38

6.2. Тема 2. Наилучшее среднеквадратическое приближение. Тригонометрическая интерполяция. Наилучшее равномерное приближение Задание 1

Дана функция . Разложить эту функцию в тригонометрический ряд Фурье на . Изобразить график периодического (с периодом ) продолжения функции и график суммы ряда Фурье. Построить (с помощью Excel, например) на одном чертеже график функции и график , наилучшего среднеквадратического приближения для функции на в множестве тригонометрических многочленов n-ой степени при следующих значениях n: 1, 10, 50. Пронаблюдать явление Гиббса. Варианты для выполнения задания 1 взять из табл. 2.1.

Задание 2

Дана таблица значений, _, некоторой функции в точках , . Значения приближенные и имеют значительные погрешности.

Получить (используя, например, Excel) наилучшее среднеквадратическое приближение для функции в семействе линейных функций (найти a и b) методом наименьших квадратов, построить его график, показать на нем табличные точки .

Задание 3

Дана таблица значений , некоторой функции в точках , . Значения имеют значительные погрешности.

Для построения наилучшего среднеквадратического приближения функции методом наименьших квадратов подобрать наиболее подходящее параметрическое семейство функций среди следующих семейств нелинейных функций: , , , , , .

Получить (используя, например, Excel) наилучшее среднеквадратическое приближение функции в выбранном семействе нелинейных функций (вычислить коэффициенты a и b), а также построить график этого приближения, показать на нем табличные точки .

Таблица 2.1

№ варианта
17

Задание 4

Определить какое из двух, полученных при выполнении предыдущих заданий, приближений или является лучшим?

Варианты для выполнения заданий 2  4 взять из табл. 2.2.

Таблица 2.2

№ вар-та	i	1	2	3	4	5	6	7	8
17		1.01	1.74	2.38	3.02	3.66	4.30	4.94	5.18
		-1.73	-2.98	-3.53	-3.89	-4.01	-4.25	-4.32	-4.38

6.3. Тема 3. Численное дифференцирование. Метод

Рунге-Ромберга

Задание 1

Построить (используя, например, табличный процессор Excel) таблицы значений функции , а также ее первой производной (предварительно вычисленной аналитически) на сетке с узлами ( , ). В табличных значениях сохранять 10 знаков после десятичной запятой. Эти таблицы использовать при выполнении заданий 2, 3, 4.

Задание 2

Используя формулу численного дифференцирования и построенную при выполнении предыдущего задания таблицу значений функции (с помощью, например, табличного процессора Excel), получить таблицу приближенных значений первой производной и абсолютной погрешности этих значений в точках ( , ).

Задание 3

Используя ту же формулу численного дифференцирования , только с удвоенным шагом, и построенную при выполнении первого задания таблицу значений функции (с помощью, например, табличного процессора Excel) получить таблицу приближенных значений первой производной и значений ее абсолютной погрешности в точках ( , ).

Задание 4

На основе таблиц приближенных значений первой производной, полученных при выполнении заданий 2 и 3, составить таблицу значений асимптотической оценки погрешности приближенного значения первой производной (см. метод Рунге-Ромберга), полученного в задании 2. Сопоставить значения асимптотической оценки погрешности и точные значения погрешности. Сделать выводы из этого сопоставления.

Варианты для заданий 1 – 4 взять из табл. 3.1.

Таблица 3.1

№ вар-та
17