2. 4 Марковские случайные процессы

2.4.1 Основные понятия

Процессы, протекающие в природе, технических и экономических системах, в реальных условиях зависят от вероятностных факторов. Для изучения их закономерностей можно строить математические модели и осуществлять оптимизацию, применяя разработанный в математике аппарат, который называется теорией марковских случайных процессов.Марковские процессы служат моделями для многихдискретных процессовв физике, технологии, биологии, экономике и других задачах, связанных с использованием теории массового обслуживания.

Случайный процесс называется марковским(или процессом без последействия), если он обладает следующимсвойством:

для любого момента времени вероятностные характеристики процесса зависят только от его состояния в моменти не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пусть имеется некоторая система S, дискретные состояния которой меняется во времени по некоторому вероятностному закону, т.е. в ней протекает случайный процесс.

В исследовании процессов и систем большое значение имеют марковские процессы двух типов:

- процессы с дискретными состояниями и дискретным временем;

- процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.

Случайный процесс называется процессом с дискретным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны только в заранее фиксированные моменты времени: ,, …. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переходы системы из состояния в состояние возможны в случайные моменты времениt.

2.4.2 Марковские процессы

с дискретными состояниями и дискретным временем

Пусть имеется система S, которая может находиться в дискретных состоянияхпричем переходы («перескоки») системы из состояния в состояние возможны только в моменты. Будем называть эти моменты «шагами» или «этапами» процесса и рассматривать случайный процесс, происходящий в системеS, как функцию целочисленного аргумента: 1, 2,…,k,… (номер шага).

Случайный процесс, происходящий в системе, состоит в том, что в последовательные моменты времени …, системаSоказывается в тех или других состояниях, ведя себя, например, следующим образом:

или

и т.д. (см. рисунок 2.7).

Рисунок 2.7 - Граф состояний системы

Такая случайная последовательность событий называется марковской цепью, если для каждого шага вероятность перехода из любого состоянияв любоене зависит от того, когда и как система пришла в состояние. Если вероятность перехода из состояниявобозначить через, то будем иметь матрицу переходов- см. ниже.

(2.14)

В рассматриваемом случае матрица имеет размерность 6×6. Некоторые из переходных вероятностей могут быть равны нулю; это означает, что за один шаг переход системы изi-го состояния вj-е невозможен. По главной диагонали матрицы стоят вероятноститого, что система не выйдет из состояния, а останется в нем. Очевидно, что; например.

Граф состояний системы, где размечены переходные вероятности называетсяразмеченным графом состояний.

Имея размеченный граф состояний или, что равносильно, матрицу переходных вероятностей и зная начальное состояние системы, можно найти вероятности состоянийпосле любого (k-го) шага.Для этого используются рекуррентные формулы (приводятся без доказательства):

, (2.15)

где n-число состояний системы;(0) – вероятность нахождения системы в состоянииjв начальный момент времени; при решении практических задач обычно считают, что(0) = 1,(0) = 0 приi ≠ 1.

Задача. По цели ведется стрельба тремя выстрелами. Возможные состояния цели (системыS):- цель невредима;- цель повреждена;- цель поражена. Размеченный граф состояний показан на рисунке 2.8. В начальный момент цель находилась в состоянии(не повреждена). Определить вероятности состояний цели после трех выстрелов.

Решение. Из графа состояний имеем:= 0,5;= 0,2 и= 1- (+) = 0,3.

Рисунок 2.8 - Размеченный граф состояний системы

Аналогично находим= 0;= 0,3;= 0,7;= 0;= 0;= 1. Таким образом, матрица переходных вероятностей имеет вид

Так как в начальный момент цель Sнаходится в состоянии, то. Вероятности состояний после первого шага (выстрела) берутся из первой строки матрицы:(1)= 0,3;(1)= 0,5;(1)= 0,2.

Вероятности состояний после второго шага:

(2) =(1)= 0,3·0,3 = 0,09;

(2) =(1)+(1)= 0,3·0,5 + 0,5·0,3 = 0,3;

(2) =(1)+(1)+(1)=

= 0,3·0,2 + 0,5·0,7 + 0,2·1 = 0,61.

Для третьего шага находим:

(3) =(2)= 0,09·0,3 = 0,027;

(3) =(2)+(2)= 0,09·0,5 + 0,3·0,3 = 0,135;

(3)=(2)+(2)+(2)=

= 0,09·0,2 +0,3·0,7+ 0,61·1= 0,838.

