Госы 5к Надя / лекции_3 / kr-int
.pdfиУЪУН Q ˜ВрВБ р‡ТТП‡ЪрЛ‚‡ВПЫ˛ ФУ‚ВрıМУТЪ¸ р‡‚ВМ ТЫППВ ЪрВı ФУЪУНУ‚ ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ ˜ВрВБ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S1 , S2 Ë S3 , Ú.Â. Q =Q1 +Q2 +Q3 . б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ ФУЪУН ˜ВрВБ ФУ‚ВрıМУТЪ¸ ‚ВНЪУрМУИ ЪрЫ·НЛ Q3 р‡‚ВМ МЫО˛, Ъ.Н. ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ ‚ВНЪУрМУИ ЪрЫ·НЛ ‚ВНЪУр ФУОfl, ТУУЪМВТВММ˚И ˝ЪУИ ЪУ˜НВ, Н‡Т‡ВЪТfl ФУ‚ВрıМУТЪЛ ˝ЪУИ ЪрЫ·НЛ, ТОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, В„У ФрУВНˆЛfl М‡ МУрП‡О¸ Н ФУ‚ВрıМУТЪЛ р‡‚М‡ МЫО˛.
лОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, ЛПВВП:
∫∫an′dS + ∫∫andS = 0 .
S1 S2
аБПВМЛП М‡Фр‡‚ОВМЛВ МУрП‡ОЛ n′ М‡ ФрУЪЛ‚УФУОУКМУВ, ЪУ„‰‡
ÔÓÎÛ˜ËÏ
∫∫andS = ∫∫andS .
S1 S2
лОВ‰У‚‡ЪВО¸МУ, П˚ ПУКВП Т‰ВО‡Ъ¸ ‚˚‚У‰, ˜ЪУ ФУЪУН ТУОВМУЛ- ‰‡О¸МУ„У ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl ˜ВрВБ ФУФВрВ˜МУВ ТВ˜ВМЛВ ‚ВНЪУрМУИ ЪрЫ·НЛ ВТЪ¸ ‚ВОЛ˜ЛМ‡ ФУТЪУflММ‡fl Л МВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ФОУ˘‡‰Л ТВ˜В- МЛfl. щЪ‡ ‚ВОЛ˜ЛМ‡ М‡Б˚‚‡ВЪТfl М‡ФрflКВМЛВП ‚ВНЪУрМУИ ЪрЫ·НЛ.
ЦТОЛ ТУОВМУЛ‰‡О¸МУВ ФУОВ fl‚ОflВЪТfl ФУОВП ТНУрУТЪВИ ЪВНЫ˘ВИ МВТКЛП‡ВПУИ КЛ‰НУТЪЛ v(vx ,vy ,vz ) , ЪУ П˚ ЛПВВП
∂v(vx ,vy ,vz ) |
+ |
∂v(vx ,vy ,vz ) |
+ |
∂v(vx ,vy ,vz ) |
= 0 . |
(1) |
∂x |
∂y |
∂z |
|
|||
|
|
|
|
бМ‡˜ЛЪ, ВТОЛ ‚ ФрУТЪр‡МТЪ‚В, „‰В ЪВ˜ВЪ КЛ‰НУТЪ¸, МВЪ МЛ ЛТЪУ˜- МЛНУ‚, МЛ ТЪУНУ‚, ЪУ ФрУВНˆЛЛ ТНУрУТЪВИ Т‚flБ‡М˚ ТУУЪМУ¯ВМЛВП (1), НУЪУрУВ М‡Б˚‚‡ВЪТfl Ыр‡‚МВМЛВП МВр‡Бр˚‚МУТЪЛ.
