1. Элементы теории вероятностей

1.1. Общие понятия

События в материальном мире можно разделить на три группы – достоверные, невозможные и случайные (возможные).Например, если подбросить игральную кость, то достоверно, что число выпавших очков будет натуральным числом. Невозможно, чтобы это число равнялось 7, и возможно, что оно равно 1,2,3,4,5 или 6. Или, например, авиационная катастрофа не является достоверным или невозможным событием, а будет событием случайным.

Раздел математики, изучающий закономерности случайных событий, называют теорией вероятностей. Эта теория имеет дело не с отдельными событиями, а с результатами проведения достаточно большого числа испытаний или наблюдений, т.е. с закономерностями массовых случайных явлений. Если перейти на язык математики, товероятность – это числовая характеристика возможности появления определенного события в многократно повторяющихся испытаниях.

1. Случайные события.Дадим ряд определений для событий, придерживаясь терминологии и обозначений, принятых в теории вероятностей. События здесь принято обозначать буквамиА,В, С,….

Два события А иВ называютсянесовместными, если они не могут произойти одновременно. Если событияА иВ могут произойти одновременно, они называютсясовместными.

2. Вероятность случайного события. Рассмотрим случайный эксперимент, который может завершиться одним изnвозможных событий, причем нет оснований считать одно событие вероятнее другого, такие события называютсяравновероятными. В простейшем примере о бросании игральной кости возможности выпадения каждой из шести граней (n=6) равновероятны.

Пусть ровно mиз этих событий приводят к наступлению событияA. Будем называть такие событияблагоприятнымидля событияA. В примере о бросании игральной кости для событияA– выпадение нечетного числа, благоприятных событий три: выпадение грани, содержащей одно очко, грани с тремя очками и грани с пятью очками (m=3).

Эти понятия позволяют дать классическое определение вероятности случайного события.

Определение.Пусть множество (пространство) исходов опыта состоит изnнезависимых равновероятных событий. Еслиmиз них благоприятствуют событиюА, товероятностью события А называется число

р(А) = m / n.(1.1)

В предыдущем примере вероятность события А, соответствующего выпадению, например, числа 4, равна 1/6, поскольку множество исходовnравно 6, а число исходовm, благоприятствующих событиюА, равно 1.

Одно из важных следствий формулы (1.1) в том, что вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события – 0.

Задача 1.Подбросим две монеты. Какова вероятность того, что выпадут два герба (событиеА)?

Решение.Определим вначале полное множество возможных исходов случайных событийn; их 4: 1) решка – решка, 2) решка – герб, 3) герб – решка, 4) герб – герб. Все события равновероятны. СобытиюАблагоприятствует один исход. Получаемр(А)=1/4.

Задача 2.Бросили две игральных кости. Что вероятнее: получить в сумме 7 очков (событиеА) или 8 (событиеВ)?

Решение. Пространство исходов состоит из 6´6 = 36 исходов – т. к. каждая кость по своему номеру выпадает произвольно. Суммы 7 или 8 формируются следующими исходами:

а) 7: 1+6 4+3		б) 8: 2+6 5+3
2+5 5+2		3+5 6+2
3+4 6+1		4+4

Получаем р(А) = 6/36;р(В) = 5/36. Следовательно, событиеАвероятнее событияВ.

Самостоятельная задача. Сравнить для условий задачи 2, что вероятнее: получить в сумме 5 очков или 9? Построить зависимостьр(m).