-„У НЫрТ‡ (2 ТВПВТЪр) ‰МВ‚МУ„У Л ‚В˜ВрМВ„У УЪ‰ВОВМЛfl У·˘ВЛМКВМВрМ˚ı ТФВˆЛ‡О¸МУТЪВИ. З МВП р‡ТТП‡ЪрЛ‚‡˛ЪТfl ТОВ‰Ы˛˘ЛВ ЪВП˚: «С‚УИМ˚В Л ЪрУИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚», «дрЛ‚УОЛМВИМ˚В Л ФУ‚ВрıМУТЪМ˚В ЛМЪВ- „р‡О˚», «щОВПВМЪ˚ ЪВУрЛЛ ФУОfl». лУ‰ВрК‡МЛВ ФУТУ·Лfl ТУУЪ‚ВЪТЪ- ‚ЫВЪ У·р‡БУ‚‡ЪВО¸М˚П ТЪ‡М‰‡рЪ‡П Л ФрУ„р‡ППВ ФУ ‚˚Т¯ВИ П‡ЪВП‡- ЪЛНВ ‰Оfl М‡Фр‡‚ОВМЛfl 550000 — нВıМЛ˜ВТНЛВ М‡ЫНЛ.
ирЛ М‡ФЛТ‡МЛЛ ФУТУ·Лfl ЛТФУО¸БУ‚‡ОЛТ¸ П‡ЪВрЛ‡О˚ ‰рЫ„Лı ЛБ- ‰‡МЛИ, НУЪУр˚В ФрЛ‚У‰flЪТfl ‚ ТФЛТНВ ОЛЪВр‡ЪЫр˚ ·ВБ ‰УФУОМЛЪВО¸- М˚ı ТТ˚ОУН.
кВНУПВМ‰У‚‡МУ Н ФВ˜‡ЪЛ м˜ВМ˚П лУ‚ВЪУП ВТЪВТЪ‚ВММУМ‡Ы˜МУ„У Щ‡НЫО¸ЪВЪ‡ ли·Йм аней (ФрУЪУНУО №5 ÓÚ 23 ‰Â͇·ðfl 2008 „Ó‰‡)
З 2007 „У‰Ы ли·Йм аней ТЪ‡О ФУ·В‰ЛЪВОВП НУМНЫрТ‡ ЛММУ‚‡- ˆЛУММ˚ı У·р‡БУ‚‡ЪВО¸М˚ı ФрУ„р‡ПП ‚ЫБУ‚ кУТТЛЛ М‡ 2007-2008 „У- ‰˚. кВ‡ОЛБ‡ˆЛfl ЛММУ‚‡ˆЛУММУИ У·р‡БУ‚‡ЪВО¸МУИ ФрУ„р‡ПП˚ «аММУ‚‡ˆЛУММ‡fl ТЛТЪВП‡ ФУ‰„УЪУ‚НЛ ТФВˆЛ‡ОЛТЪУ‚ МУ‚У„У ФУНУОВМЛfl ‚ У·О‡ТЪЛ ЛМЩУрП‡ˆЛУММ˚ı Л УФЪЛ˜ВТНЛı ЪВıМУОУ„ЛИ» ФУБ‚УОЛЪ ‚˚ИЪЛ М‡ Н‡˜ВТЪ‚ВММУ МУ‚˚И ЫрУ‚ВМ¸ ФУ‰„УЪУ‚НЛ ‚˚ФЫТНМЛНУ‚ Л Ы‰У‚ОВЪ‚УрЛЪ¸ ‚УБр‡ТЪ‡˛˘ЛИ ТФрУТ М‡ ТФВˆЛ‡ОЛТЪУ‚ ‚ ЛМЩУрП‡ˆЛУММУИ, УФЪЛ˜ВТНУИ Л ‰рЫ„Лı ‚˚ТУНУЪВıМУОУ„Л˜М˚ı УЪр‡ТОflı ˝НУМУПЛНЛ.
