3. Колебания кристаллической решетки

Кристаллическое тело представляет собой совокупность огромного числа атомных ядер и электронов. Проблему определения собственных состояний такой системы легко сформулировать, но, к сожалению, нельзя точно решить. Стационарные состояния кристалла описываются уравнением Шредингера H=Е с гамильтонианом

Здесь первый член описывает кинетическую энергию электронов, второй – кинетическую энергию ядер. Оператор _i действует только на координаты электронов r_i, а _k только на координаты ядер R_k). Третий член – потенциальная энергия взаимодействия атомных остатков с зарядами Z_ke и Z_le , а R_k и R_l – их координаты; следующий член – потенциальная энергия притяжения ядер и электронов, а последний член – энергия отталкивания электронов. Упрощение сформулированной задачи можно получить, учитывая различие в массах ядер и электронов, т.к. (m/M)<<1. Решение задачи ищется в виде  (R,r)=Ф(R,r)(R) (т.н. адиабатическое приближение), где Ф(R,r) – волновая функция, описывающая движение быстрых электронов в медленно меняющемся поле ядер, а (R) – волновая функция описывающая движение ядер в ядерном поле, создаваемом электронами. Таким образом, квантово–механическая задача о собственных состояниях кристалла распадается на две задачи, которые могут быть рассмотрены раздельно.

В настоящей главе будут рассмотрены собственные колебательные состояния кристалла. Однако, поскольку атомы кристалла велики (по сравнению с электронами) колебательную задачу можно рассматривать классически, т.е. рассматривать колебания точечных масс, связанных между собой квазиупругими силами (Борн,Карман, 1912).

Простейшим случаем такой задачи является линейная моноатомная цепочка, атомы которой могут совершать малые колеба­ния вблизи положения равновесия. Рентгеноструктурные данные (рис.18) показывают, что при не очень высоких температурах величина среднеквадратичного смещения атомов (U²)^1/2 значительно меньше межатомных расстояний в кристалле. В случае кристалла GaN при 300^оC

[(U²)^1/2/a]=(0.1Å/1.96Å)5%.

Рис.18. Среднеквадратичные тепловые амплитуды (u²)^1/2 атомов галлия и азота в кристалле GaN.

Таким образом, приближение малых колебаний действительно может быть использовано, однако оно может оказаться неверным при температурах вблизи точки плавления кристалла.

3.1. Линейная моноатомная цепочка

В общем случае потенциальная энергия моноатомной цепочки (см. рис.19) зависит от смещений U_n каждого атома и при малых колебаниях около положения равновесия может быть представлена следующим рядом:

.

Упрощая задачу, рассматривают гармоническое приближение и взаимодействие только ближайших соседей. Поэтому сила f_n, действующая на атом n равна:

.

Если принять во внимание взаимодействие только с ближайшими атомами, это выражение ещё более упрощается. Для цепочки, показанной на рис.19, сила, действующая на атом с номером n, складывается из силы, действующей со стороны предыдущего атома с номером n–1 и со стороны последующего атома n+1. Если упругая постоянная между атомами определяется величиной , то в этом приближении можно написать:

Рис.19. Моноатомная цепочка: а) цепочка частиц массой m с периодом решетки a; б) дисперсионная зависимость (k) для линейной моноатомной цепочки. Тангенс угла наклона дисперсионной зависимости равен скорости звука в цепочке, поскольку при k 0  4 /mka/2 и V_зв= /k=a  /m, что полностью совпадает со значением скорости звука при феноменологическом описании механических колебаний в непрерывной среде: V_зв= С₁₁ /, где С₁₁={ (U_n–U_n–1)}/{(U_n–U_n–1)/a}, а =m/a, так что V_зв=a /m; в) физический смысл волнового вектора k. Если найти ближайший к атому n атом n+m, имеющий то же смещение, что и атом n, т.е. потребовать выполнения U_n=U_n+m, то ясен физический смысл волнового вектора k: эта величина по модулю равна 2  λ, где λ=am – длина волны возбуждения.

Система уравнений, описывающая движение N частиц цепочки, состоит из N дифференциальных уравнений вида