Первое правило верных знаков
Если приближение Ха – окончательный результат, то его принято округлять так, чтобы он был записан со всеми верными знаками. Если Ха – промежуточный результат, то его принято округлять так, чтобы он был записан со всеми верными знаками плюс один-два добавочных знака.
Например Ха задано равенством Ха=1,25 следовательно ∆Ха≤0,01
При записи окончательных приближенных результатов Ха с известной оценкой погрешности ∆Ха часто используют следующую форму записи:
X=Ха±∆Ха
При этом, погрешность ∆Ха обычно округляют до 2-х значащих цифр в сторону увеличения, а в записи приближенного значения Ха сохраняют столько же разрядов после запятой, сколько их имеется в записи ∆Ха.
пример Ха=1,23456089 ∆Ха=0,00034295
Можно записать: Х=1,234 или Х=1,23456±0,00035.
1.5. Линейные оценки погрешностей.
Для того, чтобы найти оценку погрешности результата вычислений по любой формуле достаточно уметь оценивать погрешность результатов арифметических операций и значений элементарных функций. Рассмотрим, как это можно сделать.
Z=X+Y
Xc и Yc неизвестны, зато известны Ха, Yа, ∆Ха, ∆Yа
Требуется найти Zа и ∆Zа.
Zа=Ха+Yа
Z=X-Y
∆(Xа±Ya)=∆Xa+∆Ya (1)
Z=X*Y
Za=Xa*Ya
Учитывая (1) и
используя формулу ∆lnX≈dlnX
получим ∆lnZa=∆lnXa=∆lnYa
4.
.
(2)
y=f(x) – дифференцируемая функция.
Известно Ха и ∆Xa. Требуется найти Ya и ∆ya. Ya=f(Ха)
Применим для
функции f(x)
на отрезке
с концами в точках Ха
и Хс
теорему Лагранжа, согласно которой
между точками Ха
и Хс
существует точка С такая, что
f(Xc)-f(Xa)=f’(C)(Xc-Xa)
Заметим, что Хс
и С содержатся в отрезке [Ха-∆
Ха,
Ха+∆
Ха].
Если на этом отрезке производная функции
f’(Xa)≠0,
то можно приближенно считать, что
f(C)≈f’(Xa)
(3)
Обычно при расчетах используют линейные оценки погрешностей формул (1)-(3), несмотря на то, что последние (2) и (3) являются приближенными. Это происходит потому, что условия их применимости в подавляющем большинстве случаев выполняются.
Линейные оценки погрешностей для функций нескольких переменных.
Пусть задана функция n переменных y=f(x1,x2,…,xn). Точные значения её аргументов обозначим x1c,x2c,…,xnc, а приближенные – x1a,x2a,…xna и их абсолютные погрешности – ∆x1a,∆x2a,…∆xna. Точное значение функции yc=f(x1c,x2c,…,xnc), а приближенное ya=f(x1a,x2a,…xna). Тогда, справедлива формула:
Эту оценку можно
использовать в тех случаях, когда ∆xi
настолько малы, что частные производные
не
сильно меняются в ∆, где ∆ – множество
точек (x1,x2,…,xn)Rn,
удовлетворяющих неравенствам
,
Причем не все из
частных производных 
обращаются в нуль. В большинстве случаев
эти условия выполняются.
Пример.
z=-0,892±0,81
1.6. Метод границ
Пусть требуется вычислить значение величины z и оценку её абсолютной погрешности, если z является функцией переменной x. При этом известно, что x[НГх, ВГх].
Допустим, что f(x) – монотонно возрастающая на [НГх, ВГх]. Тогда, она принимает свое наименьшее значение при x=НГх, z=f(НГх), а наибольшее при x=ВГх, z=f(ВГх). f(НГх)<f(x)< f(ВГх)
Если f(x) – монотонно убывающая на этом отрезке, то f(ВГх)<f(x)< f(НГх).
Если f(x) не является монотонной функцией на [НГх, ВГх], то в этом случае для определения границ изменения функции необходимо определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке. Пример y=x2
Таким же образом можно определить границы значений числовой величины в случае, если она является функцией нескольких переменных. Приведем основные формулы вычисления границ, если z является результатом арифметических действий.
z=x+y
Функция монотонно возрастающая с ростом
x
и y
НГz= НГх + НГy
ВГz= ВГх + ВГy
z=x-y
Функция возрастает с ростом х и убывает
с ростом у
НГz=НГх-ВГy
ВГz=ВГх-НГy
z=x*y При неотрицательных значениях НГх и НГy, функция z будет монотонно возрастать и ее границы будут определятся по формулам:
НГz=НГх*НГy
ВГz=ВГх*ВГy
z=x/y Аналогично:
НГz=НГх/ВГy; ВГz=ВГх/НГy. (НГy≠0)
Если нижняя граница х или у отрицательная, то определение границ величины z является более сложной задачей и требует дополнительных исследований.