Интегрирование тригонометрических функций

Рассмотрим несколько видов интегралов от тригонометрических функций.

1. где − рациональная функция от и . Это означает, что над аргументами производятся только рациональные операции: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в целые степени (положительные и отрицательные). Интегралы этого вида приводятся к рациональной функции от универсальной тригонометрической подстановкой:

, .

Следует заметить, что, применяя эту подстановку можно привести любую подынтегральную функцию к рациональной дроби, но иногда получаются громоздкие дроби, которые трудно проинтегрировать.

Рассмотрим частные случаи, когда можно избежать универсальной подстановки.

2. .

Где и – целые положительные числа. Если и – четные, то используется тригонометрические формулы понижения степени,

, .

Пример 15.

3. Если одно из чисел или – нечетное, или и – нечетные, то отделяем от нечетной степени один множитель и делаем замену (или ) – .

Пример 16.

= = = ,

где

Пример 17. .

Применим универсальную тригонометрическую подстановку:

, , , .

;

Разложим дробь на простейшие

;

Откуда .

Найдем коэффициенты разложения из системы:

.

Проинтегрируем:

.

4. Если и – дробные либо целые (отрицательные) числа и – целое отрицательное число, тогда рекомендуется подстановка , ,

или

, , .

Пример 18. ;

т.к. четное отрицательное число.

Используем подстановку , , , ;

5. Интегралы вида , , где > , >0 вычисляются при помощи подстановки , и , .

Пример 19.

=

;

Т.к. дробь – неправильная, то надо выделить целую часть дроби, поделив на .

.

6. Интегралы вида

где , – действительные числа.

Напомним известные тригонометрические формулы:

;

;

.

Заменив подынтегральные функции по этим формулам, получим интегралы, которые вычисляются просто.

Пример 20. =

Интегрирование некоторых иррациональных функций

Определение 3. Функция называется алгебраической иррациональной, если над аргументом производится только четыре арифметических действия и действие возведения в рациональную степень.

Метод интегрирования алгебраических иррациональностей состоит в выборе подстановки, которая привела бы подынтегральную функцию к рациональной.

Наиболее часто встречаются иррациональности вида:

1. ; – несократимые дроби.

Рекомендуется подстановка: , где – наименьшее общее кратное знаменателей дробей , (н.о.к. ).

2. ;

Подстановка: , где н.о.к. .

3. .

Подстановка: , где н.о.к.  приводит подынтегральную функцию к рациональному виду.

1. ; Подстановка: , .

2. ; Подстановка: , .

3. ; Подстановка: , .

1. приводится к одному из видов в п. II методом выделения полного квадрата трехчлена, стоящего под корнем квадратным.

Пример 21. ;

Наименьшее общее кратное знаменателей дробей , равно 10.

Сделаем подстановку , ;

Тогда .

– правильная рациональная дробь. Разложим ее на простейшие рациональные дроби, что рекомендуется проделать самостоятельно.

Получим: =

=

, где .

Пример 22. ;

Сделаем подстановку, которая приводит подынтегральную функцию к рациональному виду: ;

Найдем из этого уравнения и :

; ;

.

Тогда .

Проинтегрируем правильную рациональную дробь , разложив ее на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов.

Представим интеграл в виде суммы: (рекомендуется выполнить самостоятельно),

.

Возвращаясь к старой переменной по формуле ,

получим .

Пример 23. ; Это интеграл типа II.

Применим подстановку ; ;

;

тогда ;

;

Чтобы вернуться к первоначальной переменной, выразим через ;

;

Получим ;

Пример 24. ; Это интеграл типа III.

Алгоритм вычисления интеграла такого типа аналогичен алгоритму интегрирования рациональной дроби типа III:

, а именно:

1. Выделение полного квадрата трехчлена, стоящего в знаменателе;

2. Введение новой переменной.

4. Интеграл от дифференциального бинома:

, может быть вычислен в конечном виде только в следующих случаях:

1. – целое число, тогда применима подстановка , где – общий знаменатель дробей и . Или разлагают на сумму по формуле бинома Ньютона.

2. – целое число, подстановка , где – знаменатель дроби .

3. – целое число, подстановка , где – знаменатель дроби .

Эти подстановки называются подстановками Чебышева, который доказал, что только в этих случаях дифференциальный бином может быть приведен к рациональному виду и вычислен при помощи элементарных функций.

Пример 25. ;

Запишем интеграл в виде ,

где , , , .

– не целое число; – целое число.

В этом случае применима подстановка: ;

; ; ;

;

Проинтегрируем рациональную дробь: , разложив ее на простейшие: .

Найдя коэффициенты разложения, получим: А= , B= , C= .

Подставим их в разложение и проинтегрируем дроби:

= ,

где = .