- •Российская Федерация
- •§ 2. Аксиомы натуральных чисел (аксиомы Пеано) и простейшие следствия из них
- •§ 3. Принцип полной математической индукции
- •§ 4. Сложение натуральных чисел
- •§ 5 Законы сложения
- •§ 6. Определение умножения
- •§ 7. Законы умножения
- •§ 8. Дальнейшие свойства неравенств натуральных чисел
- •§ 9. Различные виды доказательств по индукции Усиленный принцип полной математической индукции
- •Обобщенный принцип полной математической индукции
- •Обобщенный усиленный принцип полной математической индукции
- •§ 10. Вычитание и деление натуральных чисел
- •§ 11. Обобщение действий сложения и умножения
- •§ 12. Принципы расширения при построении числовых систем. Разбиение множества nn на классы эквивалентности. Множества целых чисел
- •§ 13.Сложение целых чисел и его свойства.
- •§ 14. Умножение целых чисел и его свойства
- •§15. Разбиение множества zn на классы эквивалентности. Множества рациональных чисел
- •§16. Сложение рациональных чисел и его свойства
- •§17. Умножение рациональных чисел и его свойства
- •§18. Сравнение рациональных чисел и его свойства. Представление рационального числа в виде отношения целого числа к натуральному.
- •§19..Дальнейшие свойства рациональных чисел.
- •§20.. Фундаментальные последовательности рациональных чисел.
- •§21. Отношение эквивалентности на множестве фундаментальных последовательностей рациональных чисел.
- •§4. Определение действительного числа.
- •§22.. Упорядоченность множества действительных чисел.
- •§23. Действительное число как предел последовательности рациональных чисел.
- •§24.. Действительное число как бесконечная десятичная дробь.
- •§25.. Полнота пространства действительных чисел.
- •§26.. Заключительные замечания.
- •§27. Множество комплексных чисел
- •§ 28. Кватернионы
- •§ 29. Векторные пространства и алгебры
Российская Федерация
Федеральное агентство по образованию
Брянский государственный университет имени академика И.Г.Петровского
Филиал в г. Новозыбкове
ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ
Конспект лекций
Новозыбков 2007
§ 1. Предмет изучения числовых систем.
Различные подходы к их изучению
Предметом изучения числовых систем является исследование числа в его развитии от натурального до гиперкомплексного и изучение основных свойств различных числовых систем: системы натуральных чисел, системы целых чисел, системы рациональных чисел, системы действительных чисел, системы гиперкомплексных чисел и др.
Вопросы, связанные с возникновением понятия числа, одни из труднейших в математике и до настоящего времени их нельзя считать полностью разрешенными, т. к. здесь возникает ряд глубоких и трудных проблем, связанных с вопросами основания математики, вопросами философии и логики.
Изучение числовых систем традиционно начинают с изучения натуральных чисел. Существует два подхода в их изучении:1) конструктивный и 2) аксиоматический.
При конструктивном подходе рассматривают слова в алфавите Q={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, элементы которого называют цифрами. Вводят конструктивное правило образования слов (чисел) на основе данного алфавита, далее вводится отношение «следует за», обозначаемое знаком ' (штрих). На основе вышеизложенного вводится понятие натурального числа.
Конструктивный подход имеет ряд преимуществ перед аксиоматическим, а именно, он дает очень наглядные объекты, которыми можно оперировать. Однако, при конструктивном подходе считают неприемлемым применение закона исключенного третьего к бесконечным множествам. Утверждение, что каждое натуральное число n либо обладает, либо не обладает некоторым свойством P(n), с конструктивной точки зрения истинно лишь в том случае, если известен алгоритм, который позволяет для каждого числа n за конечное число шагов убедиться, выполняется или нет свойство P(n). Принятие конструктивной точки зрения приводит к ограничениям не только высказывания, но и определения. Подробно этот подход к изучению числовых систем изложен в книге А. Ш. Блоха «Числовые системы» - Минск, «Вышэйшая школа», 1982
Второй подход аксиоматический или дедуктивный. Построение той или иной дедуктивной теории для данной системы объектов начинается с того, что отбираются так называемые первичные - термины небольшая группа основных понятий и основных отношений данной теории — они даются без определения, т. е. смысл их не объясняется. Далее выделяются некоторые утверждения — первичные утверждения, или аксиомы, которые принимаются за истинные без доказательства.
Требования к дальнейшему развитию теории заключаются в том, что, во-первых, все новые понятия, вводимые в данной теории, должны быть определены в первичных терминах или через другие, ранее определенные на основании того же принципа понятия, и, во-вторых, все новые утверждения теории, или теоремы должны быть доказаны на основе первичных терминов и аксиом, путем дедукции или выведения из них, и на основе утверждений, уже доказанных соответственно этому же требованию. Правила вывода даются и исследуются в математической логике. Метод построения теорий на основе указанных принципов и носит название дедуктивного, или аксиоматического, метода.
О п р е д е л е н и е 1. Всякое множество элементов, для которого даны первичные термины и выполнены аксиомы аксиоматической теории, называется ее интерпретацией или моделью.
Интерпретация — это осуществление аксиоматической теории в конкретном множестве.
Значение дедуктивного метода состоит в том, что в тех науках, где он применим, нет необходимости проверять на практике все выводы данной теории; достаточно проверить только правильность исходных положений и применимость правил вывода в данной науке. Однако этот метод менее нагляден и более абстрактен.
В дальнейшем мы будем рассматривать аксиоматическое построение числовых систем.