1.5 Дискретные случайные величины

Часто встречаются опыты, в результате которых случайным образом получают числа. Например, при бросании игральной кости мы случайным образом получаем одно из чисел от 1 до 6.

Дискретной случайной величиной называется такая случайная величина, возможные значения которой есть отдельные числа (т.е. между двумя соседними возможными значениями нет других возможных значений). В приведенном примере множество исходов состоит из шести значений. Обычно их обозначаютх₁, х₂, …, х₆.

Каждый из исходов может быть или равновероятнымили появляться сразной вероятностью. Например, появление любого из чисел от 1 до 6 при бросании кости равновероятно. Другой пример: число появлений орла при двух подбрасываниях монеты может быть равно 0; 1 и 2. Вероятности этих исходов составляют, соответственно,р₁ = 1/4;р₂= 1/2;р₃=1/4. То есть исходы не равновероятны.

Для учета этих особенностей вводится понятие закона распределения– соотношения, устанавливающего связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями.

Простейшей формой задания такого закона является таблица

	х1,х2, … ,хп	, где . (9.9)
Р	р1,р2, …рп

Эта таблица называется рядом (законом) распределения.

Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Наряду с законом распределения, случайные величины характе­ризуются математическим ожиданием(средним значением),М(Х) идисперсией(математическим ожиданием квадрата отклонения от средней величины),D(Х). Эти числовые характеристики определяются по формулам

(1.12)

Величина называетсясреднеквадратичным отклонениемслучайной величины. Она характеризует разброс значений случайных величин, получаемых в различных опытах, относительно среднего значения.

Задача 1.Вычислить характеристики случайных величин, законы распределения которых заданы рядами распределений – таблица 1.3.

Таблица 1.3 – Ряды распределений

а)			б)
Х	1 2 3 4 5 6		Х	0 1 2
Р	1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6		Р	1/4 1/2 ¼

Решение.Для первого ряда получаем

М(Х)=1/6(1+2+3+4+5+6) = 3,5;

D(X) = 1/6 (1+4+9+16+25+36) – 3,5²=2,92;s (Х) = 1,71.

Для второго ряда: М(Х) = 0 · 1/4 + 1 · 1/2 +2 · 1/4 =1;

D(X) = 0 · 1/4 + 1 · 1/2 + 4 · 1/4 – 1²= 0.5;s (Х) = 0,71.

Задача 2. Студент собирается сдавать экзамен и оценивает свои знания по следующей шкале: 5 он может получить с вероятностью 0,3; 4 – с вероятностью 0,4; 3 – 0,2 и 2 – 0,1. Какова будет его возможная оценка и её среднеквадратичное отклонение, если прогноз соответствует действительности?

Решение.По формулам (1.12) находим

.

.

Характеристики суммы случайных величин

(закон больших чисел)

Во многих прикладных задачах требуется определять среднее и среднеквадратичное отклонение суммы величин, имеющих одинаковые законы распределения. При этом используется основная из теорем теории вероятностей – закон больших чисел. Суть ее в следующем.

Пусть имеется n одинаково распределенных случайных величин (n– велико). Тогда

; . (1.13)

Применим этот вывод к решению предыдущей задачив более сложной постановке.

Пусть студент собирается за год сдать 9 экзаменов. Каковы будут его успехи?

Решение.М(9x) = 35,1;

Значит, в среднем, результаты за год будут находиться в диапазоне (3,6≤x≤4,2) в расчете на один экзамен, т.е. близки к четверке. Это одна из реализаций закона больших чисел.

Самостоятельная задача 1.Спортсмен стреляет по мишени. Вероятность того, что он попадет в "десятку" равна 0,8, в девятку – 0,1, поразит 8 или 7 – равны по 0,05. Определить средний результат шестидесяти выстрелов. Найти диапазон результатов ().