Для проверки решений на каждом шаге целесообразно проверять условие

Схему вычислений удобно выстроить в следующий алгоритм.

2-й шаг (k=2). Соответствующие вероятностиявляются произведениями строкинаi-ый столбец матрицы (2.20), т.е.

,

,

.

Получили новую строку .

3-й шаг. По той же схеме находим

,

.

Получаем строку и т.д.

Самостоятельная задача 1.Вычислить вероятности(4).

Самостоятельная задача 2.Постановка подобна предыдущей, однако состояния системы следующие:S₁-цель невредима,S₂-цель повреждена незначительно,S₃-цель существенно повреждена. Размеченный граф состояний имеет вид

Рисунок 2.9. Размноженный граф состояний

Определить, сколько выстрелов нужно сделать, чтобы поразить цель с вероятностью не менее 95%.

2.4.3 Марковские процессы

с дискретными состояниями и непрерывным временем

Теперь рассмотрим марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем.Это означает, что:

1) возможные состояния системы S₁, S₂,, S₃ ,...дискретны, т. е. их можно заранее перечислить;

2) переход из одного состояния в другое происходит “скачком”;

3) моменты переходов из состояния S_iвS_j случайны.

Тогда процесс, происходящий в системе, можно представить как последовательность (цепочку) событий (состояний), например S , S, S, S, S, S, где (0)-(5) - номера шагов по времени.

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями удобно пользоваться геометрической схемой - графом состояний, который изображает возможные состояния системы и ее возможные переходы из состояния в состояние. Для указанной последовательности соответствующий граф представлен на рисунке 2.9.

₁₄

₁₂

S₁ S₂S₃ S₄

 ₂₁₄₃

₃₁

Рисунок 2.9 –Граф состояний систем

При рассмотрении марковских процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем пользуются понятием потока случайных событий,т.е. последовательность однородных событий, следующих одно за другим в случайные моменты времени.

Поток называется простейшим,если ему присущитри свойства:

- стационарность (т. е. его вероятностные характеристики одинаковы на любых интервалах времени);

- отсутствие последействия(т. е. прошлое не связанно с будущим);

- ординарность(т. е. вероятность появления более чем одного события на элементарном отрезке времени пренебрежимо мала).

В теории вероятностей доказано, что если поток событий - “простейший”,то соответствующий случайный процесс перехода системы из одного состояния в другое -марковский.

Характеристикой потока событий является его интенсивность - величина, обратная среднему числу событий в единицу времени.

Доказано, что для простейшего потока событий интервал времени t между соседними событиями имеет показательное распределение

. (2.16)

Cредний интервал времени Т_омежду событиями равен1/.Следует отметить, что для малых интервалов времени(t0), вероятность того, что очередное событие произойдет на этом интервале для простейшего потока равнаt.

На графе состояний системы (рисунок 2.7) у каждой стрелки удобно поставить интенсивность потока событий (перехода), которая переводитсистему из одного состояния в другое. Обычно интенсивности перехода из состояния с меньшим номером в состояние большим номером обозначают(i<j), а интенсивности “возврата” системы в состояние с меньшим номером - через(i>j). Такой граф называетсяразмеченным графом состояний.

Имея размеченный граф, можно построить математическую модель процесса, т. е. найти все вероятности состояний как функции времени. Для этого составляются и решаютсяуравнения Колмогорова- специальные дифференциальные уравнения, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.

2.4.4 Уравнения Колмогорова

Рассмотрим систему S, имеющуюnвозможных состояний S₁, S₂, ..., S_n.Для любого момента времени, т. е. система находится в каком – либо изпсостояний. Покажем на примере графа (рисунок 2.9), как составляются уравнения Колмогорова дляп=4.

Пусть- вероятность того, что в момент времениtсистема будет находиться в состоянииS₁. Зададимся приращением времени t0и найдем.

Пребывание системы в момент ( t+t) в состоянииS₁возможно в двух случаях, если:

а) в момент t она ужебылав этом состоянии и за tне вышлаиз него;

б) в момент tсистемабыла в состоянии S₂илиS₃иза t перешлав состояниеS₁.

Вероятность варианта а) равна вероятности того, что в момент времени tсистема была в состоянииS₁(она равна), умноженной на вероятность того, что она не перешла в состояния S₂илиS₃. Она равна

.

