4.3 Множественная корреляция

Под множественной корреляцией понимается установление статистической связи между функцией zи вероятностными переменнымиx, y, tи др., т. е. связи вида

Если диапазон изменения значений аргументов невелик, то в практике пользуются линейным уравнением множественной корреляции (регрессии)

. (4.8)

Если исследователь имеет основание считать, что связь функции с каким-либо аргументом нелинейная, то в зависимость (14.8) включают дополнительные члены вида и т.д.

Для определения параметров используется упрощенный графоаналитический метод, базирующийся на последовательном определении статистических связейи т.д.

Алгоритм определения параметров множественной линейной корреляции представлен ниже. Его удобнее всего продемонстрировать на примере.

Пример.Пусть требуется определить статистическую зависимость, где значения случайных величинзаданы таблицей 14.8.

Таблица 4.8 – Значения параметров

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	0.8	1,2	1,3	1,5	1,9	2	2,2	2,5	3	3,4
yi	0,1	0,7	0,4	1,2	2	1,6	2	0,5	1,7	1,8
zi	2,4	3	3,5	2,5	3	3,2	3,6	5,4	5,1	5,9

Зависимость будем искать в виде

. (4.9)

Алгоритм определения коэффициентов состоит в следующем.

1. Определяются средние значения . Они равны, соответственно,.

2. Переменные x, y, zцентрируются, т.е. осуществляется переход к новым переменным, имеющим нулевые средние значения. Для этого зависимость (14.9) представляется в виде системы уравнений

Отсюда следует, что

. (4.10)

α

3. Переходим к новым переменным (смотри подстрочные буквы в формуле (4.10.)) и строим новую таблицу значенийдля того, чтобы найти частную зависимость.

Таблица 4.9 – Значения параметров

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
αi	-1,2	-0,8	-0,7	-0,5	-0,1	0	0,2	0,5	1	1,4
γi	-1,4	-0,8	-0,3	-1,3	-0,8	-0,6	-0,2	1,6	1,3	2,1

Зависимость будет центрирована, т.к. коэффициент– исключен, а средние значенияaиb равны нулю. Получаем следующую совокупность точек на графике– рисунок 4.8.

4. Строим «облако рассеивания» параметров и прямую, проходящую через начало координат. Графически определяем параметрв зависимости (4.10). Он равен– рисунок 4.8.

5. Теперь коэффициент известен, поэтому построим следующую зависимость преобразованной функцииz для второй переменной:

,

т.е. зависимость – см. нижние символы в предыдущей формуле. Исходные данные для ее построения приведены в таблице 4.10.

Таблица 4.10 – Значения параметров

I	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
βi	-1,1	-0,5	-0,8	0	0,8	0,4	0,8	-0,7	0,5	0,6
di	0,6	0,53	0,86	-0,47	-0,63	-0,61	-0,53	0,77	-0,37	-0,23

В результате обработки данных, получаем следующую совокупность точек и «облако рассеяния» (рисунок 14.9).

Рисунок 4.8 – Зависимость

Рисунок 4.9 – Зависимость

Расчетами, аналогичными предыдущим, находим . Таким образом, предварительно получаем. Для определения коэффициентавычислим

.

Здесь под знаком суммы находятся значения а_0i,(см. таблицу).

Таблица 4.11 – Значения

I	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a0i	1,16	1,59	1,66	1,02	1,54	1,29	1,8	1,83	1,55	1,75

Получаем . Итак, приближенно

. (4.11)

Для множественной корреляции могут быть рассчитаны частные иобщийr₀ коэффициенты корреляции, характеризующие тесноту связи функцииzс отдельными аргументами и с их совокупностью. Значения частных коэффициентов корреляции (близость их по абсолютной величине к единице) говорит о возможности выявления парной корреляционной зависимости между функцией и одним из аргументов. Расчет их осуществляется по формулам, подобным (4.3). Например,

,

где – средние значения соответствующих величин;

–среднее значение произведений ;

–среднеквадратичные отклонения соответствующих величин от среднего значения.

Формула для расчета общего коэффициента множественной корреляции r₀ имеет вид

, (4.12)

где r_xy – условный коэффициент корреляции между аргументамих, у:

Определим частные и общий коэффициенты корреляции установленной зависимости (4.11). Для этого используем значения и вычислим ,, , .По формулам, аналогичным (4.3) и далее, получаем;;;

Далее находим

, ,.

Таким образом, корреляционная связь между функцией z и аргументамиx,yсуществует, однако, парной корреляционной зависимости между функцией и одним из аргументов не прослеживается. К учету нужно принимать обе переменных.

Общий коэффициент корреляции равен

.

Значит, имеется средняя статистическая связь между переменными в зависимости .

Самостоятельная задача. Для исходных данных (таблица 4.12) найти множественную корреляционную зависимость вида (4.9) и вычислить общий коэффициент корреляции.

Таблица 4.12 – Значения параметров

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	0,4	3,5	2,4	0,8	1,0	5,0	3,1	2,5	1,5	0,2
yi	2,4	3,8	1,2	1,1	0,6	4,2	3,1	1,8	2,0	2,8
zi	5,1	4,3	0,7	1,7	1,0	3,6	3,5	1,8	1,2	6,2