Оценка погрешности интерполяционных формул

Если известно аналитическое выражение интерполируемой функции f, можно применять формулы для оценки погрешности интерполированию.

Величину называютпогрешностью интерполяции или остаточным членом интерполяционной формулы Лагранжа. Равенство называется интерполяционной формулой Лагранжа с остаточным членом. Ясно, что в узлах интерполяции, погрешность интерполяции равна нулю.

Рассмотрим вопрос об оценке погрешности интерполяции в точке x, отличной от узлов интерполяции.

Для произвольной функции f(x) постановка вопроса о погрешности интерполяции многочленом некорректна, так как для одного набора из (n+1) точек существует единственный многочленn–ной степени, проходящий через них, и бесконечно много функций, проходящих через эти точки и сколь угодно сильно отличные от Потому для оценки погрешностинеобходимо налагать какие-либо условия наf(x).

Пусть и. Обозначим-многочлен степениn+1, . где c=const - некоторый параметр. То есть, u(x) имеет на по крайней мере n+1 корень. Подберем число c так, чтобы еще в одной точке .- такое число обязательно существует. Пусть для определенности

Таким образом, функция U(x) имеет корня и эти точки составляют системуn+1 отрезков, на концах которых U(x)=0 и по теореме Роля, на каждом из них существует точка, в которой , то естьn+1 ноль производной.

Эти точки образуют систему n отрезков, на которых можно применить теорему Роля к производной точкаи так далее. Нашаге получим:точкаили

Но так как выбрано произвольно, равенство справедливо для всех х, то

Если при этом

Пример: Оценить погрешность интерполирования функции в точкеx=116 с помощью интерполяционной формулы Лагранжа, построенной для узлов:

, n=2 a=min (100,121,144) =100 b=max (100,121,144) =144

Контрольные вопросы

1. Как ставится задача интерполяции?

2. Получите формулу для вычисления интерполяционного многочлена в форме Лагранжа.

3. Докажите теорему о погрешности интерполяции. Запишите оценку погрешности интерполяции.

4. Постройте интерполяционный многочлен для произвольной функции.

Литература

5. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2002.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М., Наука, 1987.

7. Вабищевич П.Н.. Численное моделирование. М.: 1993.

8. Заварыкин В. М., Житомирский Г. В., Лапчик М. П. Численные методы. - М., Просвещение, 1990.

Тема 5. Наилучшее среднеквадратическое приближение

Цель: Сформировать у студентов представление о аппроксимации функций методом наименьших квадратов.

Вопросы:

5.1. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

5.1. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Пусть в результате измерений в процессе опыта получена таблица значений некоторой функции f:

х	x1	x2	…	xn
f(x)	y1	y2	…	yn

(1)

Задача аппроксимации заключается в отыскании формулы, выражающей эту зависимость аналитически, причем должен учитываться и характер исходной функции, т.е. нужно найти функцию заданного вида y=F(x), которая в точках x1,x2,…,xn принимает значения, как можно более близкие к табличным значениям y1,y2,…,yn.

Практически вид приближающей функции F можно определить следующим образом: по таблице строится точечный график функции f, а затем проводится плавная кривая, по возможности наилучшим образом отражающая характер расположения точек. По полученной таким образом кривой устанавливается вид приближающей функцию

В качестве приближающих функций в зависимости от характера точечного графика функции f часто используют следующие функции:

1. y=ax+b,

2. 

3. y=,

4. y=a exp(mx),

5. y=,

6. y=a lnx+b,

7. y=a+b,

8. y=.

Рассмотрим один из распространенных способов нахождения функции F(x). Предположим, что приближающая функция в точках x1,x2,…,xn имеет значения …, (2). Требование близости табличных значений y1,y2,…,yn и значений можно истолковать следующим образом: будем рассматривать совокупность значений функцииf из таблицы (1) и совокупность (2) как координаты двух точек n-мерного пространства. Таким образом, необходимо найти такую функцию F заданного вида, чтобы расстояние между точками M(y1,y2,…,yn) и ) было наименьшим в пространствеRⁿ, т.е. чтобы была наименьшей величина:

или . (3)

Итак, задача аппроксимации функции f теперь формулируется следующим образом: для функции f, заданной таблицей (1), найти функцию F определенного вида так, чтобы сумма квадратов (3) была наименьшей.

Эта задача носит название задачи аппрксимации функции методом наименьших квадратов.

Рассмотрим метод нахождения параметров приближающей функции в общем виде на примере приближающей функции с тремя параметрами: y=F(x, a, b, c). Итак, имеем F(xi, a, b, c)=,i=1,2,…,n. Сумма (3) будет иметь вид: . Эта сумма Ф(a,b,c) является функцией трех переменных. Задача сводится к отысканию минимума этой функции. Используем необходимое условие экстремума функции трех переменных: , т.е.

(*)

Решив эту систему трех уравнений с тремя неизвестными относительно a, b, c, получим конкретный вид искомой функции F(x, a, b, c).

Количество параметров в функции F не влияет на сущность самого метода, а влияет лишь на количество уравнений в системе (*).

Естественно, что значения найденной функции F(x, a, b, c) в точках x1,x2,…,xn будут отличаться от табличных значений y1,y2,…,yn. Значения разностей y_i- F(x_i, a, b, c)=(i=1,2,…,n) называются отклонениями измеренных значений y от вычисленных по формуле. Из двух разных приближений одной и той же табличной функции, лучшим является то, для которого сумма квадратов отклонений является наименьшей.

Нахождение приближающей функции в виде линейной функции.

Будем искать приближающую функцию в виде F(x, a, b)=ax+b. Найдем частные производные по параметрам a и b: .

Составим теперь систему вида (*)

Разделим каждое уравнение на n:

Введем обозначения:

(**)

Тогда система примет вид:

,откуда a=,b=

Коэффициенты этой системы, которые в каждой конкретной задаче приближения могут быть легко вычислены по формулам (**). Вычислив значения параметровa и b, получим конкретный вид линейной функции, осуществляющей наилучшее приближение среди всех линейных функций.