к‡ТТПУЪрЛП ЪВФВр¸ МВНУЪУрУВ ТН‡ОflрМУВ ФУОВ U(x,y,z) Ë Ì‡È‰ÂÏ
Â„Ó „ð‡‰ËÂÌÚ:
a =gradU(x,y,z) = ∂∂Ux i+ ∂∂Uy j+ ∂∂Uz k . з‡И‰ВП ‰‡ОВВ ‰Л‚Вр„ВМˆЛ˛ ˝ЪУ„У ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl:
|
ur ur |
|
|
∂2U |
+ |
∂2U |
+ |
∂2U |
. |
||||
diva =div gradU(x,y,z) = U = |
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ur |
ur ur |
∂ |
2 |
|
∂ |
2 |
|
∂ |
2 |
|
|
|
|
йФрВ‰ВОВМЛВ 2. éÔÂð‡ÚÓð 2 |
= = |
|
+ |
|
+ |
|
|
̇Á˚‚‡ÂÚÒfl |
|||||
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
УФВр‡ЪУрУП г‡ФО‡Т‡ Ë Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl ÒËÏ‚ÓÎÓÏ |
|
, Ú.Â. |
|
|
|||||||||
101
ur2 |
|
|
∂2 |
|
∂2 |
|
|
|
∂ |
2 |
|
|
||
= |
= |
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
|
. |
|
|
|
∂x2 |
∂y2 |
|
∂z2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
ЗУБ‰ВИТЪ‚Ыfl УФВр‡ЪУрУП г‡ФО‡Т‡ |
|
|
|
|
̇ |
|
Ò͇ÎflðÌÛ˛ ÙÛÌÍˆË˛ |
|||||||
U(x,y,z) , ÔÓÎÛ˜ËÏ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = |
∂2U + |
∂2U + |
∂2U . |
|
||||||||||
|
∂x2 |
∂y2 |
|
∂z2 |
|
|
||||||||
щЪУ ‚˚р‡КВМЛВ М‡Б˚‚‡ВЪТfl ·Ô·ÒˇÌÓÏ ÙÛÌ͈ËË U(x,y,z) . |
|
|||||||||||||
йФрВ‰ВОВМЛВ 3. ÖÒÎË ÙÛÌ͈Ëfl U(x,y,z) Ú‡ÍÓ‚‡, ˜ÚÓ |
|
|||||||||||||
∂2U |
|
∂2U |
|
∂2U |
|
|
|
|
|
|
(2) |
|||
∂x2 + ∂y2 + |
∂z2 = 0 |
, |
|
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
Ú.Â. U = 0 , ÚÓ ÙÛÌ͈Ëfl ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl „‡рПУМЛ˜ВТНУИ.
б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ Ыр‡‚МВМЛВ (2) ФрЛ ˝ЪУП М‡Б˚‚‡ВЪТfl Ыр‡‚МВМЛВП г‡ФО‡Т‡.
нВУрВП‡. СОfl ЪУ„У, ˜ЪУ·˚ ФУОВ „р‡‰ЛВМЪ‡ Н‡НУИ-МЛ·Ы‰¸ ТН‡ОflрМУИ ЩЫМНˆЛЛ ·˚ОУ ТУОВМУЛ‰‡О¸М˚П, МВУ·ıУ‰ЛПУ Л ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ, ˜ЪУ·˚ ˝Ъ‡ ЩЫМНˆЛfl ·˚О‡ ·˚ „‡рПУМЛ˜ВТНУИ.
|
ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó. |
|
|
|
|
|
|
ur |
зВУ·ıУ‰ЛПУТЪ¸. èÛÒÚ¸ ÔÓÎÂ |
„ð‡‰ËÂÌÚ‡ |
ТУОВМУЛ‰‡О¸МУ, |
Ú.Â. |
|||
ur |
ur ur |
|
|
U = 0 , |
|
|
|
U = 0 , |
ÌÓ U = U . á̇˜ËÚ, |
‡ ˝ÚÓ ÓÁ̇˜‡ÂÚ, |
˜ÚÓ |
||||
ÙÛÌ͈Ëfl U(x,y,z) „‡рПУМЛ˜ВТН‡fl. |
|
|
|
||||
|
ÑÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓÒÚ¸. èÛÒÚ¸ ÙÛÌ͈Ëfl U(x,y,z) – „‡рПУМЛ˜ВТН‡fl, |
||||||
Ú.Â. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U = |
∂2U + |
∂2U |
+ ∂2U = 0 , |
|
|
|
ur |
ur |
∂x2 |
∂y2 |
∂z2 |
|
|
ÌÓ |
U = U =div gradU , ‡ ˝ÚÓ Ë ÓÁ̇˜‡ÂÚ, ˜ÚÓ ÔÓΠ„ð‡‰ËÂÌÚ‡ |
||||||
ТУОВМУЛ‰‡О¸МУ.
§5. сЛрНЫОflˆЛfl ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl ФУ Б‡ПНМЫЪУПЫ НУМЪЫрЫ. ЗЛıр¸ ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl. ЗВНЪУрМ‡fl ЩУрП‡ ЪВУрВП˚ лЪУНТ‡
иЫТЪ¸ ‚ ФУОВ ‚ВНЪУр‡ a ОВКЛЪ НрЛ‚‡fl l , ЛПВ˛˘‡fl ‚ Н‡К‰УИ Т‚УВИ ЪУ˜НВ Н‡Т‡ЪВО¸М˚И ‚ВНЪУр τ. é·ÓÁ̇˜ËÏ aτ = Ôðτ a . нУ„‰‡ НрЛ‚УОЛМВИМ˚И ЛМЪВ„р‡О
102
∫aτdS
l
М‡Б˚‚‡ВЪТfl ОЛМВИМ˚П ЛМЪВ„р‡ОУП (рЛТ. 4.5.1). З ЪУП ТОЫ˜‡В, НУ„‰‡ НрЛ‚‡fl l Б‡ПНМЫЪ‡, ЛМЪВ„р‡О ∫aτdS М‡Б˚‚‡ВЪТfl ˆЛрНЫОflˆЛВИ ‚ВН-
l
ЪУрМУ„У ФУОfl a ФУ Б‡ПНМЫЪУПЫ НУМЪЫрЫ.
