Федеральное агентство по образованию

государственного образовательного учреждения

высшего профессионального образования

«Томский политехнический университет»

Новокузнецкий филиал

С.П. Казаков

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ,

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Учебное пособие по математике

Новокузнецк 2010

УДК 519

Рецензенты

Докт.техн. наук, проф. ИПМ СО РАН С.М. Аульченко,

докт. техн. наук, проф,. В.И. Базайкин, кафедра математики СибГИУ

Казаков С.П. Теория вероятностей, случайные процессы и математическая статистика: Учебное пособие. НФ ТПУ ГОУ ВПО «ТПУ». – Новокузнецк, 2010 – 109с.

В учебном пособии изложение ведётся в соответствии с положениями Государственных образовательных стандартов (ГОС) по теории вероятностей и случайным процессам, имитационному моделированию, математической статистике, статистическим методам обработки экспериментальных данных (три раздела).

Каждый из разделов снабжен контрольными вопросами и задачами; в конце разделов предлагаются самостоятельные работы.

Пособие предназначено для студентов первого и второго курсов обучения по различным специальностям в НФ ТПУ.

© Новокузнецкий филиал ТПУ

Томский политехнический университет» , 2010

© Казаков С.П., 2010

Содержание

1 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ5

1.1 Общие понятия 5

1.2 Сумма и произведение случайных событий,

условные вероятности 6

1.3 Формула полной вероятности, формула Байеса 9

1.4 Схема Бернулли 11

1.5 Дискретные случайные величины 15

1.6 Непрерывные случайные величины 17

1.6.1 Основные свойства и характеристики 17

1.6.2 Числовые характеристики непрерывных

случайных величин 18

1.6.3 Основные законы распределения 19

1.1.7 Нормальное распределение 21

1.8 Основы теории надежности 22

1.8.1 Функция надежности .24

1.8.2 Надежность элементов … 26

1.8.3 Надежность системы … .28

Контрольные вопросы и задачи 30

2 СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ32

2.1 Виды и основные характеристики случайных процессов 32

2.2 Непрерывный нормальный стационарный

случайный процесс 33

2.2.1 Общие понятия 33

2.2.2 Нормированная корреляционная функция 34

2.2.3 Выбросы случайных процессов 36

2.2.4 Построение корреляционных функций

случайных процессов......................................................................38

2.3 Нестационарные случайные процессы (временные ряды) ..42

2.3.1 Понятие временного ряда 42

2.3.2 Определение параметров временного ряда 43

2.4 Марковские случайные процессы 47

2.4.1 Основные понятия................................................................. 47

2.4.2 Марковские процессы с дискретным состоянием и дискретным временем..................... .47

2.4.3 Марковские процессы

с дискретным состоянием и непрерывным временем.................52

2.4.4 Уравнения Колмогорова........................................................53

2.4.5 Модели и характеристики

систем массового обслуживания (СМО) 55

2.4.6 Потоки случайных событий..................................................57

2.4.7 Задача Эрланга 59

2.4.8 Многоканальные СМО с ожиданием 61

2.4.9 Численный пример.................................................................63

2.4.10 Основы имитационного моделирования 64

Контрольные вопросы и задачи .68

3 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА71

3.1.Понятия и задачи математической статистики 71

3.2 Выборочный метод 71

3.3 Точечные оценки параметров распределений 75

3.4 Доверительные интервалы 75

3.5 Отсев грубых ошибок и определение

минимально необходимого количества наблюдений 77

3.6 Проверка статистических гипотез 78

3.6.1 Общие понятия 78

3.6.2 Критерий Пирсона 80

3.6.3 Критерий Стьюдента 83

3.6.4 Критерий Фишера (дисперсионный анализ)……………84 Контрольные вопросы и задачи ……………………………. 85

4 СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ И СВЯЗИ88

4.1 Подбор эмпирических формул (парная корреляция) 88

4.2 Практическая задача: проверка легитимности выборов 95

4.3 Множественная корреляция 99

4.4 Задачи классификации 103

Контрольные вопросы и задачи 106

БИБЛИОГРАФИЯ109