4. Колебательные состояния кристаллов

4.2. Продольные и поперечные акустические колебания

В плоской поперечной акустической волне, распространяющейся вдоль оси x вектор смещения частиц U_t перпендикулярен направлению распространения волны, т.е. волновому вектору k. Для такой волны три ортогональные компоненты вектора смещения таковы, что продольная компонента U_tx=0, а поперечные компоненты U_ty и U_tz не зависят от y и z, поскольку плоскость yz является плоскостью постоянной фазы. Таким образом,

С другой стороны, поперечные смещения есть функции x U_ty=f(x) и U_tz=f(x), поскольку эти смещения представляют собой волну, распространяющуюся вдоль направления x:

Поэтому

Итак, поле смещений U_t для поперечной волны таково, что

divU_t=0, а rot U_t0.

Такое поле называется соленоидальным и подобно магнитному полю. Условие равенства нулю дивергенции вектора U_t означает, что при распространении поперечной волны не меняется макроскопический объем среды. Наблюдается только смещение объемов среды друг относительно друга, так что среда испытывает деформацию сдвига, которая определяется модулем сдвига G. Поэтому частота поперечной акустической волны и ее скорость связана с величиной модуля сдвига: ²G.

Для продольной волны вектор смещения U_l=A_lexp[i(t–kx)] имеет только проекцию на направление x, т.е. U_l(U_lx,0,0), а сама величина U_lx зависит лишь от координаты x, но не зависит от координат y и z. Поэтому дивергенция вектора продольного смещения divU_l0, что означает, что среда меняет свой объем при распространении волны. Легко показать, что в этом случае rotU_l=0. Итак, для поля продольной волны

divU_t0, а rotU_t=0

Такое поле называется потенциальным (консервативным) полем и описывается градиентом (grad) некоторой скалярной величины. Поскольку при распространении волны возникает волна сжатия и разряжения, частота продольной акустической волны, а значит и скорость, определяется модулем упругости среды Е (модулем Юнга). Связь между модулем сдвига G и модулем Юнга Е дается соотношением

Поэтому G<E и _l>_t.

Следует отметить, что для высокосимметричных кристаллов существует вырождение двух поперечных волн для большинства направлений в кристалле. В кубических кристаллах, например, направления x, y и z переходят друг в друга при применении операции поворота на угол 120^о вокруг направления (111). Поэтому скорости поперечных звуковых волн имеют одинаковые величины в направлениях x, y и z. В других направлениях скорости двух поперечных волн могут и различаться, а в более низкосимметричных кристаллах волны могут и не разделяться на чисто продольные и чисто поперечные. Особенности вырождения поперечных волн в кубическом кристалле представлены в следующей таблице.

Таблица 8

ВЫРОЖДЕНИЕ АКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В КУБИЧЕСКИХ КРИСТАЛЛАХ

Направление	t1 t2 l	вектор k
(100)	t1 = t2 l	Г - X
(111)	t1 = t2 l	Г - L
(101)	t1 = t2 l	Г - K
(102)	t1 = t2 l	Г - ?

4.3 Поперечные и продольные оптические колебания

Оптические колебания при k0 соответствуют движению соседних (различных) частиц в противофазе, причем центр тяжести при колебаниях покоится на одном месте, поскольку можно показать, что уравнение движения m_kA_k=0. Отсюда следует, что если кристалл содержит две частицы с противоположными зарядами (как в NaCl), то при оптических колебаниях в каждой элементарной ячейке может возникать дипольный момент, и такое колебание будет взаимодействовать со светом. Именно поэтому такие колебания называются оптическими. В приближении бесконечно длинных волн (k0) кристалл поляризуется однородно и, следовательно, поляризация кристалла может быть описана макроскопически. В акустической ветви в волне с k=0 все частицы движутся в фазе, и эффективная масса единицы объема равна плотности среды. Для оптический колебаний необходимо использовать приведенную массу. Если два атома имеют массу m₊ и m_–, приведенная масса равна  = m₊m_–/m₊+m_–, а величина /V, где V – объем элементарной ячейки, является аналогом плотности при оптических колебаниях. Пусть относительные смещения положительных и отрицательных ионов друг относительно друга будут W

где U₊ и U_- смещения положительных и отрицательных ионов. Вообще говоря, если учесть, что вектор смещения атомов W в волне может быть продольным или поперечным, вклад в поляризацию среды должен учитываться отдельно, т.е. надо учитывать, что W=W_t+W_l. Более того, в не кубических кристаллах есть два типа поперечных волн W_t=W_t1+W_t2, однако здесь будут рассмотрены только кубические кристаллы.

При макроскопическом описании можно написать следующие уравнения для вектора смещения W и поляризации P:

Здесь E – электрическое поле, возникающее из-за колебательного движения заряженных частиц; P – поляризация образца; b_ij – некоторые коэффициенты, физический смысл которых будет ясен из дальнейшего. Это строгие макроскопические уравнения, справедливые для k  0, т.е. для длин волн возбуждений >>a значительно больших постоянной ячейки кристалла. Первое уравнение – просто уравнение движения частиц: член b₁₁W – упругая механическая сила; член b₁₂Е – электрическая сила (сила Кулона ), действующая на движущиеся заряды. Второе уравнение выражает поляризацию при распространении в среде волн с k  0.

Решение этой системы уравнений нужно искать в виде функций Блоха, поскольку речь идет о решении задачи в периодическом потенциале:

Подстановка этих решений в систему уравнений дает:

Из первого уравнения

Поскольку D=E+4P=E, то

Из соображений размерности величина –b₁₁=_о² представляет собой константу, описывающую резонансную частоту среды. Действительно, поперечные частоты системы находятся как полюсы диэлектрической проницаемости среды  (т.е.  ). Таким образом, –b₁₁=_ТО².

Для очень высоких частот, когда >>_TO, поляризация решетки определяется только электронной поляризацией среды и  = _ = n². Поэтому

При низких частотах, когда <<_TO , поляризация среды определяется как электронной, так и ионной частью. При этом диэлектрическая постоянная  =_о. Поэтому

Используя выражение для b₁₂b₂₁, выражение для диэлектрической проницаемости можно записать следующим образом:

Это дисперсионная формула для диэлектрической проницаемости (рис.42).

Рис.42. Диэлектрическая проницаемость () и коэффициент отражения R() кристалла вблизи одиночного резонанса на частоте _TO без учета затухания (сплошная кривая) и при учете конечного затухания (пунктирная кривая).

Она хорошо описывает поведение  в широкой области частот. Исключением является только область   _TO, поскольку при  =_TO диэлектрическая проницаемость стремится к бесконечности   . Чтобы это исключить, необходимо учесть затухание. В этом случае уравнение для смещения W выглядит так:

Это приводит к дополнительному члену в знаменателе выражения для диэлектрической проницаемости:

Комплексность  означает поглощение энергии при _TO. Данная формула, конечно, справедлива не только для кристаллов, но и для жидкости. Например, для кристалла NaCl: _o=5.62, _=2.25=n²; для воды Н₂О: _о=81, _=n²=1.322².

4.4. Соотношения Лиддейна-Сакса-Теллера

Поскольку кристалл состоит из равного числа положительных и отрицательных зарядов, так как кристалл электрически нейтрален, то макроскопическая плотность зарядов в нем равна нулю. Поэтому выполнено:

Следовательно

но W=W_t+W_l причем divW_t=0, а divW_l=0.