- •111Equation Chapter 1 Section 1министерство образования и науки российской федерации
- •«Национальный исследовательский
- •Матанализ 3
- •Аннотация
- •Матанализ 3
- •130102 «Технология геологической разведки»,022000 «Экология и природопользование»
- •Отпечатано в Издательстве тпу в полном соответствиис качеством предоставленного оригинал-макета
- •I. Интегральное исчисление функции одной переменной Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •II. Дифференциальные уравнения
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Полезно помнить таблицу дифференциалов:
- •Непосредственное интегрирование
- •Метод подстановки
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Алгоритм интегрирования рациональной дроби
- •Примеры интегрирования рациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Определенный интеграл
- •Рассмотрим частные случаи
- •Теорема существования определенного интеграла
- •Интеграл расходится, т. К. Предел не существует. Пусть теперь функция непрерывна на интервалеи. Если существует конечный предел, то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
- •Функция определена на , и то есть мы имеем дело с несобственным интегралом от функции с бесконечным разрывом. Таким образом,
- •Некоторые приложения определенного интеграла
- •1. Вычисление площади плоской фигуры
- •2. Длина дуги кривой
- •3. Объем тела
- •II. Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Умножим обе части уравнения на 2
- •2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными Уравнения вида
- •3. Однородные уравнения
- •Разделим переменные
- •4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Решение линейного уравнения методом подстановки
- •5. Уравнение Бернулли
- •Преобразованное уравнение (26) является линейным относительно и. Решив его, найдем общий интеграл уравнения (26). Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли (24).
- •6. Уравнение в полных дифференциалах
- •Нахождение общего решения уравнения
- •III. Числовые ряды Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число, то говорят, что задана числовая последовательность.
- •1. Интегральный признак Коши
- •Следовательно, обобщенный гармонический ряд сходится прии расходится при.
- •Решение. Составим ряд из модулей Получим гармонический ряд, который расходится. Проверим условия признака Лейбница:
- •IV. Функциональные ряды
- •V. Степенные ряды
- •1. Теорема Абеля
- •Решение.
- •3. Методы разложения функций в ряд Тейлора
- •Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
- •Данное разложение имеет место для всех . Варианты заданий для контрольной работы № 6
- •Учебно-методическое обеспечение дисциплины Литература обязательная
Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида , гдеи– многочлены степениисоответственно. Рациональная дробь называетсяправильной, если степень числителя меньше степени знаменателя (<), в противном случае дробь называетсянеправильной.
Простейшими элементарными дробями называются дроби следующего вида:
;
, >1, целое;
, где < 0, т. е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней;
, где < 0, т. е. квадратный трехчлен не имеет действительных корней.
Пример 10.
, здесь .
Пример 11.
Интегралы, содержащие в знаменателе квадратный трехчлен, можно вычислить, применяя прием выделения полного квадрата разности или суммы. Рассмотрим пример такого интеграла.
Пример 12.
=
;
Возвращаясь к старой переменной, получим:
Алгоритм интегрирования рациональной дроби
Если дробь неправильная, надо выделить целую часть рациональной дроби, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочлена на многочлен, т.е. представить в виде: , гдемногочлен, аправильная рациональная дробь.
Знаменатель разложим на простейшие сомножители:
, где многочлены не имеют действительных корней.
Представим дробь в виде суммы простейших дробей с неопределенными коэффициентами.
,
где - неопределенные коэффициенты, которые надо найти.
Приведем все дроби в разложении к общему знаменателю и приравняем числители в обеих частях равенства.
Составим систему уравнений, используя равенство многочленов, стоящих в числителе, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях .
Решим систему уравнений, находя некоторые коэффициенты методом частных значений, полагая равным действительным корням знаменателя.
Подставим найденные коэффициенты в разложение дроби.
Проинтегрируем простейшие дроби.
Примеры интегрирования рациональных функций
Пример 13. =;
−это неправильная рациональная дробь. Сначала выделим целую часть дроби, разделив числитель на знаменатель.
-
-
2
Тогда , где– целая часть дроби,– правильная рациональная дробь, знаменатель которой разлагается на множители:.
Корни знаменателя: , ане имеют действительных корней.
Тогда разложение для данной дроби имеет вид:
.
Приводя полученные дроби к общему знаменателю, получим тождество:
.
Приравнивая числители обеих дробей, получим уравнение:
2=.
Пусть , тогда 2=2. Коэффициентынайдем из системы:
Откуда .
Тогда ===
Пример 14. .
–правильная дробь. Разложим знаменатель на простейшие сомножители, получим: .
Корни знаменателя: – кратности 2 и– простые корни.
Запишем разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших:
.
Приведем дроби к общему знаменателю, затем приравняем числители обеих дробей. Получим тождество:
.
Вычислим коэффициенты разложения, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях. Так как знаменатель имеет три действительных различных корня, то три коэффициента найдем методом частных значений.
Откуда ,,.
Чтобы найти коэффициент составим уравнение, приравнивая коэффициенты прислева и справа в тождестве.
Получим уравнение: Откуда.
Подставим найденные коэффициенты в разложение и проинтегрируем дроби.