z
|
τ |
|
|
|
|
l |
|
0 |
|
|
|
a |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
êËÒ. 4.5.1 |
|
|||||
йФрВ‰ВОВМЛВ. ЗВНЪУр c = r×a |
rМ‡Б˚‚‡ВЪТfl ‚ЛıрВП ‚ВНЪУрМУ„У |
||||||
ÔÓÎfl a Ë Ó·ÓÁ̇˜‡ÂÚÒfl Ú‡Í: rota = ×ra . |
|
|
|||||
З˚р‡БЛП ‚ВНЪУрМУВ ФрУЛБ‚В‰ВМЛВ ×a ˜ВрВБ УФрВ‰ВОЛЪВО¸: |
|||||||
|
|
i |
|
j |
k |
||
rota = |
|
∂ |
|
∂ |
|
∂ |
. |
|
∂x |
|
∂y |
|
|||
|
|
|
∂z |
||||
ax ay az
к‡ТНр˚‚ ˝ЪУЪ УФрВ‰ВОЛЪВО¸, ФУОЫ˜ЛП Ъ‡НУВ ‚˚р‡КВМЛВ ‰Оfl ‚Лıрfl ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl:
|
|
|
∂a |
|
|
∂ay |
|
|
∂a |
|
∂a |
|
∂ay |
|
∂a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
rota = |
|
|
z − |
|
|
i+ |
|
|
x − |
|
z j+ |
|
− |
|
|
x k . |
|
|
|
|
|||||||
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂z |
∂x |
∂x |
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ur |
ur |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нВУрВП‡. ЗЛıрВ‚УВ ФУОВ ТУОВМУЛ‰‡О¸МУ, Ъ.В. ( ×a)= 0 . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó. б‡ПВЪЛП, |
|
˜ÚÓ Ò |
Ә‚ˉÌÓÒÚ¸˛ ÒΉÛÂÚ, |
˜ÚÓ |
|||||||||||||||||||||||
ur ur |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( ×a)= 0 , Ъ.Н. "‚ВНЪУр˚" |
, |
Ë a НУПФО‡М‡рМ˚. |
|
|
|
|
c = r×a , |
||||||||||||||||||||
СУН‡КВП, У‰М‡НУ, ˝ЪЫ ЪВУрВПЫ ФУ‰рУ·МВВ. й·УБМ‡˜ЛП |
|||||||||||||||||||||||||||
ur |
∂c |
|
∂cy |
|
∂c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂a |
|
|
∂ay |
|
|||
ÚÓ„‰‡ c = |
x + |
|
|
|
+ |
|
|
z , |
ÌÓ |
|
ÍÓÓð‰Ë̇Ú˚ ‚Ëıðfl c |
x |
= |
|
|
z |
− |
|
, |
||||||||
|
∂y |
|
|
|
|
|
∂z |
||||||||||||||||||||
|
∂x |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
||||||||
cy = ∂∂azx − ∂∂axz , cz = ∂∂axy − ∂∂ayx .
103
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ur |
|
|
|
|
∂ |
|
∂a |
|
|
∂ay |
|
|
|
|
∂ |
∂a |
|
|
∂a |
|
|
|
|
∂ |
|
|
|
|
∂ay |
|
∂a |
|
|
|||||||
c |
= |
|
|
|
|
|
|
z |
− |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
x |
− |
|
z |
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
x |
= |
||||||
|
∂x |
|
|
∂z |
|
|
|
|
|
∂z |
|
∂x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
∂y |
∂z |
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
||||||||||||||||||||
= |
∂2a |
z |
|
− |
|
∂2ay |
+ |
|
∂2a |
x |
|
− |
∂2a |
z |
+ |
∂2ay |
|
− |
|
∂2a |
x |
|
|
= 0 |
|
|
|
|
||||||||||||
∂y∂x |
|
|
∂z∂x |
|
∂z∂y |
|
∂x∂y |
∂x∂z |
|
∂y∂z |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
нВУрВП‡ ‰УН‡Б‡М‡.
б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ ФрЛ ‰УН‡Б‡ЪВО¸ТЪ‚В ЪВУрВП˚ П˚ ФрВ‰ФУОУКЛОЛ ТЫ˘ВТЪ‚У‚‡МЛВ ‚ЪУр˚ı ТПВ¯‡ММ˚ı ФрУЛБ‚У‰М˚ı УЪ ФрУВНˆЛИ ‚ВНЪУр‡ a Л Лı МВФрВр˚‚МУТЪ¸.