Получаем

;

Вероятность варианта б), соответственно, равна

.

Складывая и, получаем

.

Перенося в левую часть уравнения, разделив его наtи устремивtк нулю, получим дифференциальное уравнение

.

Проводя аналогичные рассуждения для всех остальных состояний, получим еще три дифференциальных уравнения. Присоединяя к ним предыдущее уравнение, приходим к системе четырех дифференциальных уравнений для вероятности состояний, которая называется уравнениями Колмогорова:

(2.17)

Заметим, что любое уравнение в этой системе можно отбросить, заменив его на нормировочное: . Систему уравнений естественно решать при начальных условияхp₁(0)=1; p_i(0)=0; (i>1).

Обычно исследователей интересуют финальные вероятности состояний системы, т.е. среднее относительное время её пребывания в различных состояниях. Для решения этой задачи величиныпринимаются равными нулю (стационарный режим). Тогда система дифференциальных уравнений (2.17) сводится к системе алгебраических уравнений

Задавшись интенсивностями перехода из одного состояния в другое, например, получаем

Отсюда следует, что .

^{Этот результат является решением задачи о финальных вероятностях состояния рассматриваемой системой. К таким задачам, и им подобным, сводятся многие реальные задачи теории массового обслуживания.}

2.4.5 Модели и характеристики

систем массового обслуживания (СМО)

Как уже отмечалось, широкое применение марковские процессы получили при исследовании так называемых систем массового обслуживания. К ним относятся, например, университеты, бюро, комплексы магазинов, станции обслуживания и др.

Каждая система массового обслуживания(СМО) состоит из некоторого числа обслуживающих ее единиц (в магазине, например, продавцы), которые будем называтьканалами обслуживанияи объектов обслуживания, которые называютсязаявки(покупатели).

Системы массового обслуживания могут быть одноканальными и многоканальными, например, соответственно, ларек и магазин.

Всякая СМО предназначена для обслуживания потока заявок(или “требований”), поступающих в достаточно случайные моменты времени. Обслуживание заявки продолжается какое-то времяТ, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времени обслуживания приводит к тому, что в некоторые периоды на входе СМО скапливается излишнее число заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО не обслуженными); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.

На рисунке 2.10 представлена классификация основных систем массового обслуживания.

Рисунок 2.10 – Классификация основных систем

массового обслуживания

Дадим некоторые пояснения к рисунку.

Одноканальнойназывается СМО, в которой имеется одна обслуживающая единица. Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает систему(СМО с отказами)или “становится в очередь” –(СМО с ожиданием).

СМО с ожиданием делятся на две группы: с ограниченным ожиданием (по “длине” очереди или по времени ожидания) и с неограниченным ожиданием.

Многоканальными называются СМО, в которых одновременно может обслуживатьсяnзаявок.

Показатели (характеристики) СМО определяют качество работы обслуживающей системы. Среди них можно выделить следующие.

1. Коэффициент загрузки (отношение среднего времени обслуживания заявок к среднему времени между их поступлениями)К_з =. Это

вероятность того, что поступающие в систему требования не могут быть обслужены, т.е. все каналы заняты, Р_отк.Этот показатель характеризуетзагрузку системы: чем он больше, тем больше загрузка системы.

2. Гарантия обслуживания

G = Р_обсл=1-Р_отк.

3. Средняя длина очереди,п_оч.Это число требований, ждущих обслуживания.

4. Относительная (q) и абсолютная (А)пропускные способности системы

q=1-P_отк, А=q.

Первый из показателей характеризует относительное число обслуженных заявок, второй - их количество в единицу времени.

5. Среднее время ожидания в очереди. Если известна функция распределения вероятности времени ожидания начала обслуживанияF(t)=P(T_ож<t), то среднее время ожидания находится как математическое ожидание случайной величиныТ_ож.

6. Среднее число занятых каналов обслуживания N₃.Показатель, характеризующий избыточность или недостаточность численности персонала (приборов), обслуживающих заявки.

Возможно вычисление и экономических показателей эффективности СМО, например, убытков от простоев системы, ущерба от ожидания обслуживания и др.