©л‡МНЪ-иВЪВр·Ыр„ТНЛИ „УТЫ‰‡рТЪ‚ВММ˚И ЫМЛ‚ВрТЛЪВЪ ЛМЩУрП‡ˆЛУММ˚ı ЪВıМУОУ„ЛИ, ПВı‡МЛНЛ Л УФЪЛНЛ, 2009 „.
©à.Ä. ã‡ÔËÌ, ã.ë. ê‡Ú‡Ù¸Â‚‡, 2009 „.
2
й„О‡‚ОВМЛВ
ЙО‡‚‡ 1 С‚УИМ˚В Л ЪрУИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ .............. |
5 |
|
§1 |
Ñ‚ÓÈÌ˚ ËÌÚ„ð‡Î˚ .......................... |
5 |
§2 |
нрУИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ .......................... |
22 |
§3 ирЛПВМВМЛВ ‰‚УИМ˚ı Л ЪрУИМ˚ı ЛМЪВ„р‡ОУ‚ ...... |
29 |
|
§4 дрЛ‚УОЛМВИМ˚В НУУр‰ЛМ‡Ъ˚ Л Б‡ПВМ‡ ФВрВПВММ˚ı |
|
|
|
‚ Íð‡ÚÌ˚ı ËÌÚ„ð‡Î‡ı ........................ |
33 |
É·‚‡ 2 |
дрЛ‚УОЛМВИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚.................. |
50 |
§1 дрЛ‚УОЛМВИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ I рУ‰‡ ............... |
50 |
|
§2 дрЛ‚УОЛМВИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ II рУ‰‡ .............. |
55 |
|
§3 |
оУрПЫО‡ ЙрЛМ‡ .............................. |
61 |
§4 дрЛ‚УОЛМВИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚, МВ Б‡‚ЛТfl˘ЛВ УЪ ФЫЪЛ |
|
|
|
ËÌÚ„ðËðÓ‚‡ÌËfl.............................. |
65 |
É·‚‡ 3 |
иУ‚ВрıМУТЪМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ .................. |
73 |
§1 иУ‚ВрıМУТЪМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ I рУ‰‡ ............... |
73 |
|
§2 С‚ЫТЪУрУММЛВ Л У‰МУТЪУрУММЛВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ. лЪУ- |
|
|
|
рУМ‡ ФУ‚ВрıМУТЪЛ. ............................ |
74 |
§3 иУ‚ВрıМУТЪМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚ II рУ‰‡............... |
76 |
|
§4 |
оУрПЫО‡ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У ...................... |
79 |
§5 |
оУрПЫО‡ лЪУНТ‡ ............................. |
82 |
3
ЙО‡‚‡ 4 щОВПВМЪ˚ ЪВУрЛЛ ФУОfl ..................... |
84 |
|
§1 лН‡ОflрМУВ ФУОВ. Йр‡‰ЛВМЪ. ирУЛБ‚У‰М‡fl ФУ М‡- |
|
|
|
Ôð‡‚ÎÂÌ˲ ................................. |
84 |
§2 |
ЗВНЪУрМУВ ФУОВ.............................. |
91 |
§3 нВУрВП‡ йТЪрУ„р‡‰ТНУ„У (‚ВНЪУрМ‡fl ЩУрП‡). СЛ- |
|
|
|
‚Вр„ВМˆЛfl ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl Л ВВ ПВı‡МЛ˜ВТНЛИ |
|
|
ÒÏ˚ÒÎ ..................................... |
95 |
§4 лУОВМУЛ‰‡О¸МУВ ‚ВНЪУрМУВ ФУОВ Л В„У Т‚УИТЪ‚У. |
|
|
|
мр‡‚МВМЛВ МВр‡Бр˚‚МУТЪЛ. йФВр‡ЪУр г‡ФО‡Т‡ ..... |
100 |
§5 сЛрНЫОflˆЛfl ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl ФУ Б‡ПНМЫЪУПЫ НУМ- |
|
|
|
ЪЫрЫ. ЗЛıр¸ ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl. ЗВНЪУрМ‡fl ЩУрП‡ |
|
|
ЪВУрВП˚ лЪУНТ‡.............................. |
102 |
§6 |
иУЪВМˆЛ‡О¸МУВ ‚ВНЪУрМУВ ФУОВ ................. |
108 |
4
Quidquid praecepies, esto brevis1 óÂÏÛ ·˚ Ú˚ ÌË Û˜ËÎ, ·Û‰¸ Íð‡ÚÓÍ
_
á‡Ôӂ‰¸ ÉÓð‡ˆËfl.