СУФЫТЪЛП, ˜ЪУ ‚ ФУОВ ‚ВНЪУр‡ a ОВКЛЪ Б‡ПНМЫЪ˚И НУМЪЫр l , ЛПВ˛˘ЛИ ‚ Н‡К‰УИ Т‚УВИ ЪУ˜НВ Н‡Т‡ЪВО¸МЫ˛. иВрВНЛМВП ˜ВрВБ НУМЪЫр l ‰‚ЫТЪУрУММ˛˛ ФУ‚ВрıМУТЪ¸ S , Ëϲ˘Û˛ ‚ ͇ʉÓÈ Ò‚ÓÂÈ ÚӘ͠ÌÓðχθ n Н ФУ‚ВрıМУТЪЛ. ирЛ Ъ‡НЛı ФрВ‰ФУОУКВМЛflı У НУМЪЫрВ l Л ФУ‚ВрıМУТЪЛ S ТФр‡‚В‰ОЛ‚‡ ‰УН‡Б‡ММ‡fl р‡МВВ ЩУрПЫО‡ лЪУНТ‡.
СУН‡КВП ЪВФВр¸ ‚ВНЪУрМЫ˛ ЩУрПЫ ЪВУрВП˚ лЪУНТ‡.
нВУрВП‡ лЪУНТ‡ (‚ВНЪУрМ‡fl ЩУрП‡). сЛрНЫОflˆЛfl ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl ФУ Б‡ПНМЫЪУПЫ НУМЪЫрЫ р‡‚М‡ ФУЪУНЫ В„У ‚Лıрfl ˜ВрВБ ФУ‚ВрıМУТЪ¸, М‡ЪflМЫЪЫ˛ М‡ ˝ЪУЪ НУМЪЫр.
z
S r 
n
l |
y |
0
x |
Dxy |
|
êËÒ. 4.5.2
ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó. аЪ‡Н, ФЫТЪ¸ ˜ВрВБ Б‡ПНМЫЪ˚И НУМЪЫр, У·О‡- ‰‡˛˘ЛИ ЫН‡Б‡ММ˚ПЛ ‚˚¯В Т‚УИТЪ‚‡ПЛ, ФВрВНЛМЫЪ‡ (М‡ЪflМЫЪ‡) ‰‚Ы- ТЪУрУММflfl ФУ‚ВрıМУТЪ¸ S . к‡ТТПУЪрЛП ˆЛрНЫОflˆЛ˛ ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl ФУ Б‡ПНМЫЪУПЫ НУМЪЫрЫ l : Ц = ∫aτdS .
l
104
иЫТЪ¸ Н‡Т‡ЪВО¸М˚И ‚ВНЪУр τ |
Ó·ð‡ÁÛÂÚ Û„Î˚ α , β |
Ë γ |
Ò ÍÓÓð‰Ë- |
||||
̇ÚÌ˚ÏË ÓÒflÏË |
Ox , Oy |
Ë |
Oz , |
ÚÓ„‰‡ |
a = Ôðr a =a τ0 = |
||
|
|
|
|
|
τ |
|
τ |
=ax cosα +ay cos β +az cosγ . |
|
|
|
|
|
|
|
èÓ‰ÒÚ‡‚ËÏ aτ |
‚ ‚˚р‡КВМЛВ |
ˆЛрНЫОflˆЛЛ, |
ÚÓ„‰‡ |
ÔÓÎÛ˜ËÏ |
|||
|
|
|
ËÎË, |
ФрЛМЛП‡fl |
‚Ó |
‚ÌËχÌË |
|
Ц = ∫ ax cosα +ay cos β +az cosγ dS |
|||||||
l
Т‚flБ¸ ПВК‰Ы НрЛ‚УОЛМВИМ˚ПЛ ЛМЪВ„р‡О‡ПЛ ФВр‚У„У Л ‚ЪУрУ„У рУ‰‡, ФУОЫ˜ЛП
Ц = ∫axdx +aydy +azdz .
l
ЗУТФУО¸БЫВПТfl ЪВФВр¸ ЩУрПЫОУИ лЪУНТ‡:
∫axdx +aydy +azdz =
l
= ∫∫S ∂∂ayz − ∂∂azy dydz + ∂∂azx − ∂∂axz dzdx + ∂∂axy − ∂∂ayx dxdy.
ирЛ ˝ЪУП ФрВ‰ФУО‡„‡ВЪТfl, ˜ЪУ М‡·О˛‰‡ЪВО¸, Ы НУЪУрУ„У МУрП‡О¸ Н ФУ‚ВрıМУТЪЛ ФрУıУ‰ЛЪ УЪ МУ„ Н „УОУ‚В, У·ıУ‰ЛЪ НУМЪЫр ‚ Ъ‡НУП М‡Фр‡‚ОВМЛЛ, ˜ЪУ ФУ‚ВрıМУТЪ¸ S ÓÒÚ‡ÂÚÒfl Ò΂‡ (ðËÒ. 4.5.2).
зВЪрЫ‰МУ Б‡ПВЪЛЪ¸, ˜ЪУ ‚ Фр‡‚УИ ˜‡ТЪЛ ФУТОВ‰МВИ ЩУрПЫО˚ М‡- ıУ‰ЛЪТfl ФУЪУН ‚Лıрfl ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl a ˜ÂðÂÁ ÔÓ‚ÂðıÌÓÒÚ¸ S , Ú.Â.
ЛПВВП
∫aτdS = ∫∫(rota)n dS .
l S
нВУрВП‡ ‰УН‡Б‡М‡.
