3. Методы разложения функций в ряд Тейлора
Если для какой-нибудь функции формально составлен ряд Тейлора, то чтобы доказать, что этот ряд представляет данную функцию нужно, либо доказать, что остаточный член стремится к нулю, либо каким-нибудь иным способом убедиться, что данный ряд сходится к данной функции.
Отметим,
что для любой элементарной функции
существуют числа
,
такие, что в интервале
она разлагается в ряд Тейлора.
Рассмотрим некоторые методы разложения функций в ряд Тейлора на примерах.
Пример
24.
Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
где
первый член прогрессии,
знаменатель прогрессии.
Тогда
при
Пример
25.
Решение. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции
Подставим
,
получим
Данное разложение имеет место для всех . Варианты заданий для контрольной работы № 6
Задание 1. Решить дифференциальные уравнения
Задание 2. Решить задачу Коши
Задание 3. Исследовать на сходимость числовые ряды
.
Задание 4. Найти интервал и радиус сходимости степенного ряда
.
Задание 5. Разложить данную функцию в ряд Тейлора в данной точке
Задание 6. Разложить в ряд Маклорена, используя известные разложения
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Учебно-методическое обеспечение дисциплины Литература обязательная
Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т. 1, Т. 2. – М.: Наука, 1985. – 450 с.
Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического анализа. – М.: Наука, 1973. – 436 с.
Бугров Я. С., Никольский С. М. Дифференциальное и интегральное исчисление. – М.: Наука, 1980. – 432 с.
Берман Г. Н. Сборник задач по курсу математического анализа. – М: Наука, 1977 (и позднее).
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. Т. 1. – М: Высшая школа, 1981. – 687 с.
Высшая математика в упражнениях и задачах. Части I, II /П. К. Данко и др. – М.: Высшая школа, 1980.
Марон И. А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. Функции одной переменной. – М.: Наука, 1973.
Задачи и упражнения по математическому анализу / под ред. Б. П. Демидовича. – М.: Наука, 1972.
Ефремова О. Н., Столярова Г. П., Некряч Е. Н. Высшая математика. Ч. II: учебное пособие. Томск: Изд-во ТПУ, 2007. 200 с.
Арефьев К. П. , Глазырина Е. Д., Ефремова О. Н., Столярова Г. П. Высшая математика. Ч. III.: учебное пособие. Томск: Изд-во ТПУ, 2006. 208 с.
Кошельская Г. А., Столярова Г. П., Харлова А. Н. Высшая математика. Часть IV. Ряды: учебное пособие. Томск. Изд. ТПУ, 2001.
Нагорнова А. И., Столярова Г. П. Высшая математика. Часть III: Рабочая тетрадь к типовому расчету «Неопределенный интеграл» для студентов технических специальностей института дистанционного образования. – Томск: Изд. ТПУ, 2000.
Кан Ен Хи, Пестова Н. Ф., Подскребко Э. Н. Дифференциальное исчисление функций одной переменной: учебное пособие. – Томск: ТПУ, 1999.
Данко П. Е., Попов А. Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Т. 2. М.: Высшая школа, 1989.