É·‚‡ 1
С‚УИМ˚В Л ЪрУИМ˚В ЛМЪВ„р‡О˚
§1. С‚УИМУИ ЛМЪВ„р‡О
1. йФрВ‰ВОВМЛВ ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡.
ирВК‰В ˜ВП ‰‡Ъ¸ УФрВ‰ВОВМЛВ ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡, Т‰ВО‡ВП МВТНУО¸НУ ФрВ‰‚‡рЛЪВО¸М˚ı Б‡ПВ˜‡МЛИ Л УФрВ‰ВОВМЛИ.
йФрВ‰ВОВМЛВ 1. äðË‚‡fl K ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ФрУТЪУИ НрЛ‚УИ, ВТОЛ УМ‡ р‡ТФ‡‰‡ВЪТfl М‡ НУМВ˜МУВ ˜ЛТОУ ˜‡ТЪВИ, Н‡К‰‡fl ЛБ НУЪУр˚ı ЛПВВЪ Ыр‡‚МВМЛВ ‚Л‰‡ y = f(x) ËÎË x =ϕ(y) , Ôð˘ÂÏ ÙÛÌ͈ËË f(x) Ë ϕ(y) МВФрВр˚‚М˚ М‡ МВНУЪУрУП ФрУПВКЫЪНВ [a,b] ËÎË [p,q] ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚ÂÌÌÓ.
Ç ÚÓÏ ÒÎÛ˜‡Â, ÂÒÎË ÍðË‚‡fl K – ФрУТЪ‡fl, Б‡ПНМЫЪ‡fl, Т‡ПУМВФВрВТВН‡˛˘‡flТfl НрЛ‚‡fl, ОВК‡˘‡fl ‚ ФОУТНУТЪЛ xOy , ЪУ ПМУКВТЪ‚У ‚ТВı ЪУ˜ВН ФОУТНУТЪЛ р‡Б·Л‚‡ВЪТfl В‰ЛМТЪ‚ВММ˚П У·р‡БУП М‡ ‰‚‡ Т‚flБМ˚ı ПМУКВТЪ‚‡. е˚ ·Ы‰ВП ‚ ‰‡О¸МВИ¯ВП р‡ТТП‡ЪрЛ‚‡Ъ¸ У·О‡Т- ЪЛ, У„р‡МЛ˜ВММ˚В НрЛ‚УИ K . нУ˜НЛ, ОВК‡˘ЛВ М‡ НУМЪЫрВ K , Ï˚ ·Û‰ÂÏ Ò˜ËÚ‡Ú¸ ÔðË̇‰ÎÂʇ˘ËÏË Ó·Î‡ÒÚË D , НУЪУрЫ˛ У„р‡МЛ˜Л‚‡ВЪ ˝ЪУЪ НУМЪЫр, Ъ.В. ·Ы‰ВП р‡ТТП‡ЪрЛ‚‡Ъ¸ Б‡ПНМЫЪЫ˛ У·О‡ТЪ¸ D , У„р‡- МЛ˜ВММЫ˛ ФрУТЪ˚П Т‡ПУМВФВрВТВН‡˛˘ЛПТfl НУМЪЫрУП K .