нВУрВП‡ 2. ЗЛıр¸ ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl МВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ‚˚·Ур‡ НУУр- ‰ЛМ‡ЪМ˚ı УТВИ.
|
|
|
|
(ÅÂÁ ‰Ó͇Á‡ÚÂθÒÚ‚‡.) |
|
|
|
ur |
ирЛПВр. |
r |
З˚˜ЛТОЛЪ¸ |
ˆЛрНЫОflˆЛ˛ |
‚ВНЪУрМУ„У |
ÔÓÎfl |
|
r |
r |
|
|
|
= 0 Ò |
||
a |
=xzi |
+xj |
+yk ФУ ОЛМЛЛ ФВрВТВ˜ВМЛfl НУМЫТ‡ x2 +y2 −(z −1)2 |
||||
НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚ПЛ ФОУТНУТЪflПЛ, ОВК‡˘ВИ ‚ ФВр‚УП УНЪ‡МЪВ, МВФУТрВ‰ТЪ‚ВММУ Л ФУ ЪВУрВПВ лЪУНТ‡ (рЛТ. 4.5.3).
ê¯ÂÌËÂ.
1) зВФУТрВ‰ТЪ‚ВММУВ ‚˚˜ЛТОВМЛВ ˆЛрНЫОflˆЛЛ. дУМЪЫр l ПУКМУ р‡Б·ЛЪ¸ М‡ ЪрЛ ˜‡ТЪЛ: l1 , l2 Ë l3 , ОВК‡˘ЛВ ‚ НУУр‰ЛМ‡ЪМ˚ı ФОУТНУТЪflı xOy , yOz Ë zOx ТУУЪ‚ВЪТЪ‚ВММУ, Ъ‡НЛП У·р‡БУП ˆЛрНЫОflˆЛfl Ц = Ц1 + Ц2 + Ц3 , „‰Â
105
Ц1 = ∫xzdx +xdy +ydz .
l1
ç‡ ÍðË‚ÓÈ l : z = 0, dz = 0 , x = 1 −y2 , y [0,1] . |
||
1 |
|
|
ëΉӂ‡ÚÂθÌÓ, |
|
|
Ц1 = ∫1 |
1−y2dy = |
π . |
0 |
|
4 |
чÎÂÂ
Ц2 = ∫xzdx +xdy +ydz .
l2
ç‡ ÍðË‚ÓÈ l2 : x +z =1, x = 0 , dx = 0 , z [0,1], Ú.Â.
Ц2 = ∫1 (1−z)dz = |
1 . |
0 |
2 |
à ̇ÍÓ̈,
Ц3 = ∫xzdx +xdy +ydz .
l3
ç‡ ÍðË‚ÓÈ l3 : x +z =1, y = 0 , dy = 0 , x [0,1], ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ,
Ц3 = ∫1 x(1−x)dx = |
1 . |
0 |
6 |
éÍÓ̘‡ÚÂθÌÓ
Ц = Ц1 + Ц2 + Ц3 = π4 + 12 + 16 = π4 + 23 .
z
|
|
C(0,0,1) |
|
||
l3 |
:x +z =1 |
l2 :y +z =1 |
|||
|
B(0,1,0) |
||||
|
|
0 |
|||
|
|
|
y |
||
A(1,0,0) |
|
|
|||
l :x2 |
+y2 |
=1 |
|||
|
|
||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
êËÒ. 4.5.3 |
|
||
2)З˚˜ЛТОВМЛВ ˆЛрНЫОflˆЛЛ ФУ ЪВУрВПВ лЪУНТ‡.
Ц= ∫∫S ∂∂ayz − ∂∂azy dydz + ∂∂azx − ∂∂axz dzdx + ∂∂axy − ∂∂ayx dxdy .
106
èÓ‰ÒÚ‡‚ËÏ Ò˛‰‡ az =xz , ay =x , az =y , ÔÓÎÛ˜ËÏ:
Ц = ∫dydx +xdzdx +dzdx .
S
иВрВИ‰ВП ‚ Фр‡‚УИ ˜‡ТЪЛ Н ФУ‚ВрıМУТЪМУПЫ ЛМЪВ„р‡ОЫ ФВр‚У„У
ðÓ‰‡
Ц = ∫∫[1 cos λ +x cos μ +1 cosν ]dS ,
S
„‰В ЛМЪВ„р‡О ‚˚˜ЛТОflВЪТfl ФУ ‚ВрıМВИ ТЪУрУМВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S .