2.4.6. Потоки случайных событий

Понятие потока случайных событий и основные свойства простейших потоков были введены в предыдущем подразделе при рассмотрении случайных процессов, протекающих в системах с дискретными состояниями и непрерывным временем. Примерами потоков могут быть:

- поток вызовов на телефонной станции;

- поток включений приборов в бытовой электросети;

- поток грузовых составов, поступающих на станцию.

Функция распределения времени между событиями в простейшем потоке имеет вид

.

Соответствующий закон распределения называется показательным.

Поток событий называется потоком Пальма(или потоком с ограниченным последействием), если промежутки времени между последовательными событиями: представляют собой независимые, одинаково распределенные случайные величины.

Простейший поток есть частный случай потока Пальма: в нем расстояния представляют собой случайные величины, распределенные по одному и тому же показательному закону; их независимость следует из того, что простейший поток есть поток без последействия, и расстояние по времени между любыми двумя событиями не зависит от того, каковы расстояния между другими.

Степень приближенности потока Пальма к простейшему потоку, что необходимо для оценки возможности его аналитического описания, возможна из следующих соображений.

В ТМО ведено понятие потоков Эрланга,которые образуются в результате «просеивания» простейших потоков. Суть просеивания в следующем. На осиOtрассматривается простейший поток. В нем сохраняются

- или каждая вторая точка;

- или каждая третья;

……………

- или каждая k-я.

Такие потоки называются потоками Эрланга второго, третьего, ..., k-го порядка.Установлено, что для потока Эрланга первого порядка (простейший поток) , второго –k= 2 и т.д., при поток Эрланга превращается в детерминированный поток с постоянным интервалом между событиями.

Поток Пальма с некоторыми приближениями можно заменять потоком Эрланга. С этой целью для потока Пальма вычисляется значение , которое сравнивается с ближайшим порядком соответствующего потока Эрланга и им заменяется. При этом плотность распределения интервалаtдля потокаk-го порядка рассчитывается по формуле

.

Потоки Эрланга удобны для приближенного представления потоков Пальма любого вида, так как потоки Эрланга различных порядков образуют целую гамму, дающую постепенный переход от простейшего потока (полное отсутствие последействия) к потоку с постоянными интервалами (жесткое последействие).

Самостоятельная задача.В результате обработки статистических данных по интервалам между событиями полученоM(T)= 2 мин,= 1 мин. Подобрать порядок соответствующего потока Эрланга. Определить плотность распределенияt, построить график.

2.4.7 Задача Эрланга

Для иллюстрации особенностей построения математических моделей работы СМО рассмотрим классическую задачу Эрланга,которая возникла в позапрошлом веке в США из практических нужд телефонизации крупных городов страны.

Имеется n каналов (линии связи), на которые поступает поток заявок с интенсивностью .(среднее время между заявками 1/.). Поток обслуживания имеет интенсивность .(среднее время разговора 1/.). Требуется найти финальные вероятности состояний СМО и характеристики ее эффективности:

– А - пропускную способность, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

– G - гарантию обслуживания, т.е. среднюю долю обслуженных заявок (или вероятность обслуживания,Р_обсл.).

Решение.Состояния системы S будем нумеровать по числу заявок (или занятых каналов) в СМО:

Sо - в СМО нет ни одной заявки;

S₁ - в СМО имеется одна заявка (занят один канал);

S_i - заняты i каналов;

...........

S_n- все nканалов СМО заняты.

Граф состояний СМО представлен на рисунке 2.11. Здесь iconst; _ii ₁; ₂ и т.д.).

₁₂_n

S₀ S₁ S₂ S_n-1S_n

₁ ₂ _n

Рисунок 2.11– Граф состояний для задач Эрланга

Особенность построенного графа состоит в том, что все состояния системы вытянуты в цепочку и возможен переход (туда и обратно) только для соседних состояний, а для крайних состояний S₀, S_n- только в одно соседнее состояние. Пользуясь графом, можно составить и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностейр₀, р₁, . . . , р_n . Не приводя громоздких выкладок, запишем конечные результаты расчета параметров системы:

(2.18)

.

Члены разложения / , ²/2², ... , ⁿ/n!ⁿбудут представлять собой коэффициенты прир₀в выражениях для р₁,р₂,..., р_n.. Таким образом получаем следующие формулы для их расчета

Обозначим .Величина называется коэффициентом загрузки системы(отношение среднего времени обслуживания заявки к среднему времени между их поступлениями).

Тогда можно записать

(2.19)

Это формула Эрланга- датского ученого, основателя теории массового обслуживания.

