Интегрирование рациональных дробей

Рациональной дробью называется дробь вида , где и – многочлены степени и соответственно. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя ( < ), в противном случае дробь называется неправильной.

Простейшими элементарными дробями называются дроби следующего вида:

1. ;

2. , >1, целое;

3. , где < 0, т. е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней;

4. , где < 0, т. е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Пример 10.

, здесь .

Пример 11.

Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен, можно вычислить, применяя прием выделения полного квадрата разности или суммы. Рассмотрим пример такого интеграла.

Пример 12.

=

;

Возвращаясь к старой переменной, получим:

Алгоритм интегрирования рациональной дроби

1. Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде: , где многочлен, а правильная рациональная дробь.

2. Знаменатель разложим на простейшие сомножители:

, где многочлены не имеют действительных корней.

2. Представим дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.

,

где - неопределенные коэффициенты, которые надо найти.

2. Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.

3. Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях .

4. Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая равным действительным корням знаменателя.

5. Подставим найденные коэффициенты в разложение дроби.

6. Проинтегрируем простейшие дроби.

Примеры интегрирования рациональных функций

Пример 13. = ;

− это неправильная рациональная дробь. Сначала выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель.

-

-

2

Тогда , где – целая часть дроби, – правильная рациональная дробь, знаменатель которой разлагается на множители: .

Корни знаменателя: , а не имеют действительных корней.

Тогда разложение для данной дроби имеет вид:

.

Приводя полученные дроби к общему знаменателю, получим тождество:

.

Приравнивая числители обеих дробей, получим уравнение:

2= .

Пусть , тогда 2=2 . Коэффициенты найдем из системы:

Откуда .

Тогда = = =

Пример 14. .

– правильная дробь. Разложим знаменатель на простейшие сомножители, получим: .

Корни знаменателя: – кратности 2 и – простые корни.

Запишем разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших:

.

Приведем дроби к общему знаменателю, затем приравняем числители обеих дробей. Получим тождество:

.

Вычислим коэффициенты разложения, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. Так как знаменатель имеет три действительных различных корня, то три коэффициента найдем методом частных значений.

Откуда , , .

Чтобы найти коэффициент составим уравнение, приравнивая коэффициенты при слева и справа в тождестве.

Получим уравнение: Откуда .

Подставим найденные коэффициенты в разложение и проинтегрируем дроби.