- •111Equation Chapter 1 Section 1министерство образования и науки российской федерации
- •«Национальный исследовательский
- •Матанализ 3
- •Аннотация
- •Матанализ 3
- •130102 «Технология геологической разведки»,022000 «Экология и природопользование»
- •Отпечатано в Издательстве тпу в полном соответствиис качеством предоставленного оригинал-макета
- •I. Интегральное исчисление функции одной переменной Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •II. Дифференциальные уравнения
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Полезно помнить таблицу дифференциалов:
- •Непосредственное интегрирование
- •Метод подстановки
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Алгоритм интегрирования рациональной дроби
- •Примеры интегрирования рациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Определенный интеграл
- •Рассмотрим частные случаи
- •Теорема существования определенного интеграла
- •Интеграл расходится, т. К. Предел не существует. Пусть теперь функция непрерывна на интервалеи. Если существует конечный предел, то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
- •Функция определена на , и то есть мы имеем дело с несобственным интегралом от функции с бесконечным разрывом. Таким образом,
- •Некоторые приложения определенного интеграла
- •1. Вычисление площади плоской фигуры
- •2. Длина дуги кривой
- •3. Объем тела
- •II. Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Умножим обе части уравнения на 2
- •2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными Уравнения вида
- •3. Однородные уравнения
- •Разделим переменные
- •4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Решение линейного уравнения методом подстановки
- •5. Уравнение Бернулли
- •Преобразованное уравнение (26) является линейным относительно и. Решив его, найдем общий интеграл уравнения (26). Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли (24).
- •6. Уравнение в полных дифференциалах
- •Нахождение общего решения уравнения
- •III. Числовые ряды Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число, то говорят, что задана числовая последовательность.
- •1. Интегральный признак Коши
- •Следовательно, обобщенный гармонический ряд сходится прии расходится при.
- •Решение. Составим ряд из модулей Получим гармонический ряд, который расходится. Проверим условия признака Лейбница:
- •IV. Функциональные ряды
- •V. Степенные ряды
- •1. Теорема Абеля
- •Решение.
- •3. Методы разложения функций в ряд Тейлора
- •Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
- •Данное разложение имеет место для всех . Варианты заданий для контрольной работы № 6
- •Учебно-методическое обеспечение дисциплины Литература обязательная
Следовательно, обобщенный гармонический ряд сходится прии расходится при.
2. Признак Даламбера (Д ‘Аламбера)
Пусть для ряда существует предел
(36)
тогда:
1) при < 1, ряд сходится;
2) при > 1, ряд расходится;
3) при = 1, вопрос о сходимости данного ряда остается открытым.
Пример 19. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Общий член данного ряда имеет вид
Тогда, Найдем предел
Следовательно, данный ряд сходится по признаку Д 'Аламбера.
3. Признак сравнения
Если для членов ряда справедливо неравенството:
1) из сходимости ряда следует сходимость ряда ;
2) из расходимости ряда следует расходимость ряда.
4. Предельный признак сравнения
Пусть даны знакопеременные ряды . Если существует конечный и отличный от нуля, то оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
При использовании признаков сравнения (3, 4) в каждом конкретном случае необходимо найти соответствующий вспомогательный ряд, про который точно известно, сходится он или нет. В качестве таких рядов, используемых для сравнения, выбирают обычно:
Обобщенный гармонический ряд сходится прии расходится при;
Ряд, из элементов геометрической прогрессии сходящийся при и расходящийся при.
Пример 20. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Рассмотрим ряд с общим членом . Этот ряд сходится, т.к. является обобщенным гармоническим рядом при.
Найдем т.к.
Ряд сходится, так как сходится ряд.
5. Предельный признак Коши
Пусть для ряда существует предел
(37)
Тогда
1) при < 1 ряд сходится;
2) при > 1 ряд расходится;
3) при = 1 вопрос о сходимости данного ряда остается открытым.
Пример 21. Исследовать сходимость ряда
Решение. Общий член данного ряда имеет вид .
Найдем
Следовательно, ряд сходится.
В этом примере был использован второй замечательный предел
Ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными. Частным случаем знакопеременных рядов являются знакочередующиеся ряды, т. е. такие ряды, все члены которых поочередно меняют знак.
Знакочередующийся ряд может быть записан так
(38)
Пусть дан знакопеременный ряд Тогда ряд, составленный из модулей членов данного ряда, является знакоположительным рядом.
Теорема. Если сходится ряд , то сходится и ряд
Для знакочередующегося ряда имеет место следующая теорема (признак Лейбница):
Если члены знакочередующегося ряда (38) удовлетворяют условиям:
2)
то ряд сходится, а его сумма S не превосходит первого члена, т.е. .
Определение. Если сходится ряд , то рядназываетсяабсолютно сходящимся. Если ряд сходится, а рядрасходится, то ряд называется условно сходящимся.
Исследование знакочередующегося ряда на сходимость начинают с проверки на абсолютную сходимость. Если ряд, составленный из модулей членов ряда, расходится, применяют признак Лейбница.
Пример 22. Исследовать на сходимость ряд
Решение. Составим ряд из модулей Получим гармонический ряд, который расходится. Проверим условия признака Лейбница:
Оба условия выполняются, следовательно, ряд сходится условно.