Вычислим теперь характеристики системы массового обслуживания. Сначала найдем вспомогательную величинуР_ОТК - вероятность отказа в обслуживании. Для этого нужно, чтобы все n каналов были заняты, т.е.

. (2.20)

Находим гарантию обслуживания

. (2.21)

Пропускную способность СМО получим, умножая интенсивность потока заявок на гарантию обслуживания

(2.22)

2.4.8 Многоканальные СМО с ожиданием

Широко используемой в практике многоканальных систем массового обслуживания является n-канальная СМО с ожиданием.

Рассмотрим пример.Служба занятости населения имеет в штатеnработников (каналов) по обслуживанию. Средняя продолжительность обслуживания клиента равнаt_об=1/m час, (т.е. интенсивность обслуживания равнаm). В течение часа в службу обращается в среднем 1/l чел (заявок). Если все каналы обслуживания заняты, клиент становится в очередь и обслуживается по освобождении любого из каналов. Необходимо определить следующие характеристики СМО:

– среднее число занятых каналов обслуживания, N₃;

– среднюю длину очереди, N_ож;

– среднее время ожидания в очереди, Т_ож.

Решение. Состояние СМО будем нумеровать по числу заявок, связанных с системой:

S₀- все каналы свободны,

S₁- занят один канал,

. . . . . . . . . . .,

S_n- заняты все nканалов,

S_n+1- заняты все каналы и одна заявка находится в очереди,

. . . . . . . . . . . . ,

S_n+m- заняты все каналы и в очереди находитсяmзаявок.

^{Граф состояний СМО приведен на рисунке 2.12. У каждой стрелки проставлены интенсивности потока событий: по стрелкам слева направо поток заявок с интенсивностью l; справа налево - поток обслуживаний интенсивностью m, помноженной на число занятых каналов. Граф иллюстрирует случай, когда в очереди находится одна заявка (состояние Sn+1). При наличии m заявок в очереди интенсивности переходов Sn+i→ Sn+i+1одинаковы и равны l,интенсивности возвращения Sn+i→ Sn+i– 1одинаковы и равны пm .}

l l l l

S₀ S₁ . . . S_k . . . S_n S_n+1

m k m nm nm

Рисунок 2.12 – Граф состояний для схемы «гибели и размножения»

^{Граф представляет собой известную в теории массового обслуживания схему «гибели и размножения», для которой решение (т.е. предельные (финальные) вероятности состояний) имеет вид, представленный формулами}

Величина называется коэффициентом загрузки системы,

Среднее число занятых каналов, N₃=n r. Средняя длина очередиN_ожопределяется как математическое ожидание, т.е.N_ож=1р_n+1+2p_n+2+ . . . +mp_n+m , (m®¥). После соответствующих вычислений получаем

N_ож. (2.23)

Среднее время ожидания в очереди можно получить, разделив N_ож на l (формула Литтла)

Т_ож= N_ож / l.. (2.24)

Кроме полученных характеристик (показателей) многоканальных СМО с ожиданием можно найти и другие, например:

– вероятность отказа в обслуживании, Р_отк;

– гарантию обслуживания (без простоя в очереди), G=(1-Р_отк);

– абсолютную пропускную способность СМО, А=l G.

Для их вычисления используют аналоги формул (2.20) и (2.21):

, .

2.4.9. Численные примеры

Приведем численные примеры решения задач одноканальных и многоканальных систем массового обслуживания.

Задача 1.На бензозаправочную станцию, имеющую одну бензоколонку с шлангом под бензин АИ-92, в среднем через 6 мин. подъезжают автомобили. Поток заявок – экспоненциальный. Если заправка занята, водители становятся в очередь. Среднее время обслуживания – 4 мин, закон распределения времени обслуживания – экспоненциальный. Требуется определить:

- коэффициент загрузки системы ρ

- среднюю длину очереди N_ож;

- среднее время ожидания в очереди Т_ож..

Решение.Обозначим= 1/6 мин^-1, μ= 1/4 мин^-1. Это одноканальная СМО с ожиданием.

Имеем ρ=  2/3; р₀ = 1/3;N_ож =4/3; Т_ож= 8мин..

Самостоятельная задача. Проверить результаты решения.