1 |
/ |
/ |
/ |
/ |
Ър‡МТНрЛФˆЛfl [Н‚Л‰Н‚Л‰ Фр˝ |
ˆ˝ÔË˝Ò, ˝ÒÚÓ ·ð˝‚ËÒ] |
5
е˚ ·Ы‰ВП Ъ‡НКВ р‡ТТП‡ЪрЛ‚‡Ъ¸ ‚ ‰‡О¸МВИ¯ВП ФрУТЪ˚В У·О‡ТЪЛ, ФУМЛП‡fl ФУ‰ ˝ЪЛП У·О‡ТЪЛ, У„р‡МЛ˜ВММ˚В ФрУТЪ˚ПЛ НрЛ‚˚ПЛ Л Ъ‡- НЛВ, ˜ЪУ О˛·‡fl ФрflП‡fl, Ф‡р‡ООВО¸М‡fl НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚П УТflП, ФВрВТВ- Н‡ВЪ „р‡МЛˆЫ У·О‡ТЪЛ МВ ·УОВВ ˜ВП ‚ ‰‚Ыı ЪУ˜Н‡ı (рЛТ. 1.1.1).
|
y |
y |
D2 |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
D3 |
|
|
|
D |
|
|
|
|
1 |
|
0 |
x |
0 |
|
x |
|
êËÒ. 1.1.1 |
|
êËÒ. 1.1.2 |
|
ЦТЪВТЪ‚ВММУ, ˜ЪУ Н ˜ЛТОЫ Ъ‡НЛı У·О‡ТЪВИ П˚ ·Ы‰ВП УЪМУТЛЪ¸ Л У·О‡ТЪЛ, НУЪУр˚В ПУКМУ р‡Б·ЛЪ¸ М‡ НУМВ˜МУВ ˜ЛТОУ У·О‡ТЪВИ ЫН‡- Б‡ММУ„У ‚˚¯В ЪЛФ‡ (рЛТ. 1.1.2).
|
y |
y |
K |
|
|
||
|
N |
|
|
|
D |
|
D |
|
|
|
|
|
M |
|
|
0 |
x |
0 |
x |
|
êËÒ. 1.1.3 |
|
êËÒ. 1.1.4 |
к‡ТТПУЪрЛП ФрУТЪЫ˛ У·О‡ТЪ¸ D (ðËÒ. 1.1.3), Ó„ð‡Ì˘ÂÌÌÛ˛ ÍðË- ‚ÓÈ K , Ë Ó·ÓÁ̇˜ËÏ ˜ÂðÂÁ r(M,N) ПМУКВТЪ‚У р‡ТТЪУflМЛИ ПВК‰Ы ЪУ˜Н‡ПЛ M Ë N , ÎÂʇ˘ËÏË Ì‡ ÍðË‚ÓÈ K . ç‡Ë·Óθ¯Â ð‡ÒÒÚÓflÌË ÏÂÊ‰Û ÚӘ͇ÏË M Ë N ·Ы‰ВП М‡Б˚‚‡Ъ¸ ‚ ‰‡О¸МВИ¯ВП ‰Л‡- ПВЪрУП У·О‡ТЪЛ D . С‡‰ЛП ЪВФВр¸ ТЪрУ„УВ УФрВ‰ВОВМЛВ ФУМflЪЛfl ФОУ˘‡‰Л У·О‡ТЪЛ D , У„р‡МЛ˜ВММУИ НУМЪЫрУП K (ðËÒ. 1.1.4).
