3.3 Точечные оценки параметров распределений

Наиболее часто результатами обработки статистических данных, используемыми для научных и практических выводов, являются математическое ожидание (среднее значение),дисперсияили среднеквадратичное отклонение σ. Если имеются замеренные значения случайной величиныx₁,x₂,…,x_n, товыборочные среднееидисперсия рассчитываются по формулам

(3.3)

Замечание.Часто приходится вычислять выборочные среднее и дисперсию по сгруппированным данным, получаемым при составлении гистограмм. Тогда вместо формул (13.3) используются следующие:

; , (3.4)

где п_i –сумма частот, попавших вi-й интервал;х_i –значение середины соответствующего интервала.

Самостоятельная задача 2.Определить выборочные среднее, дисперсию и среднеквадратичное отклонение для выборки (3.2).

3.4 Доверительные интервалы

Изученные точечные оценки параметров распределения (математического ожидания и дисперсии) могут быть приняты в качестве первоначальных ориентировочных результатов обработки наблюдений или статистической отчетности. Их недостаток в том, что неизвестно, с какой точностью и достоверностью получены значения параметров. Поэтому возникает задача определения точности и достоверности оценок.

Пусть, например, получены выборочные значения случайной величины Х. Очевидно, что среднестатистическое значениеотличается от истинного среднего значения. Степень этого отличия можно оценитьметодом доверительных интервалов.

Суть методазаключается в следующем. По сделанной выборкеx₁,x₂,…,x_nнаходятся (по определенным правилам, приведены ниже) числах_minих_mах такие, чтобы выполнялось условие

P (x_min<<x_max) ≥γ, (13.5)

где Р –функция вероятности, числах_minих_maxназываютсядоверительными границами, а интервал (х_min;х_max) –доверительным интерваломдля параметра.Число γ называетсянадежностьюсделанной оценки (или достоверностью).

Формула (3.5) показывает, что случайная величина с вероятностьюγне выйдет за пределы отведенного ей интервала (x_min, x_max).

Величины ,х_min, х_maxи γ связаны следующими соотношениями

; , (13.6)

величина t_γ называетсяквантилем нормального распределения.Значенияt_γ в зависимости от требуемой надежности выборочной оценки среднего приведены в таблице 3.1.

Таблица 3.1 – Зависимость t_γ от надежности оценки g

g	0,8	0,85	0,9	0,95	0,97	0,99	0,997
tγ	1,28	1,44	1,65	1,96	2,17	2,58	2,96

Вычисления начинаются с того, что задается надежность γ, которую принято выбирать равной 0,9; 0,95; или 0,99. Это вероятность того, что интересующий нас параметрпопал в доверительный интервал (x_min, x_max). (Для большинства статистических задач достаточными являются надежность 0,9или 0,95.).Затем по таблице 3.1вычисляют квантили распределения t_γ,а по формулам (3.6) –крайние значенияx_minиx_maxдоверительного интервала для параметра.

Задача 2.Найти доверительный интервал для среднего значения выборки (3.2) с надежностью оценки γ=0,95. В таблице 13.2 приведены исходные данные для расчетов.

Таблица 3.2 – Исходные данные для расчетов

		N	g	tγ
170	6,3	20	0,95	1,96

Решение. По формулам (3.6) находим

.

Приходим к соотношению P(168 ≤ ≤ 173) ≥ 0,95. Другими словами, с достоверностью не ниже 0,95 среднее значениенаходится в интервале от 167 до 173 см.

Самостоятельная задача 3.Для выборки (3.3) найти доверительный интервал для среднего значения с надежностью оценки γ=0,9.