Задача 2.Формируется служба занятости населения. Необходимо определить минимальную численность ее штата, допускаюшую наличие не более 2-х клиентов в очереди;

О порядке обслуживания посетителей известно, что в течение часа в службу будут обращается примерно 6 человек со средней продолжительностью консультации клиента 15 мин.

Решение.Обозначим= 6 час^-1, μ= 4 час^-1. Это многоканальная СМО с ожиданием. Решать ее будем методом логического подбора. Сначала предположим, что в штате службы занято, например,n=3работника по обслуживанию.

Имеем  = 2. Далее получаемр₀ = 0,235; N_ож =0,26.

Если принять n=2работника по обслуживанию, получимр₀ = 0,21; N_ож =2,8.Такой вариант не проходит. Итак,n=3работника.

2.4.10 Основы имитационного моделирования

Идея метода

До сих пор рассматривались аналитические методы реализации математических моделей ТМО. Для их использования необходимо, чтобы случайные процессы были марковскими, т.е. поток событий – простейшим. Для произвольного потока событий аналитическое решение получается редко. Здесь используется другой метод – имитационное моделирование.

Имитационное моделирование осуществляется прямым использованием методов теории случайных процессов и математического моделирования. Имитация, в данном случае, (по РЭС – imitatio(лат) – изображение чего–либо, воспроизведение). Т.е. – это воспроизведение поведения вероятностных процессов и систем путем последовательного математического моделирования их состояний.

Идея методазаключается в том, что вместо аналитического описания случайных процессов проводится их “розыгрыш” (статистические испытания), в результате которых получаются отдельные реализации случайного процесса. Производя такие розыгрыши большое число раз, получают статистический материал (множество результатов реализации случайного процесса), которые затем обрабатываются методами математической статистики. Это дает возможность количественно оценивать «поведение» систем за длительный период времени.

В отличие от аналитических, метод имитационного моделирования является особым численным методом, который позволяет решать задачи, не сформулированные в виде уравнений или формул. При этом результат получается не в виде аналитических формул, а в виде числовых характеристик случайных процессов.

Процесс моделирования обычно делят на 6 этапов (рисунок 2.13). На первом этапе выясняется, какую базу (закономерности, связи) мы должны ввести в модель, для того, чтобы в дальнейшем получить достоверные результаты моделирования.

Важнейшим этапом моделирования является разработка математической модели процесса ( этап 2 ).

На основе модели, отражающей закономерности поведения процесса во времени, составляют алгоритм моделирования на ЭВМ, причем структура алгоритма зависит от того, какие характеристики систем исследуются ( этап 3 ).

Применяя алгоритм многократно (этап 4 ), получают множество реализаций процесса, усредненная совокупность которых затем анализируется экспертами, т. е. качественно ( этап 5 ).

Последний этап моделирования нацелен на обеспечение адекватности количественных результатов моделирования статистическим требованиям достоверности ( этап 6 ).

Определение функциональных связей объектов модели

Разработка математической модели процесса

Построение моделирующего

алгоритма

Имитационное моделирование

Экспертная проверка результатов моделирования

Анализ результатов моделирования и оценка достоверности

Рисунок 2.13 - Этапы имитационного моделирования

Формирование стандартно распределенных

случайных величин

Одним из основных элементов математических моделей при имитационном моделировании является блок «моделирование дискретных случайных процессов», реализация которого требует формирование случайных величин подчиняющихся различным законам распределения. Для этого среди стандартных программ математического обеспечения компьютеров имеется базовая программа ­- генератор формирования случайных чисел, равномерного распределенных на интервале (0;1).

В теории вероятностей доказана теорема о том ,что значения случайных величин y = F(x), гдеF(x)– любая функции их распределения, являются равномерно распределенными на интервале (0;1). Таким образом, решив уравнение

F ^{- 1} (y) = x , (2.25)

где F ^{- 1} -функция, обратная кF(x), можно получить случайные величины х, подчиняющиеся заданному закону распределенияF(x).

Например, пусть необходимо сформировать случайные числа х, которые имеют экспоненциальное распределение, описываемое функцией. Обратная функция будет иметь вид

, (2.26)

где yимеет равномерное распределение на отрезке (0;1).

Тогда, полученные генератором значения yпреобразуются по формуле (2.26) в случайные значениях, тем самым поставленная задача решается.