èÛÒÚ¸ R ВТЪ¸ МВНУЪУр˚И ФрflПУЫ„УО¸МЛН ТУ ТЪУрУМ‡ПЛ, Ф‡р‡О- ОВО¸М˚ПЛ НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚П УТflП, ТУ‰ВрК‡˘ЛИ НУМЪЫр K ˆВОЛНУП
6
‚МЫЪрЛ ТВ·fl, МВ Б‡‰В‚‡fl ЪУ˜ВН НУМЪЫр‡ K . ê‡ÁÓ·¸ÂÏ ÔðflÏÓÛ„Óθ- ÌËÍ R ТВЪ¸˛ ФрflП˚ı, Ф‡р‡ООВО¸М˚ı НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚П УТflП, М‡ ФрflПУЫ„УО¸МЛНЛ (fl˜ВИНЛ). з‡Л·УО¸¯ЛИ ЛБ ‰Л‡ПВЪрУ‚ fl˜ВВН У·УБМ‡˜ЛП ˜ВрВБ λ Ë ·Û‰ÂÏ Ì‡Á˚‚‡Ú¸ ð‡Ì„ÓÏ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl.
é·ÓÁ̇˜ËÏ ˜ÂðÂÁ S1 ТЫППЫ ФОУ˘‡‰ВИ fl˜ВВН, ˆВОЛНУП ОВК‡˘Лı ‚ У·О‡ТЪЛ D Л МВ Б‡‰В‚‡˛˘Лı НУМЪЫр‡ K , ‡ ˜ÂðÂÁ S2 – ТЫППЫ ФОУ- ˘‡‰ВИ fl˜ВВН, ЛПВ˛˘Лı Т У·О‡ТЪ¸˛ D ЛОЛ ВВ НУМЪЫрУП ıУЪfl ·˚ У‰МЫ У·˘Ы˛ ЪУ˜НЫ. й˜В‚Л‰МУ, ˜ЪУ S1 ≤S2 . ÖÒÎË ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ó·˘ËÈ
Ôð‰ÂÎ limS = limS |
2 |
=S ÔðË ÛÒÎÓ‚ËË, ˜ÚÓ ˜ËÒÎÓ fl˜ÂÂÍ Û‚Â΢˂‡- |
|
n→∞ 1 |
n→∞ |
|
ÂÚÒfl, ‡ ð‡Ì„ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl λ ТЪрВПЛЪТfl Н МЫО˛ (Ъ.В. λ → 0 ), ÚÓ ˜ËÒÎÓ S ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ÔÎÓ˘‡‰¸˛ ӷ·ÒÚË D , ‡ ҇χ ӷ·ÒÚ¸ D ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl
Н‚‡‰рЛрЫВПУИ.
к‡ТТПУЪрЛП ЪВФВр¸ МВНУЪУрЫ˛ ЩЫМНˆЛ˛ f(x,y) , УФрВ‰ВОВММЫ˛ ‚ ФрУТЪУИ У·О‡ТЪЛ D , У„р‡МЛ˜ВММУИ НУМЪЫрУП K (ðËÒ. 1.1.5). ч‰ËÏ
УФрВ‰ВОВМЛВ ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡. |
|
z |
S : z = f(x,y) |
f(xk ,yk )
0 |
|
y |
|
|
|
|
D |
Mk (xk ,yk ) |
|
|
|
x |
|
|
|
êËÒ. 1.1.5 |
|
йФрВ‰ВОВМЛВ 2 (УФрВ‰ВОВМЛВ ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡). ê‡ÁÓ·¸ÂÏ Ó·Î‡ÒÚ¸ D ТВЪ¸˛ ФрУТЪ˚ı НрЛ‚˚ı ФрУЛБ‚УО¸М˚П У·р‡БУП М‡ fl˜ВИНЛ D1 , D2 , ..., Dn Ò ÔÎÓ˘‡‰flÏË S1 , S2 , ..., Sn Ë ‰Ë‡ÏÂÚ- ð‡ÏË d1 , d2 , ..., dn . з‡Л·УО¸¯ЛИ ЛБ ‰Л‡ПВЪрУ‚ У·УБМ‡˜ЛП ˜ВрВБλ –
ð‡Ì„ ‰ðÓ·ÎÂÌËfl.
