Функция определена на , и то есть мы имеем дело с несобственным интегралом от функции с бесконечным разрывом. Таким образом,

то есть, расходится.

Важную роль в решении вопроса о сходимости (расходимости) несобственного интеграла играет теорема сравнения:

Если функции и определены на интервале и для некоторого справедливо неравенство то из сходимости интеграла (из расходимости следует сходимость интеграла (расходимость ).

Аналогичные утверждения справедливы и для других несобственных интегралов.

Пример 31. Вычислить, сходится или не сходится интеграл

Здесь ; для всех , справедливо неравенство а сходится, таким образом, по теореме сравнения, будет сходиться интеграл

Некоторые приложения определенного интеграла

1 . Вычисление площади плоской фигуры

Известно, что площадь криволинейной трапеции (рис. 2) вычисляется по формуле

(8)

Отметим, что если криволинейная трапеция расположена ниже оси 0х, , то площадь может быть найдена по формуле

(9)

Формулы (8) и (9) можно объединить в одну

П лощадь фигуры, ограниченной кривыми

и , прямыми можно найти по формуле

(10)

Если плоская фигура имеет «сложную» форму, то её следует разбить на части по прямым, параллельным оси ; чтобы можно было применить известные формулы.

Е сли криволинейная трапеция ограничена кривой, заданной параметрически

, прямыми и осью , то площадь находится по формуле

(11)

Если уравнение линии задано в полярных координатах (см. рис. 4), то площадь криволинейного сектора определяется по формуле

(12)

Примеры 32.

1. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной кривыми и (см. рис. 5).

Находим точки пересечения кривых: , и, значит, .

Следовательно

Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом

Сначала найдем площадь части эллипса (см. рис. 6).

Здесь х изменяется от 0 до , следовательно, изменяется от до 0.

Находим, что

Т аким образом,

.

2. Вычислить площадь S фигуры, ограниченной «трехлепестковой розой»:

Найдем вначале площадь половины одного лепестка «розы» (см. рис. 7).

Следовательно,

2. Длина дуги кривой

Длина L дуги АВ кривой, заданной уравнением , где точка А соответствует значению , точка В соответствует значению (см. рис. 8) находится по формуле:

(13)

Длина дуги АВ кривой L, заданной параметрическими уравнениями

находится по формуле

Если плоская линия задана уравнением в полярных координатах, то

Примеры 33.

1. Н айти длину окружности

2. (см. рис. 9).

Вычислим длину окружности.

Вначале найдем L/4.

Длина окружности

3. Вычислить длину дуги винтовой линии между точками

Поскольку , то

Найти длину кардиоиды

К ардиоида имеет вид (см. рис. 10). Она симметрична относительно полярной оси

.

Найдем половину длины кардиоиды L/2:

Длина кардиоиды

Замечание. на отрезке .