1.3 Формула полной вероятности, формула Байеса

Пусть событие А(например, выбор туза из колоды в 36 карт) может произойти только при реализации одного из событий (Для рассматриваемого примераn=4). Вероятности событий (гипотез)H_i считаются известными. Для рассматриваемого примераP(H_i) = 1/36. Тогда можно записать

где каждое из слагаемых определяет вероятность события А при реализации гипотезыН_i (эти события несовместны). Поскольку для рассматриваемого примераP(A / H_i) = 1/36, получаемP(A) = 1/9. Результат очевиден: в колоде из 36 карт – четыре туза.

В общем случае будем считать, что P (H_i)Р(H_j) иP(A / H_i) P(A / H_j). Тогда получаем

. (1.4)

Эта формула называется формулой полной вероятности. Она играет существенную роль в теории вероятностей.

Задача 1. Из 30 экзаменационных билетов 6 –легкие, 10 – средней сложности, 14 – сложные. Если студенту попадется легкий билет, он сдаст экзамен с вероятностью 0,9, если средней сложности - с вероятностью 0,8, если сложный, то с вероятностью 0,7. Какова вероятность P(A) того, что на экзамене студент получит положительную оценку?

Решение. Рассмотрим три гипотезы: : пустьН₁– гипотеза о том, что студенту попадется легкий билет,Н₂– попадется билет средней сложности, Н₃ – сложный билет. Имеем

Условная вероятность Р(А / Н ₁) равна 0,9. Аналогично получаемР(А / Н₂) =·0,8;Р(А / Н₃) = 0,7. По формуле (12.4) рассчитаем полную вероятность событияА. Она равна

Задача 2. Три студента выучили к экзамену 60, 70 и 80% билетов, соответственно. Какова вероятность P(A) того, что двое из них экзамен сдадут?

Решение. Рассмотрим три гипотезы: : пустьН₁– гипотеза о том, что первый студент не сдал экзамен, а остальные двое – сдали,Н₂– не сдал экзамен второй студент иН₃ – третий студент не сдал экзамен, а остальные – сдали. Имеем

Условная вероятность Р(А / Н ₁) – это вероятность того, что второй и третий студенты экзамены сдали:Р(А / Н₁) = 0,7·0,8. Аналогично получаемР(А / Н₂) = 0,6·0,8;Р(А / Н₃) = 0,6·0,7. По формуле (1.4) рассчитаем полную вероятность событияА. Она равна

Самостоятельная задача.Для контроля продукции из трех одинаковых партий наугад выбрана одна деталь. Известно, что в одной партии четверть деталей – бракованные, во второй – 10%, в третьей – все доброкачественные. Какова вероятность того, что выбрана бракованная деталь?

Формула (1.4) позволяет применить ее для решения более сложных обратных задач.

Предположим, что событие А произошло, т.е получена дополнительная информация о его реализации. Спрашивается, как “изменятся” или скорректируются вероятности гипотез, т.е. условные вероятностиP(H_i /A) на основе дополнительной информации.

Для ответа на этот вопрос используются теорема и формула Байеса.Они важны при статистическом оценивании правильности принятых гипотез.

Формула Байесаимеет вид:

(1.5)

Вероятности P(H₁),...,P(H_n) обычно называютаприорными(полученными “до опыта”), а условные вероятностиP(H₁/A), P(H₂ /A),..., P(H_n/A) –апостериорными (т.е. полученными “после опыта”).

Решим задачу 3. Условия ее те же, что и у задачи 2, однако известно, что экзамен не сдал третий студент. Требуется установить, сколько, на самом деле, он выучил билетов или ему крупно не повезло. Т.е. нужно найти апостериорную вероятностьP(H₃ /A).

Решение.Подставим в формулу (1.5) значенияР(Н₃)=0,2; Р(А/Н₃) = 0,42; P(A) = 0,45. ПолучаемP(H₃ /A) = 0,187.

Самостоятельные задачи. Для условий задачи 2 найти

а) вероятность того, что двое из студентов экзамен не сдадут.

б) вероятность того, что экзамен не сдадут первый и второй студенты.