1.2. Сумма и произведение случайных событий,

условные вероятности

Суммойдвух событийАиВназывается событиеС, состоящее в появлении хотя бы одного из событийАилиВ.

Произведениемдвух событийАиВназывается событиеС, состоящее в появлении обоих событийАиВодновременно.

При использовании этих понятий полезна их наглядная геометрическая интерпретация. Пусть имеется два множества событий: события А и событияВ. На рис. 1.1а) иллюстрировано понятие суммы двух событийA+B, т.е. появления хотя бы одного из них, на рис. 1.1,б)-понятие произведения событийAB,т.е. появления их одновременно.

Если известны вероятности событий АиВ, то вероятность их суммы или произведения можно определить, используя формулы

Р(А+В) =Р(А) +Р(В) –Р(АВ),

(1.2)

.

Вторая из формул (1.2) справедлива, только когда событие Bявляетсянезависимым от события A, т.е. вероятность его появления не зависит от того, произошло событие Вили нет.

Их справедливость иллюстрируется рисунком 1.1.

а) б)

Рисунок 1.1 – Иллюстрация суммы (а) и произведения (б) событий

Самостоятельная задача . Для независимых событийА, В, Собосновать формулу

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)–(Р(АВ)+Р(АС)+Р(ВС))+2Р(АВС).

Событие Аназываетсязависимым от В, если вероятность событияАменяется в зависимости от того, произошло событиеВили нет.

Пример. Пусть событиеА– нарушение правил дорожного движения на некотором участке дороги. СобытиеВ– размещение на этом участке поста ГИБДД. Вероятность событияАзависит от того, имеет ли место событиеВили нет. Очевидно, чтоР(А) при условии, что событиеВпроизошло, меньше, чем когда событиеВотсутствует.

Таким образом, мы приходим к понятию условной вероятности событияАпри условии, что имело место событиеВ(обозначаетсяР(А/В). Условие независимости событий записывается какР(А/В) =Р(А),

а условие зависимости – в виде Р(А/В)Р(А).

Вероятность появления одновременно двух зависимых событий AиB, т.е. произведения событийАВравна произведению вероятностей одного из них (АилиВ) на условную вероятность другого, при условии, что оно произошло

. (1.3)

Задача 2. Из колоды в 36 карт наугад выбирают 2 карты. Какова вероятность того, что будут выбраны 2 туза? Зависит ли эта вероятность от варианта выбора: а) первая выбранная карта возвращается в колоду; б) – не возвращается?

Решение.ОбозначимА– событие, состоящее в том, что первая из выбранных карт – туз,В– второй выбранный туз. ТогдаАВ– событие, состоящее в выборе двух тузов из полной или неполной колоды карт.

При варианте а) события АиВ независимы и их вероятности будут равныР(А)=Р(В)=1/9 (в колоде из 36 карт – четыре туза). ПолучаемР_а(АВ)=Р(А)Р(В)=1/81.

При варианте б) события АиВ зависимы, т.к. после реализации событияАв колоде остается три туза и вероятность событияВ\Аизменяется. ПолучаемР(В/А)=3/35. Тогда Р_б(АВ)=Р(А)Р(В/А)=1/105. ЗначитР_а(АВ)>Р_б(АВ).

Самостоятельная задача .Найти вероятность того, что среди двух вынутых картa) будет только один туз; б) будет хотя бы один туз; в) не будет ни одного туза.

Задача 3.Из одиннадцати карточек с буквами, составляющими словоСЛЕДОВАТЕЛЬ, наугад, по очереди, выбираются четыре буквы. Определить:

а) вероятность того, что сразу получится слово ДЕЛО;

б) вероятность того, что получится набор букв, из которых можно составить словоДЕЛО.

Решение.

Вариант а). Первой буквой слова ДЕЛО является буква Д. В словеСЛЕДОВАТЕЛЬимеется одна буква Д. Вероятность выбрать её наугад равнаP_Д = 1/11. В оставшихся десяти карточках две буквы Е, поэтомуP_Е = 2/10. АналогичноP_Л = 2/9, P_О = 1/8. Окончательно получаем

P_дело =

Вариант б). Расположение букв, составляющих слово ДЕЛОдостаточно произвольно: оно могло бы быть и другим, например, Д, Л, Е, О и т.д. Поэтому вероятность набора любого варианта – та же, т.е. 1/1980. Всего таких вариантов – 4! (оно равно числу перестановок из 4 – х разных элементов, см. раздел 2, комбинаторика). Итак, получаем

P_{д, е, л, о}= =.

Самостоятельная задача 2.Вычислить вероятность того, что из словаЭКОНОМИКА аналогичным образом можно получить словоКОМОК.