мр‡‚МВМЛВ ФУ‚ВрıМУТЪЛ S : z =1− |
x2 +y2 , ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ, |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
p(x,y) = |
∂z |
= |
−x |
|
|
|
, q(x,y) = |
|
∂z |
|
= |
−y |
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 +y2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
dS = 1+ p2 (x,y) +q2 (x,y) = 2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
cos λ = |
−p(x,y) |
|
= |
|
|
|
x |
|
|
|
|
; cos μ = |
|
|
|
−q(x,y) |
= |
|
|
|
y |
|
; |
||||||||||||||||||
1+ p2 +q2 |
|
2 x2 +y2 |
|
|
|
|
1+ p2 +q2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x2 +y2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosν = |
|
|
1 |
|
= |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ p2 +q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
иУ‰ТЪ‡‚Оflfl М‡И‰ВММ˚В БМ‡˜ВМЛfl ‚ ‚˚р‡КВМЛВ ‰Оfl ˆЛрНЫОflˆЛЛ, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ÔÓÎÛ˜ËÏ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
xy |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x +xy + x2 +y2 |
|
|
||||||||||||||||
Ц = ∫∫ |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
2dxdy = ∫∫ |
|
|
|
|
|
|
|
dxdy |
||||||||||||||
|
|
2 |
+y |
2 |
|
|
2 |
x |
2 |
+y |
2 |
2 |
|
|
x |
2 |
+y |
2 |
|||||||||||||||||||||||
D 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
иВрВИ‰ВП Н ФУОflрМ˚П НУУр‰ЛМ‡Ъ‡П: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x =rcosϕ , |
y =rsinϕ , |
|
J(r,ϕ) |
|
=r , |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
ÚÓ„‰‡
π
Ц = ∫∫rcosϕ +r2 sinϕcosϕ +r rdrdϕ = ∫2 dϕ∫1 (rcosϕ +r2 sinϕcosϕ +r)dr |
|||||||||||
D |
r |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З˚˜ЛТОЛП ‚МЫЪрВММЛИ ЛМЪВ„р‡О: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
2 |
cosϕ + r |
3 |
sinϕcosϕ + r |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
Iвнутр = ∫(rcosϕ |
+r2 sinϕcosϕ +r)dr = r |
|
|
|
|
|
= |
||||
|
0 |
|
2 |
3 |
2 |
|
|
0 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
= 12 cosϕ + 13 sinϕcosϕ + 12 .
íÓ„‰‡
107
|
|
π |
|
π |
|
π |
|
|
|
Ц == |
1 |
∫2 cosϕdϕ + |
1 |
∫2 sinϕcosϕdϕ + |
1 |
∫2 dϕ = |
π |
+ |
2 . |
|
2 |
0 |
3 |
0 |
2 |
0 |
4 |
|
3 |
§6. иУЪВМˆЛ‡О¸МУВ ‚ВНЪУрМУВ ФУОВ
йФрВ‰ВОВМЛВ. ЗВНЪУрМУВ ФУОВ a , ‚ Н‡К‰УИ ЪУ˜НВ НУЪУрУ„У ‚˚- ФУОМflВЪТfl ЫТОУ‚ЛВ rota = 0 , ̇Á˚‚‡ÂÚÒfl ФУЪВМˆЛ‡О¸М˚П ËÎË ·ÂÁ- ‚Ëıð‚˚Ï.
нВУрВП‡. СОfl ЪУ„У, ˜ЪУ·˚ ФУОВ ‚ВНЪУр‡ a ·˚ОУ ФУЪВМˆЛ‡О¸М˚П, МВУ·ıУ‰ЛПУ Л ‰УТЪ‡ЪУ˜МУ, ˜ЪУ·˚ ФУОВ ‚ВНЪУр‡ a ·˚ОУ ·˚ ФУОВП „р‡‰ЛВМЪ‡ МВНУЪУрУ„У ТН‡Оflр‡ U =U(x,y) .
ÑÓ͇Á‡ÚÂθÒÚ‚Ó. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ÑÓÒÚ‡ÚÓ˜ÌÓÒÚ¸. èÛÒÚ¸ a =gradU , Ú.Â. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
a = |
|
∂U(x,y,z) |
i |
+ |
∂U(x,y,z) |
j+ |
∂U(x,y,z) |
k , Ú.Â. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
∂z |
|
|
|
|
|||
ax = |
∂U(x,y,z) |
, |
|
ay |
= |
∂U(x,y,z) |
, az = |
∂U(x,y,z) |
. |
|||||||||||||||
|
|
∂x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
∂z |
|
|
||||
з‡И‰ВП НУУр‰ЛМ‡Ъ˚ ‚ВНЪУр‡ c =rota : |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
c |
= |
∂a |
z |
− |
∂ay |
|
= |
∂2U(x,y,z) |
− |
|
∂2U(x,y,z) |
= |
0 . |
|
||||||||||
|
∂z |
|
|
|
∂y∂z |
|
∂y∂z |
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
∂y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ä̇Îӄ˘ÌÓ cy =cz |
= 0 , Ú.Â. rota = 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
бМ‡˜ЛЪ ФУОВ ‚ВНЪУр‡ a ·ВБ‚ЛıрВ‚УВ, Ъ.В. ФУЪВМˆЛ‡О¸МУВ. зВУ·ıУ‰ЛПУТЪ¸. èÛÒÚ¸ rota = 0 . ЗУБ¸ПВП Б‡ПНМЫЪЫ˛ НрЛ‚Ы˛ l ,
ОВК‡˘Ы˛ ‚ ФУОВ ‚ВНЪУр‡ a , ÚÓ„‰‡ ·Û‰ÂÚ
∫aτdS = ∫∫(rota)dS = 0 ,
l S
Ú.Â.
