2.1. Постановка задачи. Метод последовательных приближений. Отделение корней

Пусть имеется уравнение f(x)=0 (1). Решить такое уравнение-это, значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти значения корней с нужной точностью.

Для большинства уравнений вида (1) не удается получить решения в виде формул и поэтому для их решения используются численные методы. Задача решения уравнения численным методом обычно распадается на 2 этапа:

1. отделение корней, т.е. отыскание достаточно малых окрестностей, каждая из которых содержит только один корень уравнения (1).

2. нахождение корня с заданной точностью в каждой из выделенных окрестностей.

Отделение корней

В простейших случаях для решения задачи отделения корней можно использовать графический метод. Для этого необходимо: построить график функции y=f(x) и определить отрезки, содержащие корни (точки пересечения графика функции с осью Ox), либо заменить уравнение (1) равносильным ему уравнением Ψ(x), построить графики функций y= и y= Ψ(x) и определить отрезки, где графики функций пересекаются.

В сомнительных случаях графическое отделение корней можно подкрепить вычислениями, при этом полезно использовать следующие теоремы:

Теорема 1. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и f(a)*f(b)<0, то уравнение (1) имеет хотя бы один корень на отрезке [a, b].

Теорема 2. Пусть функция f(x) имеет производную на отрезке [a, b], на концах этого отрезка функция принимает значения разных знаков и f^‘(x)>0 или f^‘(x)<0. Тогда уравнение (1) имеет на отрезке [a, b] корень, и причем единственный.

Для решения задачи отделения корней можно поступить следующим образом: пусть функция f(x) непрерывна в промежутке X. Составим таблицу значений функции f(x) в точках x₁,x₂,…,x_n, x_ix_i+1. Если в двух соседних точках таблицы функция имеет разные знаки, то между этими точками существует по крайней мере один корень уравнения.

Для получения таблицы и определения пар точек можно использовать ЭВМ.

Общая характеристика итерационных методов решения уравнений.

Рассмотрим уравнение (1). Если - корень уравнения (1), аx_a- приближенное значение корня, причем , где, то говорят, чтоx_a- приближенный корень уравнения (1) с точностью .

Приближенное решение не единственно, т.к. указанному неравенству удовлетворяют все точки из отрезка [x_c-,x_c+].

В основе большой группы численных методов решения уравнения (1), которое получили название итерационных лежит следующая идея: строится последовательность (x_n), сходящаяся к корню уравнения (1). Вычисляется конечное число ее членов. На некотором шаге вычисления обрываются и последний, полученный таким способом член последовательности принимается за приближенное решение уравнения(1). Т.к. рассматриваемая последовательность сходится к корню уравнения (1), можно получить приближенное решение с любой точностью.

Методы рассмотренного типа называется также методами последовательных приближений. Последовательность (x_n) называется итерационной последовательностью, а ее члены - последовательными приближениями.

Выбирая различными способами итерационную последовательность, можно получить различные итерационные методы.