7
З Н‡К‰УИ ˜‡ТЪМУИ fl˜ВИНВ Dk ‚УБ¸ПВП ФрУЛБ‚УО¸МЫ˛ ЪУ˜НЫ Mk (xk ,yk ) Л ‚˚˜ЛТОЛП ‚ МВИ БМ‡˜ВМЛВ ЩЫМНˆЛЛ f(xk ,yk ) . ìÏÌÓ-
ÊËÏ Á‡ÚÂÏ f(xk ,yk ) ̇ ÔÎÓ˘‡‰¸ ÒÓÓÚ‚ÂÚÒÚ‚Û˛˘ÂÈ fl˜ÂÈÍË |
Sk Ë |
|
ФрУТЫППЛрЫВП |
‚ТВ Ъ‡НЛВ ФрУЛБ‚В‰ВМЛfl, Ъ.В. ТУТЪ‡‚ЛП |
ТЫППЫ |
n |
|
|
σn = ∑f(xk ,yk ) |
Sk , НУЪУр‡fl М‡Б˚‚‡ВЪТfl ЛМЪВ„р‡О¸МУИ ТЫППУИ |
k=1
ËÎË ТЫППУИ кЛП‡М‡. аБПВО¸˜‡fl ‰‡О¸¯В ‰рУ·ОВМЛВ ФрЛ ЫТОУ‚ЛЛ, ˜ЪУ р‡М„ ‰рУ·ОВМЛfl λ → 0 , Л˘ВП ФрВ‰ВО ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪЛ ЛМ-
Ú„ð‡Î¸Ì˚ı ÒÛÏÏ I = limσn . ÖÒÎË ˝ÚÓÚ Ôð‰ÂÎ ÒÛ˘ÂÒÚ‚ÛÂÚ Ë ÌÂ
n→∞
λ→0
Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ТФУТУ·‡ ‰рУ·ОВМЛfl Л ‚˚·Ур‡ ЪУ˜ВН Mk , ÚÓ ÓÌ Ì‡Á˚‚‡- ÂÚÒfl ‰‚ÓÈÌ˚Ï ËÌÚ„ð‡ÎÓÏ ÓÚ ÙÛÌ͈ËË f(xk ,yk ) ÔÓ Ó·Î‡ÒÚË D
Ë Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl Ú‡Í:
I = ∫∫f(x,y)dxdy.
D
ë‡Ï‡ ÔÓ‰˚ÌÚ„ð‡Î¸Ì‡fl ÙÛÌ͈Ëfl f(x,y) ФрЛ ˝ЪУП М‡Б˚‚‡ВЪТfl ЛМЪВ„рЛрЫВПУИ ФУ У·О‡ТЪЛ D .
аЪ‡Н, ФрЛМЛП‡fl ‚У ‚МЛП‡МЛВ ФрЛ‚В‰ВММУВ ‚˚¯В р‡ТТЫК‰ВМЛВ, П˚ ПУКВП НУрУЪНУ УФрВ‰ВОЛЪ¸ ‰‚УИМУИ ЛМЪВ„р‡О УЪ ЩЫМНˆЛЛ f(x,y) ÔÓ Ó·Î‡ÒÚËD Н‡Н ФрВ‰ВО ФУТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУТЪЛ ЛМЪВ„р‡О¸М˚ı ТЫПП кЛП‡М‡, Ъ.В.
|
def |
n |
∫∫f(x,y)dxdy = nlim→∞ |
∑f(xk ,yk ) Sk . |
|
D |
λ→0 |
k=1 |
нВУрВП‡ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛfl ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡. ÖÒÎË ÔÓ‰˚ÌÚÂ- „ð‡Î¸Ì‡fl ÙÛÌ͈Ëfl f(x,y) МВФрВр˚‚М‡ ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ ФрУТЪУИ Б‡ПНМЫЪУИ У·О‡ТЪЛ D , ЪУ УМ‡ ‚ ˝ЪУИ У·О‡ТЪЛ ЛМЪВ„рЛрЫВП‡.
(ÅÂÁ ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚‡.)
2. ЙВУПВЪрЛ˜ВТНЛИ ТП˚ТО ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡.
