3. Объем тела
Пусть
требуется найти объем V
тела, причем известна площадь
сечения
тела, плоскостями, перпендикулярными
к оси
то
(14)
Пример
34.
Найти объем эллипсоида
Рассекая
эллипсоид плоскостью, параллельной
плоскости
и на расстоянии
от неё
получим эллипс
Площадь
этого эллипса равна
поэтому
4. Объем тела вращения
О
бъем
тела, полученного вращением кривой
вокруг оси ох
(см.
рис. 11), определяется интегралом
(15)
Аналогично, вокруг оси 0у.
(16)
Пример 35. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
вокруг
оси
.
Находим
Варианты заданий для контрольной работы № 3
Задание 1. Найти неопределенные интегралы.
В задачах 1 и 2 результат проверить дифференцированием.
В задачах 3 и 4 вычислить интегралы по формуле интегрирования по частям.
В задачах 5 и 6 проинтегрировать рациональные функции.
В задачах 7 и 8 найти интегралы от тригонометрических функций.
В задачах 9 и 10 вычислить интегралы, используя подходящую подстановку.
Вариант 1
1.
;
2.
; 3.
;
4.
;
5.
;
6.
;
7.
;
8.
;
9.
; 10.
.
Вариант 2
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 3
1.
; 2.
; 3.
; 4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 4
1.
; 2.
3.
4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 5
1.
; 2.
; 3.
; 4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 6
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Вариант 7
1.
; 2.
; 3.
;
4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 8
1.
; 2.
; 3.
; 4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 9
1.
; 2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 10
1.
; 2.
; 3.
; 4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
Вариант 11
1.
; 2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 12
1.
; 2.
; 3.
; 4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 13
1.
; 2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 14
1.
; 2.
; 3.
; 4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 15
1.
; 2.
; 3.
; 4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 16
1.
; 2.
; 3.
; 4.
;
5.
; 6.
;
7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 17
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 18
1.
;
2.
;
3.
; 4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 19
1.
;
2.
;
3.
;
4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Вариант 20
1.
; 2.
;
3.
;4.
;
5.
; 6.
; 7.
;
8.
; 9.
; 10.
.
Задание 2. Вычислить определенный интеграл
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или показать его расходимость.
Задание 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями.
(вне окружности)
Задание 5. Вычислить длину дуги кривой.
.
Задание 6. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 0х кривой, заданной уравнениями.
