1.4 Схема Бернулли

Рассмотрим последовательность пнезависимых испытаний, результатами которых может быть появление kраз событияA. Пусть вероятность появления этого события равна P(A) = p, тогдаP() = 1–p.Здесь – непоявление событияА. Описанная схема испытаний получила названиесхемы Бернулли– математикаXVIIвека.

В теории вероятностей доказано следующее утверждение. Вероятность появления k положительных результатов при n испытаниях, если вероятность положительного результата равна pрассчитывается по формуле

P(k,n) = .(1.6)

Напомним, что здесь – число сочетаний элементов изnпоk(см. раздел 2, комбинаторика); оно рассчитывается по формуле

. (1.7)

Задача.Пять раз подряд подбрасывают игральную кость. Какова вероятность того, что два раза выпадут шестерки (три раза; один раз)?

Решение.Имеем схему Бернулли из пяти испытаний с двумя положительными исходами. При этомр=. Получаем

P(2, 5) =

P(3, 5) = P(1, 5) = 0,4.

Самостоятельная задача. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что одному из них вероятнее: выиграть двепартиииз четырех или три партии из шести? (Ничьи во внимание не принимаются).

Обычно в задачах, связанных с применением схемы Бернулли, исследователей интересует два вопроса: есть ли простые формулы для вычисления вероятностей P(k, n) иможно ли вычислить вероятность того, что величина k будет меньше (или больше) некоторой величины ?

В теории вероятностей на это дан ответ в виде формул и теорем Пуассона

Формулы и теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа

Формула Пуассона.Если число испытанийnпо схеме Бернулли велико (п >30), а вероятность успехар – мала и мало также произведение , то вероятностьP(k, n) рассчитывается поформуле Пуассона

P(k, n) ≈k=0,1,2,…. (1.8)

Локальная теорема Муавра-Лапласа.Если число испытанийnв схеме Бернулли велико, велика также вероятность успехаpи неудачиq=1–p(превышают 0,2), то вероятностьP(k, n) рассчитывается по формуле

где ;. (1.9)

Соотношение (1.9) называется локальной формулой Муавра-Лапласа.Функцияf(x) называется плотностью стандартного нормального распределения.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа.Для расчета вероятностиP() справедливо приближенное соотношение

P() (1.10)

где функция Ф₀(x) и аргументы определяются по формулам

, ,(1.11)

Функцию Ф₀(x) называетсяинтегралом Лапласа. Она табулирована (см. таблицу 1.1). Отметим, что интеграл Лапласа обладает следующим свойством:

поэтому значения интеграла для отрицательных xв таблице не приводятся.

Таблица 1.1 – Значения интеграла Лапласа

x	0	0,25	0,5	0,75	1	1,25	1,5	1,75	2	3
	0	0,1	0,19	0,27	0,34	0,39	0,43	0,46	0,48	0,499

Для удобства использования формул и теорем Пуассона и Муавра-Лапласав таблице 1.2 приведены условия использования схемы Бернулли в зависимости от соотношения между параметрамиn,k,p.

Таблица 1.2 – Условия использования схемы Бернулли

Значения n, k, p	Формулы для расчета (k)
Произвольные	Формула Бернулли
N– «велико» (n> 30); p– «мало» (p< 0,1); np=илиn(1 –p) – «мало» (np< 3 илиn(1 –p) < 3).	Формула Пуассона
N– «велико» (n> 30); pили (1 –p) – «велико» (p> 0,2 или (1 –p) > 0,2).	; . Формулы Муавра-Лапласа

Самостоятельная задача. Сравнить результаты расчетов по формулам Бернулли и Пуассона прир=0,1; п= 30; к=2.

Решение практических задач

Задача 1.На факультете обучаются 300 студентов. Найти вероятность того, что 80 студентов будут праздновать день рождения летом.

Решение. Воспользуемся схемой Бернулли и локальной теоремой Муавра-Лапласа. Имеем n = 300; p = 0,25; q = 0,75; k = 80. Вычисляем

= 7,5; x =

По таблице 1.1 находим f(0,67) = 0,32. Значит P(80,300)=0,32/7,5=0,043.

Задача 2. Решить предыдущую задачу в постановке: … найти вероятность того, что не более 80 студентов будут праздновать день рождения летом.

Решение.Воспользуемся интегральной теоремой Муавра-Лапласа. Тогда по формуле (1.10) получаем P() Вычислимх₁ и х₂. Имеем n = 300; p = 0,25; q = 0,75; k = 80,= 7,5. Тогдах₁ = x₂ = Далее

= = 0, 23 + 0,5 = 0, 83.

Самостоятельные задачи.Решить предыдущие две задачи в постановке:n=100,k=30.

Задача 3.Учебное пособие издано тиражом 200 экземпляров. Вероятность того, что оно неправильно сброшюровано, равна 0,01. Найти вероятность того, что тираж содержит три бракованных пособия.

Решение.Имеем схему Бернулли ср= 0,01;n= 200;k= 3. При этомПо формуле Пуассона получаем

P(3, 200) =

Самостоятельная задача.Для предыдущей задачи найти вероятность того, что а) в тираже не будет ни одногобракованного пособия; б) будет два бракованных пособия.

Задача 4.Решить задачу 3 в постановке: … в тираже будет не более три бракованных пособий.

Решение.Используем формулу Пуассона. Имеем

P(k≤3)= P(0;200)+P(1;200)+P(2;200)+P(3;200).

Далее получаем P(0;200)=;P(1;200)=;P(2;200)=2;P(3;200)=0,18. Окончательно находимР(k≤3) = 0,72.