ÖÒÎË f(x,y) > 0 ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ ФрУТЪУИ У·О‡ТЪЛ D , ФУ НУЪУрУИ ‚В‰ВЪТfl ЛМЪВ„рЛрУ‚‡МЛВ, ЪУ МВФУТрВ‰ТЪ‚ВММУ ЛБ УФрВ‰ВОВМЛfl ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ ТОВ‰ЫВЪ (рЛТ. 1.1.5), ˜ЪУ ‰‚УИМУИ ЛМЪВ„р‡О ∫∫f(x,y)dxdy ‰‡ВЪ М‡П У·˙ВП ЪВО‡, У„р‡МЛ˜ВММУ„У ТМЛБЫ У·О‡ТЪ¸˛
D
D , Т‚ВрıЫ – ФУ‚ВрıМУТЪ¸˛, Ыр‡‚МВМЛВ НУЪУрУИ z = f(x,y) , ‡ Ò ·ÓÍÓ‚
8
– ˆЛОЛМ‰рЛ˜ВТНУИ ФУ‚ВрıМУТЪ¸˛, У·р‡БЫ˛˘ЛВ НУЪУрУИ Ф‡р‡ООВО¸- М˚ УТЛ Oz , ‡ М‡Фр‡‚Оfl˛˘ВИ ТОЫКЛЪ „р‡МЛˆ‡ У·О‡ТЪЛ D (НУМЪЫр
K ), Ú.Â.
vT = ∫∫f(x,y)dxdy .
D
ÖÒÎË ÔÓ‰˚ÌÚ„ð‡Î¸Ì‡fl ÙÛÌ͈Ëfl f(x,y) =1, ÚÓ
SD = ∫∫dxdy ,
D
„‰Â SD – ÔÎÓ˘‡‰¸ ӷ·ÒÚË D .
3. ë‚ÓÈÒÚ‚‡ ‰‚ÓÈÌÓ„Ó ËÌÚ„ð‡Î‡.
СУФЫТЪЛП ‰‡ОВВ, ˜ЪУ c1 =const , c2 =const , ‡ f1(x,y) Ë f2 (x,y) – ЩЫМНˆЛЛ, ЛМЪВ„рЛрЫВП˚В ‚ У·О‡ТЪЛ D . нУ„‰‡ МВФУТрВ‰ТЪ‚ВММУ ЛБ УФрВ‰ВОВМЛfl ‰‚УИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡ У˜В‚Л‰М‡ ТФр‡‚В‰ОЛ‚УТЪ¸ Т‚УИТЪ‚ 1-5, НУЪУр˚В П˚ ФрЛ‚В‰ВП ·ВБ ‰УН‡Б‡ЪВО¸ТЪ‚‡.
1. |
∫∫c f(x,y)dxdy =c∫∫f(x,y)dxdy . |
|
||
|
D |
D |
|
|
2. |
∫∫[c1f1(x,y) ±c2f2 (x,y)]dxdy =c1 |
∫∫f1(x,y)dxdy ±c2 |
∫∫f2 (x,y)dxdy . |
|
|
D |
|
D |
D |
3. |
ÖÒÎË Ó·Î‡ÒÚ¸ D р‡Б·ЛЪ¸ ФрУТЪУИ НрЛ‚УИ М‡ ‰‚В ˜‡ТЪЛ D1 Ë |
|||
D2 (ðËÒ. 1.1.6), ÚÓ: |
|
|
|
|
|
∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫f(x,y)dxdy + ∫∫f(x,y)dxdy , |
|||
|
D |
D1 |
D2 |
|
Ъ.В. ‰‚УИМУИ ЛМЪВ„р‡О ФУ У·О‡ТЪЛ „р‡ОУ‚ ФУ ˜‡ТЪflП У·О‡ТЪЛ D .
y
D1
D р‡‚ВМ ТЫППВ ‰‚УИМ˚ı ЛМЪВ-
D2
0 |
x |
êËÒ. 1.1.6 |
|
4. ÖÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ӷ·ÒÚË D |
f(x,y) ≥ 0, ÚÓ |
∫∫f(x,y)dxdy ≥ 0 .
