2.3 Нестационарный случайный процесс (временной ряд)

2.3.1 Понятие и параметры временного ряда

Почти в каждой области знаний встречаются явления, которые следует изучать в их дискретном развитии и фиксированном изменений во времени. В повседневной жизни это, например, метеорологические условия, параметры которых измеряются дискретно, цены на товар, характеристики состояния здоровья индивидуума и т.п. Совокупность измерений какой-либо характеристики подобного рода процессов в течение некоторого периода времени представляет собой временной ряд.

Наиболее важными задачами, которые возникают при анализе временных рядов являются:

- выявление тренда (регулярной медленно меняющейся составляющей), его параметров и периодичность;

- оценка параметров случайной составляющей.

2.3.2 Определение параметров временного ряда

Выборку временного ряда обычно называют протоколом наблюдений. Задачи анализа временных рядов можно продемонстрировать на примере.

Рассмотрим временной ряд x(t_i), характеризующий подекадное изменение температуры воздуха в г. Новокузнецке за 2003 год. Значенияt_iбудем обозначать черезi,полагая интервалы ∆tравными, примерно, декаде (10 дней). В таблице 2.6 приведен протокол наблюдений дляN=36.

Таблица 2.6 – Протокол наблюдений

i	1	2	3	4	5	6
xi	-5,5	-12,5	-11,7	-12,3	-5,9	-7,2
i	7	8	9	10	11	12
xi	-5,5	1,3	3,9	2,3	4,5	17,9
i	13	14	15	16	17	18
xi	20,9	21,1	18,5	20,1	21,0	16,5
i	19	20	21	22	23	24
xi	15,6	20,3	20,1	20,1	23,2	26,0
i	25	26	27	28	29	30
xi	12,5	7,8	3,0	6,1	-3,2	-6,6
i	31	32	33	34	35	36
xi	-8,3	-15,9	-0,8	-10,0	-9,7	-6,5

Первой задачей, возникающей перед началом исследования ряда, является подбор параметров шкалы для построения графика так, чтобы его изображение было достаточно крупным, а узлы сетки – удобными для восприятия. Для этого находят x_min– максимальное, иx_max– минимальное значения компонентx. Расстояние между делениями вертикальной шкалы выбирается так, чтобы на рабочее поле протокола попадало 8-10 делений (таблица 2.7).

Таблица 2.7 – Параметры шкалы протокола наблюдений.

Значение	Протокол наблюдений
xi	Max		Min
	26,0		-15,9
Размах	Шкала
41,9	Min	Max		Деление
	-20	30		10

Для достоверного выявления тренда (регулярной медленно меняющейся составляющей временного ряда) вначале производится сглаживание протокола наблюдений.

Простейшее сглаживание – это сглаживание скользящими среднимипо трем или пяти точкам. Сглаженное значениеx_iв точкеiвычисляют как среднее из трех (пяти) значений. Например, для трех точек:

.

Для сглаживания протокола из 36 точек нужно вычислить в точкахi= 2, 3, …, 35. Линия скользящего среднего приведена на графике (рисунок 2.5).

Предварительный анализ нового графика показывает, что эта кривая периодична. Период T, очевидно, равен одному году. Среднее значение и амплитудаАпериодических колебаний вычисляется по формулам:

; . (2.12)

Наличие коэффициента 1,57) обусловлен тем, амплитуда графика – синусоида. В результате расчетов получаем формулу линии тренда:

. (2.13)

Здесь φ₀– фазовый сдвиг трендовой составляющей. Для его практического определения необходимо на отдельных листах разместить линию сглаживания и линию тренда, наложить эти листы друг на друга, совместить значенияи подвигать верхний лист вправо-влево так, чтобы, по возможности, максимальные и минимальные значения линий совпадали. По нашим расчетам φ₀= 9. И

спользуя формулы (2.12) и (2.13), находим

х_Т⁽ⁱ⁾= 5,12 + 17,6sin.

Здесь i= 1,2,3…,36. Совмещение графика протокола наблюдений и линии тренда представлены на рисунке 2.6.

Согласно построениям зависимость можно представить в виде

(t), где– нормальный стационарный случайный процесс, имеющий нулевое среднее значение и среднеквадратичное отклонение -0.

Выявление тренда и оценка параметров случайной составляющей позволяет решать следующие метрологические задачи:

- определять закономерности изменения температурной обстановки в регионе по годам;

- оценивать устойчивости погодных условий в регионе по временам года, анализируя отличия температуры от линии тренда в отдельные периоды времени.

- установить характер и параметры нормальной стационарной составляющей случайного процесса, что позволяет оценивать возможную нестабильнось погоды по декадам или месяцам.

Оценка параметров нормального стационарного случайного процесса позволяет прогнозировать кратковременную динамику погоды в регионе и ее возможные аномалии.