∫aτdS = 0,
l
ÒΉӂ‡ÚÂθÌÓ,
∫aτdS = ∫axdx +aydy +azdz = 0 .
l l
е˚ ФрЛ¯ОЛ Н ЪУПЫ, ˜ЪУ ЛМЪВ„р‡О ФУ Б‡ПНМЫЪУПЫ НУМЪЫрЫ l р‡- ‚ВМ МЫО˛, ‡ ˝ЪУ Н‡Н ЛБ‚ВТЪМУ, ПУКВЪ ·˚Ъ¸ ОЛ¯¸ ‚ ЪУП ТОЫ˜‡В, НУ-
108
„‰‡ ФУ‰ БМ‡НУП ЛМЪВ„р‡О‡ ТЪУЛЪ ФУОМ˚И ‰ЛЩЩВрВМˆЛ‡О МВНУЪУрУИ ЩЫМНˆЛЛ U(x,y,z) , Ú.Â.
a dx +a dy +a dz =dU = ∂U dx + ∂U dy + ∂U dz . |
|||||||||||
x |
|
y |
z |
|
|
∂x |
|
∂y |
∂z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
éÚÒ˛‰‡ ÒΉÛÂÚ, ˜ÚÓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ax |
= |
∂U(x,y,z) |
|
, ay |
= |
∂U(x,y,z) |
, |
az = |
∂U(x,y,z) |
, |
|
∂x |
|
|
∂y |
∂z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ú.Â. a =gradU(x,y,z) .
нВУрВП‡ ‰УН‡Б‡М‡.
á‡Ï˜‡ÌË 1. б‡ПВЪЛП, ˜ЪУ ЩЫМНˆЛfl U(x,y,z) , „р‡‰ЛВМЪ УЪ НУЪУрУИ fl‚ОflВЪТfl ФУОВП ‚ВНЪУр‡ a , М‡Б˚‚‡ВЪТfl ФУЪВМˆЛ‡ОУП. н‡Н Н‡Н
‚˝ЪУП ТОЫ˜‡В ВТОЛ НрЛ‚УОЛМВИМ˚И ЛМЪВ„р‡О
∫axdx +aydy +azdz
K
МВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ФЫЪЛ ЛМЪВ„рЛрУ‚‡МЛfl, ЪУ ФУЪВМˆЛ‡О ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl
ПУКМУ М‡ИЪЛ, ‚˚˜ЛТОЛ‚ ЛМЪВ„р‡О
(x,y,z)
I = ∫ axdx +aydy +azdz .
(x0 ,y0 ,z0 )
á‡Ï˜‡ÌË 2. аБ ‰УН‡Б‡ММУИ ЪВУрВП˚ flТМУ, ˜ЪУ ФУЪВМˆЛ‡О¸МУВ ФУОВ ПУКМУ УФрВ‰ВОЛЪ¸ Л ФУ-‰рЫ„УПЫ, ‡ ЛПВММУ: ‰‡Ъ¸ ‰рЫ„УВ ˝Н‚Л- ‚‡ОВМЪМУВ УФрВ‰ВОВМЛВ.
иУОВ ‚ВНЪУр‡ a М‡Б˚‚‡ВЪТfl ФУЪВМˆЛ‡О¸М˚П, ВТОЛ УМУ fl‚ОflВЪТfl ФУОВП „р‡‰ЛВМЪ‡ МВНУЪУрУ„У ТН‡Оflр‡ U =U(x,y,z) .
á‡Ï˜‡ÌË 3. м˜ЛЪ˚‚‡fl ЩЛБЛ˜ВТНЛИ ТП˚ТО НрЛ‚УОЛМВИМУ„У ЛМЪВ„р‡О‡, ФрЛıУ‰ЛП Н ‚˚‚У‰Ы, ˜ЪУ р‡·УЪ‡ ФУЪВМˆЛ‡О¸МУ„У ‚ВНЪУрМУ- „У ФУОfl ‚‰УО¸ МВНУЪУрУИ НрЛ‚УИ МВ Б‡‚ЛТЛЪ УЪ ЩУрП˚ НрЛ‚УИ Л р‡‚М‡ р‡БМУТЪЛ БМ‡˜ВМЛИ ФУЪВМˆЛ‡О‡ ФУОfl ‚ М‡˜‡О¸МУИ Л НУМВ˜МУИ ЪУ˜Н‡ı ЛМЪВ„рЛрУ‚‡МЛfl. Д ЪУ„‰‡ ПУКМУ ‰‡Ъ¸ В˘В У‰МУ ˝Н‚Л‚‡ОВМЪМУВ ‰‚ЫП ФрВ‰˚‰Ы˘ЛП УФрВ‰ВОВМЛВ ФУЪВМˆЛ‡О¸МУ„У ‚ВНЪУрМУ„У ФУОfl.
