1.2. Границы значений числовых величин

Верхней (нижней) границей значений величины x называется любая из верхних границ множества E.

Иными словами, ели имеются две величины НГ_х и ВГ_х такие, что НГ_х ≤X≤ ВГ_х, то они называются верхней и нижней границей значений величины Х. Когда это возможно, в качестве НГ_х и ВГ_х выбирают точные грани множества Е:

ВГ_х =sup E (НГ_х=inf E) (10)

Из этого определения следует Х_сЕ[ НГ_х, ВГ_х]. (11)

Например, Е=[a,b] или (a,b], следовательно НГ_х=а, ВГ_х=b. Понятие границ и погрешностей тесно связаны взаимно заменяют друг друга.

Пусть известно Х_а и ∆Х_а. Тогда, Х_с[Х_а-∆Х_а, Х_а+∆Х_а]

Е=[Х_а-∆Х_а, Х_а+∆Х_а] НГ_х= Х_а-∆Х_а; ВГ_х=Х_а+∆Х_а (12)

И наоборот, пусть известны НГ_х и ВГ_х. Тогда Е=[НГ_х, ВГ_х]

Ранее мы показали, что если выбрать приближенное значение

, (13)

То предельная абсолютная погрешность будет наименьшей и равна

(14)

Формулы (12)-(14) позволяют перейти от ВГ_х и НГ_х к Х_а и ∆Х_а и наоборот.

1.3. Запись приближенных значений. Верные знаки

Значащими цифрами в десятичной дроби называются все цифры, начиная с первой ненулевой слева.

Пример. 0,01035 знач. цифры 1,0,3,5.

-1,06 1,0,6.

11017500 1,1,0,1,7,5,0,0.

Значащая цифра в десятичной записи приближенного значения Х_а называется верно в широком (строгом) смысле слова, если погрешность этого приближенного значения не превышает единицы (половины единицы) разряда, в котором стоит эта цифра.

Пример. Х_а=-0,020345 ∆Х_а=0,000055

верные цифры в широком смысле 2,0,3

верные цифры в строгом смысле 2,0.

Верные значащие цифры в записи приближения Х_а часто совпадают с соответствующими цифрами в записи точного значения Х_с, но не всегда

Пример. Х_с=2,15379 Х_с=1,00000

Х_а=2,15352 Х_а=0,99999

∆Х_а=0,00001

Количество верных знаков после десятичной запитой в записи приближения Х_а тесно связано с величиной абсолютной погрешности (или оценки) ∆Х_а

Если ∆Х_а=10^-n, nN, то в записи Х_а будут верны в широком смысле слова все значащие цифры после запятой с 1-й по n-ую.

Пример. х=1,23456, ∆Х_а=10^-2.

Общее количество верных знаков записи Х_а связан с величиной относительной погрешности (или оценки) Х_а. Если Х_а=10^-n, nN, то в записи Х_а будет ровно n верных значащих цифр в широком смысле слова

Представим Х_а в показательной форме: Х_а=m*10^p, pZ, mR , p – порядок числа, m – мантисса.

Очевидно, что абсолютная погрешность ∆Х_а и ∆m связаны соотношением: ∆Х_а=∆m*10^p Отсюда получаем:

, но 0,1≤m<1 0,1*10^-n≤∆m<10^-n.

Т.о., в записи мантиссы будет n верных значащих цифр после запятой. Все эти цифры будут верными и в записи Х_а, ч.т.д.

Пример. Х_а=31,2594, =10^-4

1.4. Округление. Погрешность округления. Первое правило подсчета верных знаков

При ручных вычислениях и подсчета на ЭВМ практически невозможно обойтись без округлений промежуточных или конечных результатов. Применяются различные способы округления:

1. Метод симметрического округления. Он обычно используется при ручных расчетах. Если первая слева из отбрасываемых цифр меньше 5, то оставшиеся цифры сохраняются без изменений. В противном случае младший сохраняемый разряд увеличивается на 1.

2. Метод отбрасывания. Все младшие разряды числа, начиная с некоторого, отбрасываются. Все числа, не помещающиеся в разрядной сетке ЭВМ, отбрасываются.

Пусть Х_с и Х_а – точное и приближенное значения числовой величины. Х’ – результат округления Х_а. Абсолютной погрешностью округления называется число ∆_окр.=

Если рассматривать число Х’ как некоторое другое приближенное значение исходной величины Х, то его абсолютная погрешность ∆Х’=, т.е. оценку погрешностиX’ можно выбрать следующим образом: ∆X’=∆X_а+∆_окр.

При ручных вычислениях часто возникает вопрос о том, сколько цифр оставить при округлении.

Пример Х_с=2,1374, Х_а=2,1332, ∆X_а=0,0042, X’ – число, полученное из Х_а путем округления. Рассмотрим 3 случая:

1. X’=2.133 ∆_окр.=0,0002 ∆Х’=0,0044 погрешность увеличивается незначительно

2. Х’=2,13 ∆_окр.=0,0032 ∆Х’=0,0074 погрешность увеличивается существенно

3. Х’=2,1 ∆_окр=0,0332 ∆Х’=0,0374 погрешность выросла почти в 10 раз, что недопустимо