Если необходимо сформировать случайные числа, равномерно распределенные на интервале (a;b),поступают следующим образом. Формируют значенияy, а затем используют преобразование

x = a+(b-a)y.(2.27)

Если для закона распределения случайной величины xобратная задача (4.1) не решается аналитически, то для формирования величинxиспользуют один из следующих методов:

- компьютерное представление функции y = F(x)с последующим определением зависимостиx = F ^{- 1} (y);

- аппроксимацию эмпирических распределений.

Аппроксимация эмпирических распределений

При формировании случайных чисел, реальные законы распределения которых заданы на основе предварительных статистических данных, входящих в имитационную модель, как правило, F(x) имеет:

- ограниченную область определения - некоторый интервал (a;b);

- плотность ее распределения имеет максимум, т. е. она описывается S–образной кривой;

- значения F(а) =0, F(в) = 1.

В таких случаях процесс формирования случайных величин можно упростить, найдя аппроксимации функций распределений, удобные для решения задачи (2.25) .

Преобразованием координаты x к новой нормированной координатеэта функция сводится к функцииG (z),похожей на усеченный нормальный или логарифмически нормальный законы распределения с ограничениямиF (0)= 0, F(1)= 1.

Аппроксимация плотности распределения зависит от предварительной информации об этой функции – таблица 2.8. Плотности распределения представлены на рисунке 2.14.

Таблица 2.8 - Статистическая информация о плотности распределения

Информация о плотности распределения	Аппроксимация плотности распределения
Распределена на отрезке [a,b], симметрична и имеет максимум	Симметричное треугольное (близкое к усеченному нормальному)
Распределена на отрезке [a,b], имеет максимум и несимметрична	Несимметричное треугольное (близкое к усеченному логарифмически нормальному)

Рисунок 2.14 – Приведенные плотности распределения f(t)

Функции распределения F(z)имеют вид

Отсюда находим обратные функции x=F ^-1(y):

(2.28)

Здесь уимеет равномерное распределение на интервале [0,1].

Контрольные вопросы и задачи

1. Построить нормированную корреляционную функцию непрерывного нормального стационарного случайного процесса, которая имеет вид где параметры α и β равны, соответственно, по вариантам:

а) α=0,45 1/сут; β=1,2 1/сут; =3,26 и σ_х=0,4.

б) α=0,5 1/сут; β=1,5 1/сут; =3,2 и σ_х=0,45.

в) α=0,6 1/сут; β=1,7 1/сут; =3,0 и σ_х=0,35.

2. Найти интенсивность выбросов непрерывного нормального стационарного случайного процесса за уровень а=+ 1,5σ_х и среднюю продолжительность выбросов (по вариантам - см. предыдущую задачу).

3. Алгоритм построения корреляционную функцию нормального стационарного случайного процесса по статистическим данным.

4. Привести формулы и рассчитать параметры α и ß корреляционной функции задачи 1 по статистическим данным ее построения.

5.Параметры временного ряда. Протокол наблюдений

6.Выделение стационарной составляющей периодического временного ряда

7. Что такое цепь Маркова? Пример.

8. Определение простейшего потока событий.

9. Потоки Пальма

10. Потоки Эрланга

11. Модели и характеристики СМО

12. Показатели эффективности СМО

13.Что такое размеченный граф состояний системы?

14. Сущность уравнений Колмогорова.

15. Финальные вероятности состояния системы.

16. Процесс гибели и размножения

17. Задача Эрланга

18. Многоканальные СМО с ожиданием

19. Решить задачу Эрланга, т.е. найти гарантию обслуживания и пропускную способность СМО для n=2 и значениях(; ), 1/ч по вариантам:

а) =1,5, =1,0; б) =4, =3;в)=0,4, =0,2; г)=7, =8.

20. Имеется трехканальная СМО с ожиданием. Интенсивность потока заявок равна ,интенсивность обслуживания  .Определить следующие показатели СМО:

– коэффициент загрузки системы;

– вероятность того, что все каналы в системе свободны.

вероятность того, что все каналы заняты;

– среднюю длину очереди;

- среднее время ожидания в очереди.

Таблица – Варианты значений параметров

Параметры	Варианты
	А	Б	В	Г
	0.5	0.7	0.8	1
	1	1	2	2

21.Идея метода имитационного моделирования

22. .Формирование случайных величин при имитационном моделировании

23. Формирование стандартно распределенных

случайных величин

24. Аппроксимация эмпирических распределений