I. Интегральное исчисление функции одной переменной Неопределенный интеграл

Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование. Метод замены переменной. Интегрирование по частям. Интегрирование простейших рациональных дробей разных типов. Теорема о разложении многочлена на простые множители.

Интегрирование рациональных функций методом разложения их на простейшие дроби.

Интегрирование тригонометрических функций различных классов.

Интегрирование алгебраических иррациональностей различных видов и дифференциального бинома.

Определенный интеграл

Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Основные свойства определенного интеграла.

Производная интеграла по верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

Вычисление определенного интеграла: интегрирование по частям, подстановкой.

Приложения определенного интеграла к вычислению площадей, длин дуг, объемов тел, вычисление работы.

Несобственные интегралы с бесконечными пределами.

Несобственные интегралы от неограниченной подынтегральной функции. Основные свойства.

Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости.

II. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения. Понятие об особых решениях.

Уравнения с разделяющимися переменными. Однородное уравнение.

Линейное уравнение первого порядка. Уравнение Бернулли и в полных дифференциалах.

III. Числовые ряды

Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости. Действия с рядами.

Ряды с положительными членами. Признаки сходимости.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость.

Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

IV. Функциональные ряды

Основные понятия. Область сходимости.

Понятие равномерной сходимости. Признак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся рядов.

V. Степенные ряды

Теорема Абеля. Свойства степенных рядов.

Разложение функций в степенные ряды.

Ряды Тейлора и Маклорена.

Применение рядов к приближенным вычислениям.

1. Интегральное исчисление функции одной переменной

Неопределенный интеграл

Определение 1. Пусть функция определена на некотором интервалеи для всехсуществует такая функция, что. Тогданазывается первообразной дляна.

Например, одной из первообразных функций для функции будет . Первообразная не единственна, т. к.=+=,=, а поэтому,также являются первообразными для.

Теорема. Две различные первообразные одной и той же функции, определенной на интервале , отличаются друг от друга в этом промежутке на постоянное слагаемое, т.е. еслии– некоторые первообразные, т. е.=и=то–.

Следствие. Прибавляя к какой-либо первообразной для данной функции, определенной на промежутке, всевозможные постоянные, мы получим все первообразные для функции.

Определение 2. Общее выражение для всех первообразных данной непрерывной функции называется неопределенным интегралом от функциии обозначается символом.

При этомназывается подынтегральной функцией,– подынтегральным выражением,– переменной интегрирования.

Согласно определению неопределенного интеграла можно написать:

, где , постояннаяможет принимать любое значение и называется произвольной постоянной.