D
9
5. ÖÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ӷ·ÒÚË D f1(x,y) ≤ f2 (x,y) , ÚÓ
∫∫f1(x,y)dxdy ≤ ∫∫f2 (x,y)dxdy .
DD
6.ÖÒÎË ‚ ͇ʉÓÈ ÚӘ͠ӷ·ÒÚË D ÒÔð‡‚‰ÎË‚Ó ÌÂð‡‚ÂÌÒÚ‚Ó m ≤ f(x,y) ≤M , ÚÓ
m SD ≤ ∫∫f(x,y)dxdy ≤M SD ,
D
„‰Â SD – ÔÎÓ˘‡‰¸ ӷ·ÒÚË D.
ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó. Ç ÒËÎÛ Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ 5 Ә‚ˉÌÓ, ˜ÚÓ
∫∫mdxdy ≤ ∫∫f(x,y)dxdy ≤ ∫∫Mdxdy ,
D D D
ÓÚÍÛ‰‡ ÒΉÛÂÚ:
m ∫∫dxdy ≤ ∫∫f(x,y)dxdy ≤M ∫∫dxdy .
D D D
éÒÚ‡ÂÚÒfl Û˜ÂÒÚ¸, ˜ÚÓ
∫∫dxdy =SD .
D
7. нВУрВП‡ У ТрВ‰МВП. ЦТОЛ ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ Б‡ПНМЫЪУИ У·О‡ТЪЛ D f(x,y) МВФрВр˚‚М‡, ЪУ ЪУ„‰‡ ‚ У·О‡ТЪЛ D ̇ȉÂÚÒfl ÚӘ͇
P(ξ,η) ڇ͇fl, ˜ÚÓ
∫∫f(x,y)dxdy = f(ξ,η) SD ,
D
„‰Â SD – ÔÎÓ˘‡‰¸ ӷ·ÒÚË D .
ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó. í‡Í Í‡Í ÙÛÌ͈Ëfl f(x,y) МВФрВр˚‚М‡ ‚ Б‡ПН-
МЫЪУИ У·О‡ТЪЛ D , ÚÓ ‚ ÌÂÈ Ó̇ ‰ÓÒÚË„‡ÂÚ Ò‚ÓÂ„Ó Ì‡ËÏÂ̸¯Â„Ó m Ë Ì‡Ë·Óθ¯Â„Ó M Á̇˜ÂÌËfl, Ú.Â. ÒÔð‡‚‰ÎË‚Ó ÌÂð‡‚ÂÌÒÚ‚Ó m ≤ f(x,y) ≤M , ÓÚÍÛ‰‡ ‚ ÒËÎÛ Ò‚ÓÈÒÚ‚‡ 5 ‚˚ÚÂ͇ÂÚ
m SD ≤ ∫∫f(x,y)dxdy ≤M SD .
D
к‡Б‰ВОЛ‚ ФУ˜ОВММУ ФУОЫ˜ВММУВ ТУУЪМУ¯ВМЛВ М‡ ФУОУКЛЪВО¸МЫ˛ ‚ВОЛ˜ЛМЫ SD , ÔÓÎÛ˜ËÏ
m ≤ S1 ∫∫f(x,y)dxdy ≤M .
D D
Ç‚Ë‰Û ÚÓ„Ó, ˜ÚÓ ÙÛÌ͈Ëfl f(x,y) МВФрВр˚‚М‡ ‚ Б‡ПНМЫЪУИ У·О‡Т- ЪЛ D , ‡ m Ë M –  ̇ËÏÂ̸¯ÂÂ Ë Ì‡Ë·Óθ¯Â Á̇˜ÂÌËfl ÒÓÓÚ‚ÂÚ-
10