3.6. Ход ветвей колебаний в зоне

Характер решений в предельном случае бесконечно длинных волн, т.е. при k = 0 можно получить из рассмотрения дисперсионного уравнения:

,

Ясно, что амплитуды A^l_(k) получаемых решений вещественны (возможно с точностью до постоянного комплексного множителя), когда коэффициенты D_(k,l,p) однородной системы уравнений для амплитуд вещественны. Но для k=0 и ka_i= множитель exp[ik(r_m–r_n)] в выражении для D равен 1, и тогда D вещественно, и для предельных длинных и предельно коротких волн амплитуды вещественны. Другой важный случай, когда смещения вещественны соответствует ситуации, когда каждый атом решетки является центром инверсии, т.е. когда каждой паре атомов nl и m′p′ может быть сопоставлен атом m′′p′ такой, что r_m′^p′–r_n^l=-(r_m′′^p′–r_n^l). В этом случае энергия взаимодействия этих атомов одинакова Ф(m′–n,l,p′)=Ф(m′′–n,l,p′), и в выражении для D суммирование можно разбить на два полупространства:

,

В этом случае амплитуды A^l_ вещественны и, следовательно, характеризуют реальные отклонения атомов от положения равновесия.

Строгое рассмотрение хода решений _j(k) при k=0 представляет некоторые трудности из-за неаналитичности решений при k=0. Однако, для некоторых ветвей ход зависимостей можно легко понять, ограничившись рядом простых и наглядных соображений. Положим в уравнении для амплитуд

.

величину волнового вектора и частоту равной нулю: k=0 и =0. Тогда

или

и имеется решение A^p_(0)=A_(0), для которого вещественные амплитуды одинаковы для всех атомов с номером p, поскольку тогда выполняется

Это является следствием свойств потенциальной энергии кристалла, поскольку сумма

автоматически равна нулю из-за инвариантности потенциальной энергии кристалла относительно произвольных смещений вдоль трех ортогональных осей x,y,z, т.е. для =x,у,z. Поэтому есть три ветви, для которых при k=0 частота ω=0. Эти три ветви называются акустическими ветвями.

Решения для остальных ветвей в принципе ясны из одномерного случая, но осуществить решение для трехмерного случая не так просто. С другой стороны, именно для трехмерного случая есть смысл делать расчеты, чтобы сопоставить их с экспериментом. Вообще говоря, при решении подобных задач нельзя ограничиться взаимодействием только с ближайшими соседями. Например, для ионных кристаллов потенциал взаимодействия спадает с расстоянием очень медленно, как 1/r. В ряде случаев важен учет деформации ионов при колебаниях. Это особенно важно учитывать для гомополярных кристаллах, поскольку колебания атомов могут деформировать электронную плотность на ковалентных связях. Тем не менее, с появлением доступной мощной вычислительной техники в последние годы появилось много расчетных программ для решения подобных задач. Необходимо отметить, что решение дисперсионного уравнения нет необходимости проводить для всех различных значений волнового вектора k в зоне Бриллюэна. Поскольку зона Бриллюэна обладает симметрией прямой решетки и еще центром инверсии, можно найти так называемый неприводимый элемент зоны, который при применении различных операций симметрии позволяет получить всю зону. Для кубической решетки таким неприводимым элементом зоны является 1/48 часть первой зоны Бриллюэна.

Решение колебательной задачи в виде плоской волны U^l_n=A^l_exp[i(t–kr_n)], где частота  может принимать N значений в 3s ветвях _j(k), указывает, что каждый атом совершает ряд движений с разными частотами. Как и в случае молекулы, можно найти систему координат, в которой и кинетическая и потенциальная энергия системы принимает квадратичную форму, а смещения частиц описываются нормальными координатами. Оставляя вопрос о нахождении такого преобразования до следующего параграфа, заметим, что совокупности смещений, образующие нормальные координаты, должны преобразовываться по неприводимым представлениям каких-либо точечных групп. Для k=0 (центр зоны Бриллюэна, точка Г), эта группа – фактор-группа кристалла, изоморфная точечной группе симметрии кристалла. Для остальных точек зоны Бриллюэна точечная группа, по неприводимым представлениям которой преобразуются нормальные координаты с k0 определяется симметрией соответствующей точки зоны Бриллюэна. Например, в кубической решетке точки Г обладает голоэдрической симметрией решетки Браве m3m, точка X – симметрией 4/mmm, точка L – 3m и т.д.

7. Расчеты колебаний кристаллов

Для сложных систем, какими являются кристаллы, расчеты их колебаний обычно ограничиваются рамками адиабатического и гармонического приближений. Существует, тем не менее, два принципиально разных подхода в таких расчетах. Эти подходы отличаются различным описанием поля упругих сил, в котором происходит движение точечных масс. Исторически сложившийся первый подход не предполагает знания аналитического вида потенциальной функции системы V(r), но дает право представить энергию системы квадратичной формой V(r)=1/2(d²V/dr_idr_j)_or_ir_j. Элементы Фij этого раздожения, составляющую матрицу силовых постоянных, обыкновенно рассматриваются как независимые подгоночные параметры теории. Кинетическая энергия колеблющейся системы также может быть представлена квадратичной формой типа T=1/2M_ijr_ir_j . Здесь Mij являются функциями масс частиц. Математический смысл решения задачи о нормальных колебаниях системы состоит в преобразовании её колебательного гамильтониана H(q)=1/2(M_ijq_iq_j+Ф_ijq_iq_j) к более простой квадратичной форме путем перехода к новым нормальным координатам Q_i

Q_i=L_klQ_l и Q_i=L_klQ_l