ЗВНЪУрМУВ ФУОВ М‡Б˚‚‡ВЪТfl ФУЪВМˆЛ‡О¸М˚П, ВТОЛ р‡·УЪ‡ ‚‰УО¸ О˛·УИ Б‡ПНМЫЪУИ НрЛ‚УИ р‡‚М‡ МЫО˛.
109
гЛЪВр‡ЪЫр‡
[1]ÄðıËÔÓ‚ É.à., 뇉ӂÌ˘ËÈ Ç.Ä., óÛ·‡ðËÍÓ‚‡ Ç.ç. гВНˆЛЛ ФУ П‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНУПЫ ‡М‡ОЛБЫ. å.: Ç˚Ò¯‡fl ¯ÍÓ·, 1999
[2]áÓð˘ Ç.Ä. е‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ. í. 1 1997, í. 2 1988
[3]á‡ðÛ·ËÌ Ç.ë., à‚‡ÌÓ‚‡ Ö.Ö., äÛ‚˚ðÍËÌ É.ç. аМЪВ„р‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ ЩЫМНˆЛИ У‰МУ„У ФВрВПВММУ„У. å.: åÉíì ËÏ. ç.ù. ŇÛχ̇, 2000
[4]äÛ‰ðfl‚ˆÂ‚ ã.Ñ. äð‡ÚÍËÈ ÍÛðÒ Ï‡ÚÂχÚ˘ÂÒÍÓ„Ó ‡Ì‡ÎËÁ‡.
í. 1, 2. å.: Äθه, 1988
[5]äÛ‰ðfl‚ˆÂ‚ ã.Ñ. äð‡ÚÍËÈ ÍÛðÒ Ï‡ÚÂχÚ˘ÂÒÍÓ„Ó ‡Ì‡ÎËÁ‡.
å.: Ç˚Ò¯‡fl ¯ÍÓ·, í. 1, 2 1988, í. 3 1999
[6]зЛНУО¸ТНЛИ л.е. äÛðÒ Ï‡ÚÂχÚ˘ÂÒÍÓ„Ó ‡Ì‡ÎËÁ‡. å.: ç‡Û͇, 1985
[7]иЛТНЫМУ‚ з.л. СЛЩЩВрВМˆЛ‡О¸МУВ Л ЛМЪВ„р‡О¸МУВ ЛТ˜ЛТОВМЛВ. í.1, 2, å.: ç‡Û͇, 2000
[8]нВр-дрЛНУрУ‚, ò‡·ÛÌËÌ å.à., äÛðÒ Ï‡ÚÂχÚ˘ÂÒÍÓ„Ó ‡Ì‡- ÎËÁ‡. å: ç‡Û͇, 1988
[9]îËıÚÂÌ„Óθˆ É.å. éÒÌÓ‚˚ χÚÂχÚ˘ÂÒÍÓ„Ó ‡Ì‡ÎËÁ‡. í.1, 2. å.: ç‡Û͇, 2001
[10]ôËÔ‡˜Â‚ Ç.ë. Ç˚Ò¯‡fl χÚÂχÚË͇. å.: Ç˚Ò¯‡fl ¯ÍÓ·, 1998
[11]е‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ I / èÓ‰ Ó·˘ÂÈ ð‰‡ÍˆËÂÈ ã.ë. ê‡- ڇٸ‚ÓÈ. ëè·.: àíåé, 2002
[12]е‡ЪВП‡ЪЛ˜ВТНЛИ ‡М‡ОЛБ II / èÓ‰ Ó·˘ÂÈ ð‰‡ÍˆËÂÈ ã.ë. ê‡Ú‡Ù¸Â‚ÓÈ. ëè·.: àíåé, 2003
[13]л·УрМЛН Б‡‰‡˜ ФУ П‡ЪВП‡ЪЛНВ ‰Оfl ‚ЪЫБУ‚ / иУ‰ рВ‰‡НˆЛВИ Д.З. ЦЩЛПУ‚‡, Е.и. СВПЛ‰У‚Л˜‡ ‚ 3 н. е.: з‡ЫН‡, 1981
[14]ÅðÓ̯ÚÂÈÌ à.ç., ëÂωfl‚ à.Ä., лФр‡‚У˜МЛН ФУ П‡ЪВП‡- ЪЛНВ ‰Оfl ЛМКВМВрУ‚ Л Ы˜‡˘ЛıТfl ‚ЪЫБУ‚. å.: ç‡Û͇, 1986
[15]Éð‡‰¯ÚÂÈÌ à.ë., ê˚ÊËÍ à.å. н‡·ОЛˆ˚ ЛМЪВ„р‡ОУ‚, ТЫПП, рfl‰У‚ Л ФрУЛБ‚В‰ВМЛИ. å.: îËÁχÚÎËÚ, 1963
110